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有关定积分问题的常见题型解析题型一 利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1） （2） （3）分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。解：（1）因为，所以=。（2）因为，所以 =。练习：（1） （2）评注：利用微积分基本定理求定积分的关键是找出的函数。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。题型二 利用定积分求平面图形的面积例2如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x所围成的图形面积。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。解：由方程组，可得。故所求图形面积为：S（x3x）。评注：求平面图形的面积的一般步骤：画图，并将图形分割成若干曲边梯形；对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线x=a、x=b（ab）、x轴，一条曲线y=（0）围成的曲边梯形的面积：S，如图1。（2）由三条直线x=a、x=b（ab）、x轴，一条曲线y=（0）围成的曲边梯形的面积：S，如图2。（3）由两条直线x=a、x=b（ab）、两条曲线y=、y=（）围成的平面图形的面积：S，如图3。题型三 解决综合性问题例3、在曲线（x0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为。试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。分析：设出切点A的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。解：如图，设切点A（），由2x，过A点的切线方程为yy2x（xx）,即y2xxx。令y0,得x=。即C（，0）。设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，SSS。S，SBCAB（x）xx，即：Sxxx。所以x=1，从而切点A（1,1）,
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