2015中考数学必做压轴题.doc

2015中考数学必做压轴题1.某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.活动情境：如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：AEF的边AE=cm，EF=cm； 乙：FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF.你的任务：【小题1】填充甲同学所得结果中的数据；【小题2】写出在乙同学所得结果的求解过程； 【小题3】当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时： 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？答案解析:【小题1】AE= 3cm， EF= 5 cm；设AE=x，则EF=8x，AE=4，A=90，x=3，AE=3 cm， EF=5 cm.【小题2】解：如答图1，MFE=90，DFM+AFE=90，又A=D=90，AFE=DMF，AEFDFM，又AE=3，AF=DF=4，EF=5，FMD的周长=4+=16.【小题3】 乙的结果不会发生变化理由：如答图2，设AF=x，EF=8AE，AE=4，同上述方法可得AEFDFM，=x+8，FD=8x，则，=16.丙同学的结论还成立证明：如答图2，B、F关于GE对称，BFEG于P，过G作GKAB于K，FBE=KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，A=EKG=90，AFBKEG，FB=GK.由上述可知AE=4，AFBKEG，AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE =4+x，S=8=0.58（AE+AK）=4（4+4+x）=S =，（0x8）当x=4,即F与AD的中点重合时,，=24.2. 如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析（1）A(4，0) 、D(2，0)、C(0，3)；（2）连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M (1，)；（3）存在，(2，0)或(6，6).试题分析：（1）在中令，解得，A(4，0) 、D(2，0).在中令，得，C(0，3).（2）连接AC，根据轴对称的性质，AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，从而应用待定系数法求出AC的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标.（3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.试题解析：（1）A(4，0) 、D(2，0)、C(0，3)（2）如图，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.设直线AC的解析式为，则，解得.直线AC的解析式为.的对称轴是直线，把x=1代入得M(1，).（3）存在，分两种情况：如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(2，0).如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP/AB，与抛物线交于点P，点C，B关于抛物线对称，B(2，3)设直线AB的解析式为，则，解得.直线AB的解析式为.CP/AB，可设直线CP的解析式为.点C在直线CP上，.直线CP的解析式为.联立，解得，P(6，6).综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(2，0)或(6，6).3.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B60（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMEF交BC于M，过M作MN/AB交折线ADC于N，连结PN，设EPx当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由 图1 图2 图3 E点做辅助线垂直BC，交BC于G点， EG即为E点到BC的距离： EG=BE*sinB=1/2AB*sin60=3(2)不变PM=EG, MN=AB做辅助线NHEF,交EF于H点，设N交EF于K点，可以得出，PMKHNK,PK=KHPMEFPM+PK=MK=BE=4PK=1PN=NH+PH=EG+(2PK)=3+4=7PN=7PMN的周长=PN+PM+MN=7+3+4辅助线NOBC，交BC于O点,MN于EF交于K点，NO与EF交于H点依题意，PN=PM=3AB=4，BC=6，B=60,AD=2，EF=4MNAB,MN=NC,PMC=90,NMC=60PMN=PNM=30KH=HF,PK=EF-KH-HF-EPPK=MK*sinPMN=2*1/2=1PMN=PNM=30,MNO=30,PNO=60PH=PN*sin60=3/2KH=PH-PK=3/2-1=1/2x=EF-PH-FH=4-3/2-1/2=2P点位EF的中点4.(2012福州)21(满分13分)如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDBC，交AB于点D，连接PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t0)(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3) 如图，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长答案解析考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质专题：代数几何综合题分析：(1) 根据题意得：CQ2t，PAt，由RtABC中，C90，AC6，BC8，PDBC，即可得，则可求得QB与PD的值；(2) 易得APDACB，即可求得AD与BD的长，由BQDP，可得当BQDP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DPBD，可判定四边形PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PDBDBQ，列方程即可求得答案；(3) 设E是AC的中点，连接ME当t4时，点Q与点B重合，运动停止设此时PQ的中点为F，连接EF，由PMNPQC利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：解：(1) QB82t，PD (2) 不存在 在RtABC中，C90，AC6，BC8， AB10 PDBC， APDACB， ，即：， ， BDABAD BQDP， 当BQDP时，四边形PDBQ是平行四边形， ， DPBD， PDBQ不能为菱形 设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ8vt，PD，BD 要使四边形PDBQ为菱形，则PDBDBQ， 当PDBD时，即，解得： 当PDBQ时，时，即，解得： (3) 解法一：如图2，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 依题意，可知0t4，当t0时，点M1的坐标为(3，0)； 当t4时，点M2的坐标为(1，4) 设直线M1M2的解析式为ykxb， ，解得： 直线M1M2的解析式为y2x6 点Q(0，2t)，P(6t，0)， 在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为 把，代入y2x6，得 点M3在直线M1M2上 过点M2作M2Nx轴于点N，则M2N4，M1N2 M1M22 线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度解法二：如图3，设E是AC的中点，连接ME当t4时，点Q与点B重合，运动停止设此时PQ的中点为F，连接EF过点M作MNAC，垂足为N，则MNBC PMNPDC MNt， 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用5.（1）如图，是抛物线图象上的三点，若三点的横坐标从左至右依次为1，2，3求的面积（2）若将（1）问中的抛物线改为和，其他条件不变，请分别直接写出两种情况下的面积（3）现有一抛物线组：；依据变化规律，请你写出抛物线组第n个式子的函数解析式；现在x轴上有三点经过向x轴作垂线，分别交抛物线组于；记为，为，为，试求的值（4）在（3）问条件下，当时有的值不小于，请探求此条件下正整数是否存在最大值，若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由答案解析:（1） （2） （3）由规律知：或写成（） 由（1）（2）知：（4）存在由上知： 解得又 存在n的最大值，其值为6.在平面直角坐标系中，已知抛物线(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；取BC的中点N，连接NP，BQ当取最大值时，点Q的坐标为_.答案解析1）；（2）（4，1），（2，7）；.试题分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求即可求得b，c的值.（2）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点.由可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，进而求出点Q的坐标.试题解析：（1）由题意，得点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得.（2）由（1）得抛物线的函数表达式为：.A（0，1），C（4，3），直线AC的解析式为：y=x1.设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上.点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为（m，m1）.则平移后抛物线的函数表达式为：.解方程组：，解得，.P（m，m1），Q（m2，m3）.过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，则PE=m（m2）=2，QE=（m1）（m3）=2，PQ=AP0.当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为（即为PQ的长），由A（0，1），B（4，1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=.如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点.可设直线l1的解析式为：y=x+b1.B（4，1），1=4+b1，解得b1=5.直线l1的解析式为：y=x5.解方程组，得：，.M1（4，1），M2（2，7）.取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ如答图2，连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BQFB.当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，则取最大值，点Q的坐标为.7.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由答案解析解：（1）如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）PHD的周长不变为定值8 证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q 由（1）知APB=BPH， 又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBPAP=QP，AB=BQ又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQHCH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB 又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABPA=EMF=90，EFMBPAEM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2解得，又四边形PEFG与四边形BEFC全等，即：配方得，当x=2时，S有最小值68.如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于两点A（1，n），B（-，-2）， （1）求反比例函数和一次函数