高考数学函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质第2课时函数的奇偶性及周期性教案文新人教A版.docx

第2课时函数的奇偶性及周期性一、知识梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称注意奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)5.常用结论1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)二、习题改编1(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数故选B.2(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f 解析：由题意得，ff421.答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；(2)周期不能正确求出从而求不出结果1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x) 解析：当x0时，则x0，所以f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)(x)(1x)，所以f(x)x(1x)答案：x(1x)2已知函数f(x)满足f(x2).当1x3时，f(x)x，则f(105) 解析：因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，故4为函数f(x)的一个周期f(105)f(4261)f(1)1.答案：1判断函数的奇偶性(师生共研) 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3；(2)f(x)；(3)f(x)【解】(1)原函数的定义域为x|x0，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(x)(x)3f(x)，从而函数f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为1，1，关于原点对称又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇；复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(x0)f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数已知函数f(x)，g(x)，则下列结论正确的是()Ah(x)f(x)g(x)是偶函数Bh(x)f(x)g(x)是奇函数Ch(x)f(x)g(x)是奇函数Dh(x)f(x)g(x)是偶函数解析：选A.易知h(x)f(x)g(x)的定义域为x|x0，关于原点对称因为f(x)g(x)f(x)g(x)，所以h(x)f(x)g(x)是偶函数故选A.函数奇偶性的应用(师生共研) (2019高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1【解析】通解：依题意得，当x0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为 解析：法一：当x0，所以f(x)x2x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x，所以当x0时，f(x)x2x，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为.答案：函数的周期性(师生共研) (1)(2020广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)其中aR，若f(5)f(4.5)，则a()A0.5 B1.5C2.5 D3.5(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，4上与x轴的交点的个数为()A2 B3C4 D5【解析】(1)由f(x1)f(x1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以a2.5.故选C.(2)当0x2时，令f(x)x3xx(x21)0，所以yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x10，x21.当2x4时，0x22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当2x1，f(5)a22a4，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(，1)(3，)C(3，1) D(，3)(1，)解析：选A.由f(x1)f(x1)，可得f(x2)f(x)，则f(x4)f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)f(1)a22a4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)1，所以f(1)1，所以a22a41，解得1ag(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)3已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，34(应用型)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)