计数原理+排列组合复习课 (高三一轮复习).ppt

计数应用题中的典型问题和典型方法 例1 有两个袋子 其中一个袋子装有20个红色小球 每个球上标有1至20中的号码 另一个袋子装有白色小球15个 每个球上标有1至15中的号码 1 从袋子中任取一个小球 有多少种不同的取法 2 从袋中任取红白球各一个 有多少种不同的取法 点评 分清是 分类 还是 分步 是区别应用这两个原理的关键所在 分析 分类 方法可分类 类与类是并列关系 一类方法能完成一件事 分步 过程需分步 步与步是前后相继的关系 一步不能完成一件事情 几步共同才 解 1 分两类 从红球中任取一个有20种不同的取法 从白球中任取一个有15种不同的取法 由分类计数原理得20 15 35 种 即共35种不同取法 2 分两步 从红球中任取一个有20种不同的取法 从白球中任取一个有15种不同的取法 由分步计数原理得20 15 300 种 即共300种不同取法 能完成一件事 1 分类 分步两个原理的区别与联系 名称 内容 巩固练习 已知集合M 3 2 1 0 1 2 P a b 是平面上点 1 P可表示多少个不同的点 2 P可表示多少个坐标轴上的点 2 分三类 第一类 P为x轴上 除原点 的点有5种 第二类 P为y轴上 除原点 的点有5种 第三类 P为原点有1种 由分类计数原理得5 5 1 11 种 P可表示11个坐标轴上的点 解 1 分两步 第一步 先确定横坐标a有6种不同的选法 第二步 再确定纵坐标b有6种不同的选法 由分步计数原理得6 6 36 种 P可表示36个不同的点 例2 用五种不同颜色给图中四个区域涂色 每个区域涂一种颜色 1 共有多少种不同的涂色方法 2 若要求相邻 有公共边 的区域不同色 那么共有多少种不同的涂色方法 1 2 3 4 解 1 由分步计数原理可知 共有 625种 2 只有2和4可同色 若2 4不同色有种 若2 4同色 有种 共有120 60 180种 分析 有5种 有5种 有5种 有5种 分析 1 2 3 4 420 种 解 按颜色分类 有三类不同的着色方法 1 涂5色 有种 2 涂4色 有种 由分类计数原理 不同的着色方法有 3 涂3色 有种 练习 如图 一个地区分为5个行政区域 现给地图着色 要求相邻地区不得使用同一颜色 现有5种颜色可供选择 则不同的着色方法共有种 以数字作答 例3 有4名学生报名参加数学 物理 化学竞赛 每人限报一科 有多少种不同的报名方法 有4名学生争夺数学 物理 化学竞赛的冠军 有多 少种不同的结果 分析 4名学生报名参加竞赛 不得兼报 是 人选科目 每人都有3种不同的报名方法 可把4名学生报名视为4个步骤 用分步计数原理 4名学生争夺三项冠军 因每位冠军只能是一名学生获得 故应是 科目选人 每个科目的冠军都有4种可能 将3个科目选冠军视为3个步骤 也应用分步计数原理 解 4名学生中 每人都要选报数学 物理 化学中的一科 根据分步计数原理 共有种报名方法 4名学生争夺数学 物理 化学三项冠军 每一项冠军都有4种不同的结果 共有种不同的结果 2 排列和组合的区别和联系 算一算 1 计算 2 解方程 3 排列应用题的求解应着眼的三个方面 1 问题的结果是否与顺序有关 能否归结为排列问题 2 问题中的几个元素指的是什么 m个元素的一个排列对应着的事件是什么 3 从n个元素中每次取出m个元素的一个排列对应着的事件是什么 一 特殊优先原则在有限制的问题中 优先考虑特殊元素或特殊位置 三大原则 二 先取后排原则先取后排原则也是解排列组合问题的总原则 尤其是排列与组合的综合问题 三 正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时 则考虑排除法 先不管约束条件 求出总数 再剔除不合要求的部分 采用策略 1 特殊位置 元素优先排列的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 7 定序问题除法处理的策略 8 分排问题直排的策略 一排考虑 分段研究 排列 顺序 例1 7人按下述要求排成一列 分别有多少种不同的站法 1 甲不站在两端 2 甲 乙必须站在两端 3 甲 乙不相邻 4 甲 乙必须相邻 5 甲 乙之间相隔2人 6 甲在乙的前面 可以不相邻 a c b d e g f 分析 由于元素甲 乙有特殊要求 故可采用优先元素或位置优先排列 解 1 特殊位置分析法 由于甲不站在两端 可先从除甲外的6人中任选2人站于两端共有种方法 再将所剩5人在所剩5个位置上进行全排列有种方法 故共有种不同的站法 间接法 7人全排列共有种 其中甲在两端者有种 故甲不在两端的所有站法 共有种 特殊元素分析法 由于甲不站在两端 故甲只能站在中间五个位置之一 有种 余下的6人进行全排列共有种 由分步计数原理得 共有种不同的站法 2 先排甲 乙于两端有种排法 再让余下的5人进行排有种 故甲 乙站在两端的所有排法有种排法 3 插空法 由于甲 乙不相邻 故先排除了甲 乙以外的5人 有种排法 再将甲 乙两人插入6个空档有种 由分步计数原理得 甲 乙不相邻的排法有种不同的排法 a c b d e 分析 间接法 7人全排列有种 其中甲 乙相邻者有种 从而甲 乙不相邻者有种不同的排法 4 捆绑法 设想将甲 乙2人并作一人 与其余5人进行全排列 共有种排法 又此2人的位置可交换 即有种排法 于是共有种不同的排法 a c b d e g f 分析 5 先从另5人中选2人排于甲 乙之间 有种排法 又甲 乙2人的排法有种 最后将甲 乙及其中间2人共4人并作一个元素 与其余3人排列列有种排法 故共有种不同的排法 6 整体 对称法 注意到甲在乙前与甲在乙后的排法一样多 故共有种排法 点评 先 与 后 并 与 插 都是辨证的 是可以互相转化的 在处理限位排列问题时 应灵活运用上述方法与策略 考点四定序问题消序 定序元素后排 策略 例3 7人排队 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练 用1 2 3 4 5 6 7 8 9组成没有重复数字的十位数字小于个位数字的五位数共有多少个 练 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个新节目插入原节目单中 且两个新节目不相邻 那么不同插法的种数为 30 考点六 多排问题直排策略 例7 8人排成前后两排 每排4人 其中甲乙在前排 丁在后排 共有多少排法 解 8人排前后两排 相当于8人坐8把椅子 可以把椅子排成一排 一般地 元素分成多排的排列问题 可归结为一排考虑 再分段研究 点拨 先不考虑定序的条件 排好后再除以要求定序的元素的全排列数 变式10人身高各不相等 排成前后排 每排5人 要求从左至右身高逐渐增加 共有多少排法 小试牛刀 1 从a b c d4名学生中选出2名完成一件工作 有多少种不同的选法 2 从a b c d4名学生中选出2名完成两件不同的工作 有多少种不同的选法 组合 无顺序 问题 将4本不同的书 按下列要求分组有多少不同的分法 1 分成两组 一组3本 另一组1本 2 平均分成两组 分组问题 分组不定向分配问题 3 分成三组 一组2本 另两组各1本 4 分给甲 乙两人 甲3本 乙1本 5 分给甲 乙两人 1人3本 另1人1本 1 把abcd分成平均两组 ab cd ac bd ad bc 有 多少种分法 cd bd bc ad ac ab 这两个在分组时只能算一个 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要除以Amm 即m 其中m表示组数 分组问题 2 把abcdef分成平均三组 有 多少种分法 分组问题 这6个在分组时只能算一个 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要除以Amm 即m 其中m表示组数 1 把abcd分成两组 一组3个 一组1个 abc d abd c acd b 有 多少种分法 bcd a 分组总共有4种 分组问题 不平均分组 有种方法 可先分3本的一组 再分1本的一组 这是连续进行的过程 因此应采用分步法 将4本不同的书 按下列要求分组有多少不同的分法 范例 1 分析 解 第1步 从4本书中任取3本分给3本的一组 第2步 余下的1本书分给1本的一组 根据乘法原理 共有 4种不同分法 分组问题 1 分成两组 一组3本 另一组1本 分二步 有种分法 不平均分组 无分配目标 范例 将4本不同的书 按下列要求分组有多少不同的分法 有种方法 解 由于分步处理过程使分组产生了顺序 要用 除法 消序 第二步 再分余下的2本书得到另一组 有种分法 故符合要求的分法有 3种不同分法 2 平均分成两组 第一步 先从4本书中分得2本得到一组 全部平均分配 无分配目标 范例 将4本不同的书 按下列要求分组有多少不同的分法 有种分法 解 由于分步处理使后面二组产生了先后顺序 要用 除法 消序 第二步 再从余下的2本书中分1本得到另一组 有种分法 故符合要求的分法有 3种不同分法 3 分成三组 一组2本 另两组各1本 第一步 先从4本书中分2本得到一组 部分平均分配 无分配目标 第三步 余下最后1本书得到最后一组 有种分法 问题 将4本不同的书 按下列要求分组有多少不同的分法 1 分成两组 一组3本 另一组1本 2 平均分成两组 1 非均分无分配对象的问题 一 分组不分配问题 分组不定向分配问题 2 均匀分组无分配对象的问题 3 部分均分无分配对象的问题 3 分成三组 一组2本 另两组各1本 将4本不同的书 按下列要求分组有多少不同的分法 4 分给甲 乙两人 甲3本 乙1本 5 分给甲 乙两人 1人3本 另1人1本 分组且分配问题 分组定向分配问题 分组不定向分配问题 有种方法 可先分给甲 再分给乙 这是连续进行的过程 因此应采用分步法 2 分析 解 第1步 甲从4本书中分得3本 第2步 乙分得余下的1本书 根据乘法原理 共有 4种不同分法 分二步 有种分法 不平均分组 有分配目标且明确 有种分法 解 第1步 先从4本书中分得3本得到一组 第2步 余下的1本书得到另一组 有种分法 根据乘法原理 共有 8种不同分法 第3步 将分好的两组再分给甲 乙两人 有种分法 不平均分组 有分配目标 但不明确 典型例题 12本不同的书 按下列方法分堆 共有多少种不同的方法 1 分成A B C三堆 每堆4本 2 分成A B C三堆 A为6本 B C各为3本 3 平均分成三堆 每堆4本 4 分成三堆 其中一堆6本 另两堆各3本 5 分成五堆 其中两堆每堆3本 另外三堆每堆2本 分析 4 4 4 4 4 4 A B C 堆有编号 分堆有顺序 平均分堆 堆无编号 堆与堆之间无顺序 2 同 1 可得 共有种分堆方法 3 共有种不同的分堆方法 4 共有种不同的分堆方法 5 共有种不同的分堆方法 解 1 A堆得4本书有种方法 B堆得4本书有种方法 C堆得4本书有种方法 由分步计数原理得 共有种不同的分堆方法 点评 平均分堆问题与顺序无关 练习 有12个人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 1 分为两组 一组7人 一组5人 2 分为甲 乙两组 甲组7人 乙组5人 3 分为甲 乙两组 一组7人 一组5人 4 分为甲 乙两组 每组6人 5 分为两组 每组6人 6 分为三组 一组5人 一组4人 一组3人 7 分为甲 乙 丙三组 甲组5人 乙组4人 丙组3人 8 分为甲 乙 丙三组 一组5人 一组4人 一组3人 9 分为甲 乙 丙三组 每组4人 10 分为三组 每组4人 探索与研究 如图 某城市有6纵7横共13条马路 汽车从图示A处行驶至B处 行驶方向规定只能是正东向或正北向 则不同的行驶路径有多少条 分析 从A行驶到B 共需走11 段 路 其中横路5段 纵路6段 而且我们知道 任意一条路径都是5横6纵共11段路组成 从而问题转化为在11段路径中无顺序地确定5段横路的位置 这是一个组合问题 解 共有条不同的路径 点评 对于较复杂的排列组合问题 充分挖掘出问题的简化模型 往往是我们快捷而准确地解决问题的关键 2 2016课标全国 5 5分 如图 小明从街道的E处出发 先到F处与小红会合 再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24B 18C 12D 9 答案B分两步 第一步 从E F 有6条可以选择的最短路径 第二步 从F G 有3条可以选择的最短路径 由分步乘法计数原理可知有6 3 18条可以选择的最短路径 故选B 3 课堂小结 1 正确区分 合理运用两个计数原理 2 真正理解排列与组合的区别和联系 排列 顺序 组合 无顺序 3 掌握求解排列 组合的典型方法 间接法 捆绑法 插空法 整体对称法等 补充习题 例6 用0 l 2 3 4 5这六个数字 l 能组成多少个无重复数字的四位偶数 2 能组成多少个无重复数字且为5的倍数5位数 3 能组成多少个比1325大无重复数字的四位数 4 能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字 解 2 符合条件的可分为二类 第一类 0在个位时有个 第二类 5在个位时有个 由分类计数原理得 符合条件的五位数 216 个 解 3 符合条件的可分为三类 第一类 千位数字为2 3 4 5时有个 第二类 千位百位数字为14 15时有个 由分类计数原理得 符合条件的数共有 270 个 第三类 千位百位十位数字为134 135时有个 例5用0 l 2 3 4 5这六个数字 l 能组成多少个无重复数字的四位偶数 2 能组成多少个无重复数字且为5的倍数5位数 3 能组成多少个比1325大无重复数字的四位数 4 能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字 解 4 先将1 3 5在奇数位上排列 有种 再将其余3个偶数排在剩余3个位置上排列 共有种 由分步计数原理得