2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数函数教案文新人教A版.docx

第6讲对数函数一、知识梳理1对数函数的图象与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数2.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称常用结论对数函数图象的特点(1)当a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限(3)在直线x1的右侧：当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”二、习题改编1(必修1P74A组T7改编)函数y的定义域为 解析：要使函数有意义，故满足解得ab一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ylog2x及ylog3x都是对数函数()(2)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)忽略真数大于零致误；(2)忽视对底数的讨论致误1函数f(x)log2x2的单调递增区间为 解析：设tx2，因为ylog2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx2的单调递增区间，所以所求区间为(0，)答案：(0，)2函数ylogax(a0，a1)在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a 解析：分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()(2)若方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为 【解析】(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则yloga|x|在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B.(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，只需两图象在上有交点即可，则fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.【答案】(1)B(2)【迁移探究】(变条件)若本例(2)的条件变为：当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知fg，即2，所以a的取值范围为.答案：对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；(2)在同一直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值1函数y2log4(1x)的图象大致是()解析：选C.函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A，B；函数y2log4(1x)在定义域上单调递减，排除D.选C.2已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上的截距由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点答案：(1，)对数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较对数值的大小 (2019高考天津卷)已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabc Cbca Dcalog242，blog381，c0.30.20.301，所以cb0且a1)满足f0的解集为()A(0，1) B(，1)C(1，) D(0，)【解析】法一：因为函数f(x)logax(a0且a1)在(0，)上为单调函数，而且f02x11，所以x1.法二：由floga，所以loga21loga31，所以loga21，由f(2x1)0得loga(2x1)0，所以2x11，即x1.【答案】C解对数不等式的函数及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式角度三对数型函数的综合问题 已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最小值为0，求a的值【解】(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，即a1，所以f(x)log4(x22x3)由x22x30得1x3，即函数f(x)的定义域为(1，3)令g(x)x22x3.则g(x)在(1，1)上单调递增，在1，3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1，1)，单调递减区间是1，3)(2)若f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故实数a的值为.解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1(2019高考全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcab Dbca解析：选B.因为alog20.2201，c0.20.30，所以ac1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.思想方法系列4分类讨论思想研究指数、对数函数的性质 已知函数f(x)loga(2xa)(a0且a1)在区间，上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是()A(，1)B，1)C(，1) D，1)【解析】当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a0，且a1)，当x0时，求函数的值域解：ya2x2ax1，令tax，则yg(t)t22t1(t1)22.当a1时，因为x0，所以t1，所以当a1时，y2.当0a1时，因为x0，所以0t1.因为g(0)1，g(1)2，所以当0a1时，11时，函数的值域是2，)；当0a0且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B.Clogx D2x2解析：选A.由题意知f(x)logax(a0且a1)，因为f(2)1，所以loga21，所以a2.所以f(x)log2x.故选A.3(2020东北三省四市一模)若alog2，b0.48，cln 2，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcba Dbca解析：选B.alog2log210，即a0，b0.480.40，所以0bln，即c，所以abf(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2) D不能确定解析：选A.由已知得0a1，所以1a1f(2)5(2020河南平顶山模拟)函数f(x)loga|x1|(a0，a1)，当x(1，0)时，恒有f(x)0，则()Af(x)在(，0)上是减函数Bf(x)在(，1)上是减函数Cf(x)在(0，)上是增函数Df(x)在(，1)上是增函数解析：选D.由题意，函数f(x)loga|x1|(a0且a1)，则说明函数f(x)关于直线x1对称，当x(1，0)时，恒有f(x)0，即|x1|(0，1)，f(x)0，则0a0，a1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)2xb的图象上，则f(log23) 解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)4b0，b4，从而f(log23)341.答案：17若函数f(x)logax(0a1)在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a的值为 解析：因为0a0，且a1，所以uax3为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，所以a1.又uax3在1，3上恒为正，所以a30，即a3.答案：(3，)9已知函数f(x3)loga(a0，a1)(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由解：(1)令x3u，则xu3，于是f(u)loga(a0，a1，3u0，a1，3x0且a1)，且f(1)2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解：(1)因为f(1)2，所以loga42(a0，a1)，所以a2.由得1x3，所以函数f(x)的定义域为(1，3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，所以当x(1，1时，f(x)是增函数；当x(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.综合题组练1(2020河南新乡二模)已知函数f(x)log3(9x1)mx是偶函数，则不等式f(x)4xlog32的解集为()A(0，) B(1，)C(，0) D(，1)解析：选C.由f(x)log3(9x1)mx是偶函数，得f(x)f(x)，即log3(9x1)m(x)log3(9x1)mx，变形可得m1，即f(x)log3(9x1)x，设g(x)f(x)4xlog3(9x1)3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)log3(901)log32，则f(x)4xlog32g(x)g(0)，则有x0，即不等式的解集为(，0)故选C.2设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是 解析：由题意知，在(0，10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点，所以|lg a|lg b|，又因为ylg x在(0，)上单调递增，且ab10，所以lg alg b，所以lg alg b0，所以ab1，0c0，a