空间几何二面角解题技巧练习.doc

知识点： 二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种：方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P棱及另一个面分别引垂线PA、PB，连接AB，根据三垂线定理（或逆定理），PAB为所求的二面角的平面角.如图2。方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中MAN）.方法四（投影面积法）一个平面a上的图形面积为S，它在另一个平面b上的投影面积为S，这两个平面的夹角为q，则S=Scosq或cosq=. 方法五（异面直线法）如图4中，平面a、b相交成q角，AC、BD分别在a、b上，且与棱垂直.若AC=m，BD=n, CD=d，则有AB2=m2+n2+d2-2mncosq，故cosq= （1）在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求q.说明：原来的公式中q理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A、B的位置情况公式是AB2=m2+n2+d22mncosq.但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）.方法六（空间向量法）如图5，设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=。二、例题：例1在棱长为1的正方体中，（1）求二面角的大小；（2）求平面与底面所成二面角的平面角大小例2如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小（垂面法）。例3在正方体AC1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1FFA=12，求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角.例4矩形ABCD的两边AB=1，AD=，以BD为棱折成二面角，使AC=.求二面角A-BD-C的大小.图12例5正三棱柱的所有棱长均为，是侧棱上任意一点当时，求二面角的大小 例6如图，平面，若，求二面角的正弦值例7如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，求二面角的大小三、课堂练习题1. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于（ C）2. 在立体图形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中点AC，BD交于O点（）求二面角QBDC的大小：90（）求二面角BQDC的大小603. 已知平面平面，交线为AB，C，D，E为BC的中点，ACBD，BD=8求证：BD平面；求证：平面AED平面BCD；求二面角BACD的正切值4. 如图，ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求(1) A、D连线和直线BC所成角的大小；(2) 二面角ABDC的大小90arctg25. 正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ABD折起，使二面角A-BD-C 为60，求二面角B-AC-D的余弦值。-6. 如图平面SAC平面ACB，SAC是边长为4的等边三角形，ACB为直角三角形，ACB=90，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。 课后练习：ABCB1C1A1NQ1. 三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。二面角B-B1C-A的正弦值为。2. 已知菱形ABCD边长为a，且其一条对角线BDa，沿对角线BD将折起所在平面成直二面角，点E、F分别是BC、CD的中点。 (1)求AC与平面AEF所成的角的余弦值 (2)求二面角AEFB的正切值。 3. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=900，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。（答案：arctg）4