高数B(下册)空间解析几何与向量代数习题精选.pdf

第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 1 已知 1 1 2 3M 2 0 1 2M 12 M M 的坐标式 12 M M 与 12 M M 平行的 单位向量 方向余弦 解 1 12 0 1 12 231 1 5M M 2 222 12 11527M M 3 212121 121212 115 cos cos cos 272727 xxyyzz M MM MM M 4 与 12 M M 平行的单位向量为 115 cos cos cos 272727 2 设直线 11 24 xyz n 与直线 12 13 xyz m 平行 求 n m 解 12 2 4 1 3snsm 因为两直线平行 所以 1212 2443 0 1332 n ssssnm m 3 已知平面 21Axyz 与平面 33xyz 垂直 求A 解 12 1 2 3 1 1nAn 因为两平面垂直 所以 1212 03 112 101nnn nAA i 4 已知平面 310 xByz 与直线 11 46 xyz m 垂直 求 B m 解 1 3 4 6nBsm 因为垂直 所以有 46 02 2 13 m nsnsBm B 5 求由 1 2 3 1 2 4ab 为邻边组成的平行四边形的面积 解 由两向量叉积的几何意义知 以a b 为邻边组成的平行四边行的面积 Sa b 因为 12386 43 222 7 4 124 ijk a b 故 2 22 27469Sa b 6 求以 111222333 A x y zB xyzC xy z为顶点的三角形面积 解 该三角形的面积即为以 AB AC 为邻边组成的平行四边行的面积的一半 即 1 2 SABAC 因为 212121313131 ABxx yy zzACxx yy zz 所以 212121 313131 1 2 ijk ABACxxyyzzSABAC xxyyzz 7 已知向量 OA 与 x y轴夹角分别为 3 4 6OA 求 A 点坐标 解 由已知 12 coscos coscos 3242 因为 22222 1 coscoscos1cos1 coscos 2 故 cos cos cos3 3 2 3OAOAOAOA 或 3 3 2 3 因为 000 aaaaaa OAxxyyzzxyz 所以A点的坐标为 3 3 2 3或 3 3 2 3 8 设 1 2 3 2 1 2ab 求Pr a j b cosa b 解 1 Pr a j b 222 1 22 1 3 210 cos 14 123 a b ba b a i 2 222222 1 22 1 3 210 cos 3 14 123212 a b a b a b i 9 求过y轴与点M 3 1 2 的平面方程 解 设所求平面为 法向量为n 因为平面过y轴 故nj 又 3 1 2OM 在 上 所以nOM 取 0 1 03 1 20102 0 3 312 ijk njOM 由平面的点 法式知所求平面的方程为 2301320230 xyzxz 又解 由题意可设平面方程为0AxCz 因为过M 3 1 2 所以320AC 2 3 AC 故平面方程为230 xz 10 求过点 1 1 1M且与平面 12 1 210 xyzxyz 都垂直的平面方程 解 设所求平面为 法向量为n 由已知 可以取 12 nnn 其中 1 1 1 1n 212 1 2 11111 2 3 121 ijk nnnn 由平面的点法式知所求平面的方程为 1121310230 xyzxyz 11 求过点 1 2 1P且与直线 2360 42390 xyz xyz 垂直的平面方程 解 设所求平面为 法向量为n 由已知 直线的方向向量取为 12 2 3 14 2 3snn 2317 2 8 423 ijk 因为平面与直线垂直 所以平面的法向量与直线的方向向量平行 故可以取 7 2 8n 由平面的点法式知所求平面的方程为 712281072830 xyzxyz 12 求点 1 2 1P 到平面 2250 xyz 距离 解 设点到平面的距离为 d则有 000 2 22 22511222 1 5 12 4 39 122 xyz d 13 求与平面 310 xyz 平行且相距为 3 的平面方程 解 设 p x y z为平面上一点 它与已知平面的距离为 3 由平面外一点到平面的距离公式知 2 22 31 33131 113 1111 xyz xyzxyz 故所求的平面方程为 11130 xyz 或11130 xyz 14 求过直线 430 2510 xz xyz 且与平面 210 xyz 垂直的平面方程 解 利用平面束方程来解 设过直线的平面束方程为 432510 xzxyz 124530 xyz 因为与平面 210 xyz 垂直 故 121245103 所以所求的平面方程为 53110 xyz 15 求平面 2360 xyz 与三坐标面围成的四面体的体积 解 先将平面方程化为截距式 23601 632 xyz xyz 其与三坐标轴的截距为 6 3 2 所以所求的四面体体积为 111 6326 332 Vsh 16 求过点 1 2 3P且与直线 2360 3240 xyz xyz 平行的直线方程 解 设所求的直线为l 其方向向量为s 已知直线的方向向量取为 12 1 2 33 1 21231 11 7 312 ijk nn 因为两直线平行 故取 1 11 7s 由直线的对称式知所求的直线方程为 123 1117 xyz 17 将直线方程 34560 2510 xyz xyz 化为对称式与参数式 解 1 先求平面上一点 0000 Mxyz 令0z 代入上面直线方程 34 3460 7 251015 7 x xy xy y 2 由已知可以取直线的方向向量 s 12 3 4 52 5 1nn 34521 7 7 251 ijk 3 直线的对称式方程为 34153415 7777 2177311 xyxy zz 参数式方程为 34 3 7 15 7 xt yt zt 其中t为参数 18 求直线 6 23 xy yz 与直线 125 121 xyz 的夹角 解 直线 1 6 23 xy l yz 的方向向量设为 1 s 则 1 s 可以取为 112 1 1 00 2 11101 1 2 021 ijk snn 2 1 2 1s 两直线的夹角即为两直线方向向量之间的夹角 设其夹角为 因为 12 12 1 221 cos 66 6 s s s s 所以 1 arccos 6 19 求直线 125 212 xyz 与平面 210 xyz 的夹角 解 设直线的方向向量为s 则 2 1 2s 设平面的法向量为n 则 2 1 1n 设直线与平面的夹角为 而方向向量与法向量的夹角为 由直线与平面夹角知 2 故 4 1255 sincosarcsin 963 63 6 s n sn 20 将xoy面上的曲线 22 4936xy 分别绕x轴 y轴旋转一周形成的旋转曲面方程 解 1 绕x轴旋转一周形成的旋转曲面方程为 2 222222 49364936xyzxyz 2 绕y轴旋转一周形成的旋转曲面方程为 2 222222