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数字逻辑 一 概述 1数字系统 2数字逻辑电路的类型和研究方法 模拟信号 在时间上和数值上连续的信号 数字信号 在时间上和数值上不连续的 即离散的 信号 u u 模拟信号波形 数字信号波形 t t 对模拟信号进行传输 处理的电子线路称为模拟电路 对数字信号进行传输 处理的电子线路称为数字电路 1 数字系统 典型的模拟信号为正弦信号 任一模拟信号可看分解成不同频率正弦信号的迭加 i 数字逻辑电路的特点 1 工作信号是二进制的数字信号 在时间上和数值上是离散的 不连续 反映在电路上就是低电平和高电平两种状态 即0和1两个逻辑值 2 在数字电路中 研究的主要问题是电路的逻辑功能 即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系 3 电路结构简单 功耗低 便于集成和系列化生产 4 对组成数字电路的元器件的精度要求不高 只要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可 可靠性强 抗干挠能力强 电路结构简单 功耗低 便于集成和系列化生产 数字逻辑电路的特点 标称值0 3V允许低于0 8V 标称值3 6V允许高于2 4V 数字逻辑电路的类型和研究方法 1 数字电路的分类 1 按集成度分类 数字电路可分为小规模 SSI 每片数十器件 中规模 MSI 每片数百器件 大规模 LSI 每片数千器件 和超大规模 VLSI 每片器件数目大于1万 数字集成电路 集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型 2 按所用器件制作工艺的不同 数字电路可分为双极型 TTL型 和单极型 MOS型 两类 3 按照电路的结构和工作原理的不同 数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类 组合逻辑电路没有记忆功能 其输出信号只与当时的输入信号有关 而与电路以前的状态无关 时序逻辑电路具有记忆功能 其输出信号不仅和当时的输入信号有关 而且与电路以前的状态有关 典型的数字系统 数字计算机 2 数字逻辑电路的研究方法 1 对一个现成的数字逻辑电路研究它的工作性能和逻辑功能 分析 2 根据提出的逻辑功能 在给定条件下构造出实现预定功能的逻辑电路 设计 第一章数制与码制 1 1进位计数制 1 2数制转换 1 机器码 1 数的定点和浮点表示 1 数码和字符的代码表示 1 进位制 表示数时 仅用一位数码往往不够用 必须用进位计数的方法组成多位数码 多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制 简称进位制 1 1进位计数制 2 基数 进位制的基数 就是在该进位制中可能用到的数码个数 3 位权 位的权数 在某一进位制的数中 每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数 这个固定的数就是这一位的权数 权数是一个幂 两个基本因素 一 十进制基数为10 逢十进一 基本数码0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 相邻高位是低位权的十倍 位置记数法 按权展开式 S 10 an 1 10n 1 an 2 10n 2 a1 101 a0 100 a 1 10 1 a 2 10 2 a m 10 m 例 101 100 10 1 10 2 10 S 10 an 1an 2 a1a0a 1a 2 a m 10 或 又如 209 04 10 2 102 0 101 9 100 0 10 1 4 10 2 二 二进制基数为2 逢二进一 基本数码0 1 相邻高位是低位权的二倍 位置记数法 S 2 an 1an 2 a1a0a 1a 2 a m 2按权展开式 S 2 an 1 2n 1 an 2 2n 2 a1 21 a0 20 a 1 2 1 a 2 2 2 a m 2 m 例 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 101 01 2 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 5 25 10 加法规则 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10乘法规则 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 运算规则 各数位的权是 的幂 二进制数只有0和1两个数码 它的每一位都可以用电子元件来实现 且运算规则简单 相应的运算电路也容易实现 11001 10111110 11001 10110100 11001 101110010000011001 1111101 101101 11001 101010 000101101000 移位相加 移位相减 1001 1011 二进制乘法运算可转换成移位加法运算实现 同理二进制除法运算可转换成移位减法运算实现 三 十六进制基数为16 逢十六进一 基本数码0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 相邻高位是低位权的十六倍 位置记数法 S 16 an 1an 2 a1a0a 1a 2 a m 16 或 按权展开式 S 16 an 1 16n 1 an 2 16n 2 a1 161 a0 160 a 1 16 1 a 2 16 2 a m 16 m 例 16 161 160 16 1 16 2 16 四 八进制基数为8 逢十进一 基本数码0 1 2 3 4 5 6 7 相邻高位是低位权的八倍 位置记数法 S 8 an 1an 2 a1a0a 1a 2 a m 8 或 按权展开式 S 8 an 1 8n 1 an 2 8n 2 a1 81 a0 80 a 1 8 1 a 2 8 2 a m 8 m 例 8 8 8 8 8 1 8 2 8 五 任意 r 进制基数为r 逢r进一 基本数码r个 相邻高位是低位权的r倍 位置记数法 S r an 1an 2 a1a0a 1a 2 a m r按权展开式 S r an 1 rn 1 an 2 rn 2 a1 r1 a0 r0 a 1 r 1 a 2 r 2 a m r m 1 2数制转换 例 1 1 1 1 1 1 一 十进制与二进制间的相互转换 二进制数转换成十进制数 按权展开 相加得到 如 1 6 1 5 1 3 1 0 1 1 1 2 十进制数转换成二进制数 整数部分 除2取余 例如 要将十进制整数143转换为二进制整数 就要把它写成如下形式 0 1 2 4 8 17 35 71 143 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 1 1 1 1 143 D 10001111 B 余数 依据 两数相等 其整数部分和小数部分应分别相等 则除 后他们也应相等 且它们的小数部分和整数部分应分别相等 小数部分 乘 取整直到小数部分为0或达到所要求的精度 例 将 0 8125 10化为二进制小数 所以 0 8125 10 0 1101 2 11111111111 1111 8 4 2 1 16 32 64 128 256 512 1024 5 25 125 0625 1248163264128512102420484096 3288D 2048 1024 128 64 16 8 11011011000B 二 二进制数与十六进制数之间的相互转换 二进制数转换成十六进制数以小数点为中心 分别向左或向右每四位二进制数对应一位十六进制数 不足部分补 例 十六进制数转换成二进制数以小数点为中心 分别向左或向右每一位十六进制数对应四位二进制数 例 三 二进制数与八进制数之间的相互转换 二进制数转换成八进制数以小数点为中心 分别向左或向右每三位二进制数对应一位八进制数 不足部分补 例 O 八制数转换成二进制数以小数点为中心 分别向左或向右每一位八进制数对应三位二进制数 例 带符号二进制数的代码表示 36 5 010100 1 真值与机器码 N1 1011 N2 1011 1 0 1 原码表示法 符号 数值表示法 原码表示法用 0 表示正号 用 1 表示负号 有效值部分用二进制的绝对值表示 以下n均表示字长的有效位 X1 1001 X1 原 01001 X2 1001 X2 原 11001 X3 0 1001 X3 原 0 1001 X4 0 1001 X4 原 1 1001 X5 0 0000 X5 原 0 0000 X6 0 0000 X6 原 1 0000 小数 X1 2 n 1 X 0 X 原 1 X 1 X 0 X 1 2 n 1 完成下列数的真值到原码的转换X1 0 1011011X2 0 1011011 X1 原 0 1011011 X2 原 1 1011011 整数 X2n 1 1 X 0 X 原 2n 1 X 2n 1 X 0 X 2n 1 1 完成下列数的真值到原码的转换X1 01011011X2 01011011 X1 原 01011011 X2 原 11011011 2 反码表示法 位二进制数的反码有 位 其中 最高一位为符号位 正数的符号位用 表示 负数的符号位用 表示 数值位 正数的数值位与真值相同 负数的数值位由真值按位求反得到 X1 1001 X1 反 01001 X2 1001 X2 反 10110 X3 0 1001 X3 反 0 1001 X4 0 1001 X4 反 1 0110 X5 0 0000 X5 反 0 0000 X6 0 0000 X6 反 1 1111 小数反码的定义 X1 X 0 X 反 2 2 n 1 X0 X 1 2 n 1 X1 0 1011011 X1 反 0 1011011X2 0 1011011 X2 反 1 01001001 1111111 0 10110111 0100100 整数反码的定义 X2n 1 X 0 X 反 2n 1 X0 X 2n 1X3 1011011 X3 反 01011011X4 1011011 X4 反 10100100 0 反 00000000 0 反 11111111 3补码表示法 模 计量器具的容量 或称为模数 4位字长的机器表示的二进制整数为 0000 1111共16种状态 模为16 24 整数N位字长的模值为2n 一位符号位的纯小数的模值为2 模数也可看成可丢掉的数 例在12进制中13点也记为1点 即 1 13 mod12 X1 1001 X1 补 01001 X2 1001 X2 补 10111 X3 0 1001 X3 补 0 1001 X4 0 1001 X4 补 1 0111 X5 0 0000 X5 补 0 0000 X6 0 0000 X6 补 0 0000 X7 1 0000 X7 补 1 0000 补码的定义 正数的补码就是正数的本身 负数的补码是原负数加上模 小数补码的定义 X1 X 0 x 补 2 X 2 X 0 X 1 完成下列数的真值到补码的转换X1 0 1011011X2 0 1011011 X1 补 01011011 X2 补 10100101 整数补码的定义 X2 n 1 1 X 0 x 补 2n X 2n X 0 X 2 n 1 完成下列数的真值到补码的转换X1 01011011X2 01011011 X1 补 01011011 X2 补 10100101 二 机器数的运算 原码的运算 同符号数相加时 先得符号位 数值位再相加 相减时 先比较两数大小得符号位 数值位用绝对值大的数减小的数 例 已知 求 解 原 原 原 原 原 反码的运算 符号位和数值位一起参加运算 符号位的进位与最低数值位再相加 反 反 反 反 反 反 1001110 0011001 1100111 1001110 反 10110001 0011001 反 1110011010110001 11100110 10010111 110011000 1001110 0011001 1100111 补码的运算 符号位和数值位一起参加运算 符号位的进位舍去 补 补 补 补 补 补 1001110 0011001 110011110110010 11100111 10011001 符号位进位舍弃 五位机器计算9 59 8 已知X 0110101 Y 0011010求X Y X Y已知X 1000100 Y 0100111求X Y X Y 例已知X1 0 1001 X2 0 0101 求 X2 X1 补和 X2 X1 补 解 X2 X1 补 X2 补 X1 补 1 1011 0 1001 由于符号位产生了进位 因此 要将此进位舍去 即 X2 X1 补 0 0100运算结果的符号位为0 说明是正数的补码 补码与原码相同 由于其符号位为0 则其真值为X2 X1 0 0100 1 1011 0 100110 0100 舍去 X2 X1 补 X2 补 X1 补 1 1011 1 0111 由于符号位产生了进位 因此 要将此进位略去 即 X2 X1 补 1 0010运算结果的符号位为1 说明是负数的补码 应对补码求补后才能得到原码 即 X2 X1 原 1 1110由于其符号位为1 则其真值为X2 X1 0 1110 1 1011 1 011111 0010 舍去 十进制的补数 1 对10的补数十进制 对10的补数 与二进制的补码类似 符号位 正数用 表示 负数用 表示 数值位 正数与真值相同 负数按位对 求补 最低位加 例 N1 365N2 365 则 N1 10补 0365 N2 10补 9635 运算规则也与二进制的补码类似 例1 用对10的补求123 456 解 123 456 10补 123 10补 456 10补 0123 0456 0579 123 456 579 例2 用对10的补求123 456 解 123 456 10补 123 10补 456 10补 0123 9544 9667 123 456 333 例4 用对10的补求5678 123 解 5678 123 10补 5678 0123 10补 5678 10补 0123 10补 05678 99877 05555 5678 123 5555 例3 用对10的补求456 123 解 456 123 10补 456 10补 123 10补 0456 9877 0333 456 123 333 2 对 的补数十进制 对 的补数 与二进制的反码类似 符号位 正数用 表示 负数用 表示 数值位 正数与真值相同 负数按位对 求补 例 N1 365N2 365 则 N1 补 0365 N2 补 9634 运算规则也与二进制的反码类似 例1 用对9的补求123 456 解 123 456 9补 123 9补 456 9补 0123 0456 0579 123 456 579 例2 用对9的补求123 456 解 123 456 9补 123 9补 456 9补 0123 9543 9666 123 456 333 例3 用对9的补求456 123 解 456 123 9补 456 9补 123 9补 0456 9876 0333 456 123 333 数的定点和浮点表示 数的定点表示 计算机中的小数点并不是用某个数字来表示 而是用隐含的小数点的位置表示的 根据小数点的位置是否固定 可分为定点表示和浮点表示 其中 定点表示形式又分为定点小数表示和定点整数表示 小数点的位置是固定的 默认的称为数的定点表示 1 定点小数将小数点固定在符号位d0之后 数值最高位d 1之前 格式如下 其数据的表示范围随机器码表示方法的不同而不一样 2 定点整数将小数点固定在数的最低位之后 格式如下 其数据的表示范围随机器码表示方法的不同而不一样 数的浮点表示小数点的位置不固定或说是浮动的称为浮点表示 机器码中部分字段表示阶码 部分字段表示尾数 阶码 尾数 阶码 尾数 尾符 阶符 浮点表示速度快 数域广 精度高 例 16位浮点机器 5位阶码补码表示 含1位阶符 11位尾数补码表示 含1位尾 符 则其数域为 1 215 2 16 2 162 10 2 16 2 26 1 2 15 215 215 例16位定点小数机器其数域为 2 15 1 2 15 1 4几种常用的编码 1 4 1十进制数的二进制编码 1 4 2可靠性编码 1 4 3字符编码 1 4 1十进制数的二进制编码 十进制数的二进制编码简称为二 十进制码或BCD码 所谓BCD码是指用若干位二进制数来表示一位十进制数 十进制数有0 9共10个数码 所以表示1位十进制数 至少需要4位二进制数 但4位二进制数可以产生24 16种组合 用4位二进制数表示1位十进制数 有六种组合是多余的 十进制数的二进制编码可以有许多种方法 即有许多种不同的编码方案 下表列举了目前常用的几种编码方案 一 8421BCD码 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码 因各位的权值依次为8 4 2 1 故称8421BCD码 由于8421码中的每一位的权是固定不变的 它属于恒权代码 恒权码的按权展开式如下 S a3W3 a2W2 a1W1 a0W0 8421BCD码的权为W3 23 8W2 22 4W1 21 2W0 20 1 例如 8421BCD码1001的按权展开式为1 8 0 4 0 2 1 1 9因而 代码1001表示十进制数9 注意 在8421BCD码中 不允许出现1010 1111这几个代码 因为在十进制中 没有数码同它们对应 二 余3码 余3码是一种特殊的8421码 它是由8421BCD码加3后形成的 所以叫做余3码 例如 十进制数7在8421BCD码中是0111 在余3码中就成为1010 余3码的各位无固定的权 余3码是一种对 的自补码 三 2421码 2421码也是一种恒权码 它的0和9 1和8 2和7 3和6 4和5互为反码 这一点和余3码相似 只要将2421码自身按位求反 就能方便地得到其 对9的补数 的2421码 2421码用4位二进制数表示1位十进制数 其权为W3 2W2 4W1 2W0 1 34 56 D 00110100 01010110 8421 01100111 10001001 余3 00110100 10111100 2421 00110100 10001001 5421 1 4 2可靠性编码 一 格雷码 Gray 格雷码又叫循环码 它有多种编码形式 但它们有一个共同的特点 就是任意两个相邻的