2021版高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程第1讲坐标系教案文新人教A版.docx

第1讲坐标系一、知识梳理1坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为，有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则3直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0和0.(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：cos a(3)直线过点M且平行于极轴：sin b4圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则该圆的方程为：220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r.(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：2acos (3)当圆心位于M，半径为a：2asin 常用结论1明辨两个坐标伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x，y)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x，y)的坐标满足变换后的曲线方程2极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式xcos 及ysin 直接代入并化简(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换二、习题改编1(选修44P15T2改编)在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A.B.C(1，0) D(1，)解析：选B.由2sin ，得22sin ，化为直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.故选B.2(选修44P15T2改编)圆心C的极坐标为，且圆C经过极点求圆C的极坐标方程解：圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x)2(y)2r2，依题意可知r2(0)2(0)24，故圆C的直角坐标方程为(x)2(y)24，化为极坐标方程为22(sin cos )0，即2(sin cos )一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(3)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()答案：(1)(2)(3)二、易错纠偏(1)对极坐标几何意义不理解；(2)极坐标与直角坐标的互化致误1在极坐标系中，已知两点A，B，则|AB| 解析：设极点为O.在OAB中，A，B，由余弦定理，得AB.答案：2确定极坐标方程2cos 22cos 1表示的曲线解：由极坐标方程2cos 22cos 1，得2(cos2sin2)2cos 1.由互化公式得x2y22x1，即(x1)2y22.故此方程表示以(1，0)为中心，F1(1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线平面直角坐标系中的伸缩变换(师生共研) (1)曲线C：x2y21经过伸缩变换得到曲线C，则曲线C的方程为 (2)曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2y21，则曲线C的方程为 【解析】(1)因为所以代入曲线C的方程得C：y21.(2)根据题意，曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2y21，则(2x)2(3y)21，即4x29y21，所以曲线C的方程为4x29y21.【答案】(1)y21(2)4x29y211平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，整理得yh(x)即为所求2解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，用方程思想求解1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：则点A经过变换后所得的点A的坐标为 解析：设A(x，y)，由伸缩变换：得到由于点A的坐标为，于是x31，y(2)1，所以A的坐标为(1，1)答案：(1，1)2将圆x2y21变换为椭圆1的一个伸缩变换公式为：求a，b的值解：由得代入x2y21中得1，所以a29，b24，因为a0，b0，所以a3，b2.极坐标与直角坐标的互化(师生共研) (1)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离(2)把曲线C1：x2y28x10y160化为极坐标方程【解】(1)由2sin，得2，所以yx1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，2)，所以d.即点A到直线l的距离为.(2)将代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160，所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos 及ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos ，sin ，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧1在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为cosa，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程解：因为点A(，)在直线cosa上，所以acos，所以直线的方程可化为cos sin 2，从而直线的直角坐标方程为xy20.2在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin(0，00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当点M在C上运动且点P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程【解】(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除点P外的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程1在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O作圆C：8cos 的弦ON，交圆C于点N.求ON的中点M的轨迹的极坐标方程解：设M(，)，N(1，1)因为N点在圆8cos 上，所以18cos 1.因为M是ON的中点，所以代入式得28cos ，故点M的轨迹的极坐标方程是4cos .2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos 1(02)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1.从而曲线C的直角坐标方程为xy1，即xy20.当0时，2，所以M(2，0)当时，所以N.(2)由(1)知，M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为(R)曲线极坐标方程的应用(师生共研) (2020福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.【解】(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，则C1的极坐标方程为24cos 4sin 70，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为(R)(tan )(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127，所以.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决1(2020昆明市诊断测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(R)(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若曲线C2的极坐标方程为8cos 0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交点为B(异于原点)，求|AB|.解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x29y29，故曲线C1的极坐标方程为282sin290.(2)因为A，B两点在直线l上，所以可设A，B.把点A的极坐标代入C1的极坐标方程得，8sin290，解得1.已知A点在第一象限，所以1.因为B异于原点，所以把点B的极坐标代入C2的极坐标方程得，28cos 0，解得24.所以|AB|12|4|5.2(2020安徽五校联盟第二次质检)在直角坐标系xOy中，直线l1：x0，圆C：(x1)2(y1)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为(R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求OAB的面积解：(1)因为xcos ，ysin ，x2y22，所以直线l1的极坐标方程为cos 0，即(R)，圆C的极坐标方程为22cos 2(1)sin 320.(2)将代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得11.将代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得21.故OAB的面积为(1)2sin1.基础题组练1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则所以4x29y236，即1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0)2在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：(R)所截得的弦长解：(1)圆C是将圆4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是4cos.(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以，圆C被直线l：，即直线所截得的弦长为2.3在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：4cos ，C2：cos 3.(1)求C1与C2的交点的极坐标；(2)设点Q在C1上，求动点P的极坐标方程解：(1)联立得cos ，因为00，所以.6(2020江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且AOB，求OAB面积的最大值解：(1)消去参数，得到曲线C的普通方程为(x2)2y24，故曲线C的极坐标方程为4cos .(2)在极坐标系中，不妨设A(1，0)，B(2，0)，其中10，20，00，所以122(cos sin )，根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径从而|OA|OB|122(cos sin )2sin.当时，故|OA|OB|的取值范围是(2，22在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为sin 2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|OM|4，记点P的轨迹为C2.(1)