2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例教案文新人教A版.docx

第3讲平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围：向量夹角的范围是0180注意当a与b同向时，0；a与b反向时，180；a与b垂直时，90.2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积注意投影和两向量的数量积都是数量，不是向量3向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，abx1x2y1y2.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20常用结论(1)两向量a与b为锐角ab0且a与b不共线(2)两向量a与b为钝角ab0且a与b不共线(3)(ab)2a22abb2.(4)(ab)(ab)a2b2.(5)a与b同向时，ab|a|b|.(6)a与b反向时，ab|a|b|.二、习题改编(必修4P108A组T6改编)已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为()A12B6C3 D3解析：选B.ab|a|b|cos 13512，所以|b|6.一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误1在ABC中，AB3，AC2，BC，则的值为 解析：在ABC中，由余弦定理得cos A.所以|cos(A)|cos A32.答案：2已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为 解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.答案：23已知向量a与b的夹角为，|a|b|1，且a(ab)，则实数 解析：由题意，得ab|a|b|cos ，因为a(ab)，所以a(ab)|a|2ab10，所以2.答案：2平面向量数量积的运算(师生共研) (一题多解)(2019高考天津卷)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则 【解析】法一：在等腰ABE中，易得BAEABE30，故BE2，则()()52cos 3052cos 1801222cos法二：在ABD中，由余弦定理可得BD，所以cosABD，则sinABD.设与的夹角为，则cos cos(180ABD30)cos(ABD30)cosABDcos 30sinABDsin 30，在ABE中，易得AEBE2，故21.【答案】1求向量a，b的数量积ab的两种方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解1(2019高考全国卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3 B2C2 D3解析：选C.因为(3，t)(2，3)(1，t3)，因为|1，所以1，所以t3，所以(1，0)，所以21302，故选C.2(一题多解)(2020湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，C，AB4，AC2，若，则()A18 B6C18 D6解析：选C.通解：由C，AB4，AC2，得CB2，0.()()218，故选C.优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)由题意得CBA，又，所以D(1，3)，则(1，3)(0，2)18，故选C.优解二：因为C，AB4，AC2，所以CB2，所以在上的投影为2，又，所以在上的投影为23，则在上的投影为3，所以|cos，2318，故选C.平面向量数量积的应用(多维探究)角度一求两平面向量的夹角 (1)(一题多解)(2019高考全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B.C. D(2)已知向量(x，1)(x0)，(1，2)，|，则，的夹角为()A. B.C. D【解析】(1)法一：由题意得，(ab)b0ab|b|2，所以|a|b|cos|b|2，因为|a|2|b|，所以2|b|2cos|b|2cos，所以，故选B.法二：如图，设a，b，则ab，所以B，|2|，所以AOB，即.(2)因为(1x，1)，所以|2(1x)215，即x22x30，解得x3或x1(舍)设，的夹角为，则cos ，所以.【答案】(1)B(2)C求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系(2)若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则cosa，b.角度二求平面向量的模 (1)(一题多解)(2020唐山市摸底考试)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1e2|，则|e1e2| (2)设xR，向量a(x，1)，b(1，2)，且ab，则|a| ，则当t，2时，|atb|的取值范围是 【解析】(1)法一：|e1e2|，两边平方，得e2e1e2e3，又e1，e2是单位向量，所以2e1e21，所以|e1e2|2e2e1e2e1，所以|e1e2|1.法二：如图，设e1，e2，又e1，e2是单位向量，所以|1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以e1e2，e1e2，因为|e1e2|，即|，所以ABC120，则DAB60，所以|1，即|e1e2|1.(2)向量a(x，1)，b(1，2)，且ab，所以x20，解得x2，所以|a|.|atb|2a2t2b22tab5t25，所以当t0时，取得最小值为5；当t2时，最大值为25.即|atb|的取值范围是，5【答案】(1)1(2)，5求向量模长的方法利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|；(3)若a(x，y)，则|a|.角度三两平面向量垂直问题 已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为 【解析】因为，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以(1)|cos 120940.所以(1)32940.解得.【答案】两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.注意若a0，虽然有ab0，但不能说ab.1已知向量a，b满足|a|1，|b|2，ab(，)，则|a2b|()A2 B2C. D解析：选C.因为ab(，)，所以|ab|，所以|ab|2|a|22ab|b|252ab5，则ab0，所以|a2b|2|a|24ab4|b|217，所以|a2b|.故选C.2已知在四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B正方形C菱形 D梯形解析：选C.因为0，所以，所以四边形ABCD是平行四边形又()0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形向量数量积的综合应用(师生共研) (2020广州海珠区摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影【解】(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，则B，由余弦定理得52c225c，解得c1.故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等(2020石家庄模拟)已知A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求边c的长解：(1)由已知得mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C，所以mnsin C，又mnsin 2C，所以sin 2Csin C，所以cos C.又0C，所以C.(2)由已知及正弦定理得2cab.因为()18，所以abcos C18，所以ab36.由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，所以c24c2336，所以c236，所以c6.思想方法系列9函数思想与数形结合思想在数量积中的应用 已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BC D1【解析】法一：结合题意画出图形，如图(1)所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有2，则()22()()2(22)而2，当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时()取得最小值，最小值为222.法二：如图(2)，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22，当x0，y时，()取得最小值，最小值为.【答案】B平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决(2020河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ab)(2bc)的最小值为()A2 B3C1 D0解析：选B.由|a|b|1，ab，可得a，b，令a，b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a(1，0)，b，设c(cos ，sin )(02)，则(ab)(2bc)2abac2b2bc3(cos cos sin )3sin，则(ab)(2bc)的最小值为3，故选B.基础题组练1设a(1，2)，b(1，1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()ABC. D解析：选A.cakb(1，2)k(1，1)(1k，2k)，因为bc，所以bc0，bc(1，1)(1k，2k)1k2k32k0，所以k.2(2020湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a(a2b)0，则|ab|()A. B.C2 D解析：选A.由题意知，a(a2b)a22ab12ab0，所以2ab1，所以|ab|.故选A.3(2020广州市综合检测(一)a，b为平面向量，已知a(2，4)，a2b(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()A BC. D解析：选B.设b(x，y)，则有a2b(2，4)(2x，2y)(22x，42y)(0，8)，所以，解得，故b(1，2)，|b|，|a|2，cosa，b，故选B.4(2020四川资阳第一次模拟)已知向量a，b满足ab0，|ab|m|a|，若ab与ab的夹角为，则m的值为()A2 B.C1 D解析：选A.因为ab0，所以|ab|ab|，因为|ab|m|a|，所以(ab)2m2a2，所以a2b2m2a2，所以b2(m21)a2.又ab与ab的夹角为，所以cos，所以.解得m2或m2(舍去)故选A.5(2020郑州市第二次质量预测)在RtABC中，C90，CB2，CA4，P在边AC的中线BD上，则的最小值为()A B0C4 D1解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为yx2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2t)(0t2)，所以(t，2t)，(t，t)，所以t2t(2t)2t22t2，当t时，取得最小值，故选A.6(2019高考全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c 解析：设a(1，0)，b(0，1)，则c(2，)，所以cosa，c.答案：7已知点M，N满足|3，且|2，则M，N两点间的距离为 解析：依题意，得|2|2|2218220，则1，故M，N两点间的距离为|4.答案：48(2020山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是 ，a(ab) 解析：由题意，设向量a，b的夹角为，因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32cos 0，解得cos .又因为0，所以.则a(ab)|a|2|a|b|cos 326.答案：69已知向量a(2，1)，b(1，x)(1)若a(ab)，求|b|的值；(2)若a2b(4，7)，求向量a与b夹角的大小解：(1)由题意得ab(3，1x)由a(ab)，可得61x0，解得x7，即b(1，7)，所以|b|5.(2)由题意得，a2b(4，2x1)(4，7)，故x3，所以b(1，3)，所以cosa，b，因为a，b0，所以a与b夹角是.10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解：(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC433.综合题组练1(2020安徽五校联盟第二次质检)已知O是ABC内部一点，且满足0，又2，BAC60，则OBC的面积为()A. B3C1 D2解析：选C.由2，BAC60，可得|cos BAC|2，所以|4，所以SABC|sinBAC3，又0，所以O为ABC的重心，所以SOBCSABC1，故选C.2(2020河北衡水中学期末)在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MAMBMCMD1，CMD120，若点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，则的取值范围是()A1，0) B.C1，1) D解析：选B.连接MN.由题意得()()22|21.在MCN中，MC1，MCN30，所以MN212