高考数学第四章简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案文新人教A版.docx

第3讲简单的三角恒等变换一、知识梳理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3三角函数公式的关系常用结论四个必备结论(1)降幂公式：cos2，sin2.(2)升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.(3)tan tan tan()(1tan tan )，1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.(4)辅助角公式asin xbcos xsin (x)，其中tan .二、习题改编1(必修4P137A组T5改编)已知sin ，则sin 的值为()A.B.C. D解析：选D.因为，所以，cos0，cos，所以sin sinsincos cossin .故选D.2(必修4P131练习T5改编)计算：sin 108cos 42cos 72sin 42 解析：原式sin(18072)cos 42cos 72sin 42sin 72cos 42cos 72sin 42sin(7242)sin 30.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意角()(2)两角和与差的正切公式中的角，是任意角()(3)cos 80cos 20sin 80sin 20cos(8020)cos 60.()(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(5)存在实数，使tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)不会用公式找不到思路；(2)不会合理配角出错1若cos ，是第三象限的角，则sin()A B.C D解析：选C.因为cos ，是第三象限的角，所以sin ，所以sinsin coscos sin.2sin 15sin 75的值是 解析：sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.答案：第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式三角函数公式的直接应用(师生共研) (1)(2019高考全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()A.B.C. D(2)(一题多解)(2018高考全国卷)已知tan()，则tan 【解析】(1)依题意得4sin cos 2cos2，由，知cos 0，所以2sin cos .又sin2cos21，所以sin24sin21，即sin2.又，所以sin ，选B.(2)法一：因为tan，所以，即，解得tan .法二：因为tan，所以tan tan.【答案】(1)B(2)利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用1(2020石家庄市模拟(一)已知cos2cos()，则tan()A3 B3C D解析：选A.因为cos2cos()，所以sin 2cos ，所以tan 2，所以tan3，故选A.2已知sin cos ，且，则的值为()A B.C D解析：选A.因为sin cos ，即sin cos ，所以，故选A.3(2020长春市质量监测(二)直线y2x绕原点顺时针旋转45得到直线l，若l的倾斜角为，则cos 2的值为()A. B.C D解析：选D.设直线y2x的倾斜角为，则tan 2，45，所以tan tan(45)，cos 2cos2sin2，故选D.三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研) (1)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C的值为()A B.C. D(2)(2018高考全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin() 【解析】(1)由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又(AB)(0，)，所以AB，则C，cos C.(2)因为sin cos 1，cos sin 0，所以sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，所以sin().【答案】(1)B(2)(1)三角函数公式活用技巧逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式1(1tan215)cos215的值等于()A. B1C. D解析：选C.(1tan215)cos215cos215sin215cos 30.2已知sin 2，则cos2()A B.C D解析：选D.cos2sin 2.3(1tan 20)(1tan 25) 解析：(1tan 20)(1tan 25)1tan 20tan 25tan 20tan 251tan(2025)(1tan 20tan 25)tan 20tan 252.答案：2两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)角度一三角函数公式中变“角” (2020黑龙江大庆实验中学考前训练)已知，sin()，sin，则cos 【解析】由题意知，sin()0，所以cos()，因为，所以cos，coscoscos()cossin()sin.【答案】角度二三角函数公式中变“名” 求值：sin 10.【解】原式sin 10sin 10sin 102cos 10.三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，2等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦提醒转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化1(2020甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(2)2，tan 3，则tan() ，tan 解析：因为tan(2)2，tan 3，所以tan()tan(2)1.tan tan().答案：12求4sin 20tan 20的值解：原式4sin 20.基础题组练1计算sin 133cos 197cos 47cos 73的结果为()A.B.C. D解析：选A.sin 133cos 197cos 47cos 73sin 47(cos 17)cos 47sin 17sin(4717)sin 30.2(2020福建五校第二次联考)已知cos，则sin 2()A. BC. D解析：选C.法一：因为cos，所以sin 2sincos 22cos2121.故选C.法二：因为cos，所以(cos sin )，所以cos sin ，平方得1sin 2，得sin 2.故选C.3(2020陕西榆林模拟)已知3cos(2)，|，则sin 2()A. B.C. D解析：选C.因为3cos(2)，所以3cos .又|，故sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2，故选C.4(2020武汉模拟)已知cos，则cos xcos()A. BC. D解析：选A.因为cos，所以cos xcoscos xcos xsin xcos.故选A.5(2020湘东五校联考)已知sin()，sin()，则log等于()A2 B3C4 D5解析：选C.因为sin()，sin()，所以sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以5，所以loglog524.故选C.6(2020洛阳统考)已知sin cos ，则cos 4 解析：由sin cos ，得sin2cos22sin cos 1sin 2，所以sin 2，从而cos 412sin2212.答案：7(2020安徽黄山模拟改编)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则sin ，tan 解析：由题知角的终边经过点P(x，6)，所以cos ，解得x，所以sin ，tan ，所以tan.答案：8已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，则sin 解析：依题意可将已知条件变形为sin()sin ，所以sin .又是第三象限角，因此有cos ，所以sinsinsin cos cos sin .答案：9已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值解：(1)tan3.(2)1.10已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解：(1)由角的终边过点P，得sin ，所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos ，由sin()，得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .综合题组练1若，都是锐角，且cos ，sin()，则cos ()A. B.C.或 D或解析：选A.因为，都是锐角，且cos ，sin()，所以sin ，cos()，从而cos cos()cos cos()sin sin()，故选A.2(2020河南百校联盟联考)已知为第二象限角，且tan tan 2tan tan 2，则sin等于()A B.C D解析：选C.tan tan 2tan tan 22tan2，因为为第二象限角，所以sin，cos，则sinsinsincossin sincos .3已知函数f(x)sin，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f的值解：(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因为cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以f(