石头剪刀布博弈.doc

局中人2 石头 剪刀 布0,01,-1-1,1-1,10,01,-11,-1-1,10,0 石头局中人1剪刀 布显而易见，“石头剪刀布”这个博弈是对称的，因而猜测其混合战略纳什均衡必然包括一种对称型的均衡，其中（石头）=（剪刀）=（布）=1/3; （石头）=（剪刀）=（布）=1/3.通过支付等值法来验证最优混合战略（1/3,1/3,1/3）：局中人1选择纯战略石头的期望效用为：0*1/3+1*1/3-1*1/3=0 选择纯战略剪刀的期望效用为：-1*1/3+0*1/3+1*1/3=0 选择纯战略布的期望效用为：1*1/3-1*1/3+0*1/3=0 因为式=式=式=0，对于局中人2来说，同理，所以由支付等值法显而易见，（1/3,1/3,1/3）是局中人1和2的最优混合战略。假设有另外的均衡（,）存在，其中（石头）=p （剪刀）=p （布）=1-p-p（石头）=q （剪刀）=q （布）=1-q-qp、p、q、q0，p+p1，q+q1.支付最大化法由上述假定得：局中人1的混合战略是：（p,p,1-p-p); 局中人2的混合战略是：（q,q,1-q-q).局中人1的期望效用函数为：v（，）=p（q+2q-1)+p（1-2q-q） +（1-p-p）（q-q）给上式求微分，得到局中人1最优化的一阶条件=3-1=0，解得：=1/3； =1-3=0，解得：=1/3。1-q-q=1/3。故=1/3，=1/3,（1-q-q）=1/3.即局中人2以1/3的概率选择出石头，以1/3的概率选择出剪刀，以1/3的概率选择出布。同样，可以根据局中人2的期望效用函数找到局中人1的最优混合战略。除此均衡之外，是否还会有别的均衡存在呢？下面，我们通过推证来证明该博弈只有这一个均衡。局中人1选择纯战略出石头的期望效用为：-（1-q-q）=+2-1； 纯战略出剪刀的期望效用为：-+（1-q-q）=-2-+1； 纯战略出布 的期望效用为：。 在均衡下，局中人1要么觉得三个行动一样好，要么觉得其中两个某两个行动一样好而第三个行动是严格下策（有唯一最优反应的情况是不存在的，因为我们已经知道该博弈没有纯战略纳什均衡）情况一：局中人1觉得三个行动一样好，即三种行动带来的盈利一样多。这种情况出现当且仅当=1/3.要让局中人2选择这三种行动，必有：局中人1在三种行动之间随机选择并且满足=1/3.其实这就是我们已经知道的对称均衡结果而已。情况二：局中人1觉得其中某两个行动一样好，而第三个行动是严格下策。假设这两个行动是“石头”和“剪刀”。则：+2-1 = -2-+1 解得：1/3， 1/3 ，=2/3.局中人2以正的概率随机选择后两个行动，而选择第一个行动的概率未必为正。作为最优反应，局中人1以正的概率随机选择前两个行动，而选择第三个行动的概率未必为正。局中人2选择三个行动的期望效用分别是-1/3，-+1/3和。为了和1/3， 1/3 ，=2/3这三个条件一致，必有：-+1/3 = -1/3 该弱不等式在=0时是严格不等式，而在01/3时是等式。前提假设“+=1”，计算式得，=4/9，=5/9，而-+1/3=-1/9而-1/3=2/9，-1/9并不大于2/9，从而式和假设+=1矛盾。 显然，这和之前的假设+=1矛盾。从而，不存在一个让局中人1仅以正的概率选择其中的任意两个战略的混合战略纳