线性代数 特征值与特征向量.ppt

在数学和工程技术的许多领域 如微分方程 运动稳定性 振动 自动控制 多体系统动力学 航空 航天等等 常常遇到矩阵的相似对角化问题 而解决这一问题的重要工具就是特征值与特征向量 为此 本章从介绍特征值与特征向量的概念和计算开始 进而讨论矩阵与对角形矩阵相似的条件 最后介绍相关的应用问题 第五章特征值与特征向量 一 特征值与特征向量的定义和求法 5 1特征值与特征向量 注意 1 只有方阵才有特征值与特征向量 2 特征向量必须是非零向量 而特征值不一定非零 下面讨论特征值和特征向量的解法 式子可写成以下线性方程组 如果是方程组的非零解 则有是的根 反之 如果有是的根 方程组有非零解 是的特征值的特征向量 是的特征根 综上 可得矩阵的特征值与特征向量的求法 1 写出矩阵的特征多项式 它的全部根就是矩阵的全部特征值 2 设是矩阵的全部互异的特征值 将的每个互异的特征值分别代入特征方程组 得 分别求出它们的基础解系 这就是特征值所对应的线性无关的特征向量 非零线性组合 是的属于特征值的全部特征向量 其中为任意常数 例1设 求A的特征值与特征向量 解 当时解方程组 I A X 0 得基础解系为 例2证明 若是矩阵A的特征值 是A的属于的特征向量 则 证 显然单位矩阵的特征值全是1 零矩阵的特征值全是0 上 下 三角阵的特征值是它的全部主对角元 矩阵的全部特征值的集合常称为的谱 二 特征值和特征向量的性质 设 易见 它的特征多项式是关于的次多项式 不妨设为 即 考虑上式左端行列式的展开式 它除了 这一项含有个形如的因式外 其余各项最多含有个这样的因式 于是只能由 5 1 6 产生 比较 5 1 5 两端的系数 得 在式 5 1 5 中 令 得 另外 根据多项式理论 次多项式在复数域上有个根 不妨设为 又由于的首项系数 于是有 比较和 得 于是可得特征值的重要性质 由易见 矩阵可逆的充要条件是它的所有特征值都不为零 矩阵的主对角线上的所有元素之和称为矩阵的迹 记作 于是 性质又可写成 还可证明 特征值和特征向量还有如下性质 并可证明 的属于特征值的全部特征向量 再添加零向量 便可以组成一个子空间 称之为的属于特征值的特征子空间 记为 不难看出 正是特征方程组的解空间 若都是矩阵的属于特征值的特征向量 则其非零线性组合 也是A的属于特征值的特征向量 若是矩阵的特征值 是的属于特征值的特征向量 则有 是矩阵的特征值 其中为正整数 是矩阵的特征值 其中为任意常数 是的特征值 这里是关于的多项式函数 当可逆时 是的特征值 并且仍是矩阵的分别对应于特征值的特征向量 例已知n阶可逆方阵A的全部特征值为求的全部特征值及 解由特征值的性质知 又已知可逆 从而的全部特征值为由伴随矩阵的性质知 当可逆时 从而有 于是 由上述性质中的知 的全部特征向量值为 于是 三 矩阵的相似 定义设A B是两个n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使得则称 相似于 记作 称为由 到 的相似变换矩阵 相似矩阵具有如下性质 显然 若 则 另外 可以证明 相似矩阵还有以下性质 为任意数 其中均为阶矩阵 为阶 可逆矩阵 特别地 当时 有 4 若A B 则f A f B 这里为任一多项式函数 其证明如下 设 则 由A B可知 存在可逆矩阵 使得 于是 即得f A f B 若 则 其证明如下 由 可知 存在可逆矩阵 使得 于是 由上易见 若 则矩阵 有相同的谱 若 则 其证明如下 由 可知 存在可逆矩阵 取 显然可逆 且 于是有 因此 例 3设是矩阵 的属于特征值的特征向量 证明 是矩阵 的对应于特征值的一个特征向量 证由已知可得 于是 又由得 故结论成立 解1 先求得 于是 2 由上式得 两端同时求次幂 得 思考题 思考题解答 矩阵的相似对角化 一 矩阵可对角化的条件 不妨假设阶方阵可相似于对角阵 即存在可逆矩阵 使得 或 令 并将之代入上式 得 即 从而有 由可逆知 且线性无关从而是的个线性无关的特征向量 是的个特征值 反之 若阶方阵有个线性无关的特征向量 不妨设为 则存在相应的特征值 使得 此时 令 显然可逆 且有 综上 有如下结论 定理 阶方阵 可相似对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量 与相对应的对角阵的主对角元正好是的全部特征值 并且的顺序与的顺序相对应 相似变换矩阵由的个线性无关的特征向量作为列构成 即 不唯一 因为 1 特征向量不唯一 2 的顺序随的顺序改变而改变 根据定理5 2 1 阶方阵的相似对角化问题就转化为是否有个线性无关的特征向量的问题 定理 阶方阵 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的 设 上式两端同时左乘A 得 由于上式可变为 由式减式的倍 消去 得 根据归纳假设 线性无关 于是 已知 所以必有 综上 结论对一切正整数都成立 推论若 阶方阵 有n个互异的特征值 即特征多项式无重根 则 可相似对角化 定理 设是 阶方阵 的 个互异的特征值 是属于特征值的线性无关的特征向量 则由所有这些特征向量 共个 构成的向量组 是线性无关的 由定理和知 对阶方阵来说 只要属于它的各个互异特征值的特征向量的总数不少于 就可以相似对角化 那么 对它的特征值来说 属于它的线性无关的特征向量最多有多少个 由 1知 特征值对应的全部特征向量正好是特征方程组的全部非零解 因此 的属于特征值的线性无关的特征向量最多有个 这个数就是特征方程组解空间的维数 也即特征子空间的维数 称之为特征值的几何重数 记为 另外 有 被称为特征值的代数重数 且有 设A的互异特征值 对应的几何重数分别为 于是A的线性无关的特征向量最多有个 A可相似对角化当且仅当 定理 2 4 阶方阵 的任一特征值的几何重数不大于它的代数重数 特别地 对于单特征值 其几何重数等于代数重数 由定理可得 同时 由上面已知 A可相似对角化当且仅当 于是有 定理 设是 阶方阵A的全部互异的特征值 和分别是特征值的代数重数和几何重数 i 1 2 s 则A可相似对角化的充要条件是 i 1 2 s 二相似对角化的方法 求出的全部互异的特征值 前面讨论了阶矩阵可相似对角化的条件 下面给出求相似对角阵及变换矩阵的方法和步骤 对每个特征值 求特征矩阵的秩 并判断的几何重数是否等于它的代数重数 只要 的一组基础解系 有一个不相等 就不可以相似对角化 否则可以相似对角化 当可以对角化时 对每个特征值 求方程组 则有 令 其中有个 例1判断下列实矩阵能否化为对角阵 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故不能化为对角矩阵 解 解之得基础解系 所以可对角化 注意 即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应 则 从而有 三 小结 相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系 它具有很多良好的性质 除了课堂内介绍的以外 还有 相似变换与相似变换矩阵 这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算 其方法是先通过相似变换 将矩阵变成与之等价的对角矩阵 再对对角矩阵进行运算 从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算 相似变换是对方阵进行的一种运算 它把A变成 而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵 思考题 思考题解答 实对称矩阵的相似对角化 一 实对称矩阵的特征值和特征向量 二 实对称矩阵的相似对角化 定理1实对称矩阵的特征值为实数 证明 一 实对称矩阵的特征值和特征向量 于是有 两式相减 得 定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的 证设 于是 二 实对称矩阵的相似对角化 定理设是n阶实对称矩阵A的任一特征值 p q分别为它的代数重数和几何重数 则 定理对任一 阶实对称矩阵 存在 阶正交矩阵 使得 其中为矩阵 的全部特征值 由此定理知 实对称矩阵一定可以相似对角化 而且有 根据上述结论 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵 其具体步骤为 2 1 解 例对下列各实对称矩阵 分别求出正交矩阵 使为对角阵 1 第一步求的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步将特征向量正交化 第四步将特征向量单位化 于是得正交阵 例设3阶实对称矩阵A的特征值为1 4 2 矩阵A对应的特征值1和4的特征向量分别为 1 求A的特征值 2的特征向量 2 求A 解设A的特征值 2的特征向量是 因此 A的特征值 2的全部特征向量为 求得其一组基础解系 2 取 同时 从而 例5 3 3已知为实对称矩阵 且证明 存在正交矩阵 使得 证由知和有相同的特征值 设为 根据定理5 3 4 对和分别存在正交矩阵和 使得 从而有 其中由正交矩阵的性质知 为正交矩阵 取 于是有 思考题 思考题解答 应用 一 求解线性方程组 例 求解线性微分方程组 解令 则方程组可表示成矩阵形式 假设可以相似对角化 即存在可逆矩阵 使得 其中为的全部特征值 于是令 即 其中 将式代入式 得 在上式两端同时左乘 得 即 将上式积分得 其中为积分常数 将式代入式 可得 其中为矩阵的第列 也是的对应于特征值的特征向量 另外 对于阶线性齐次常系数微分方程 可令 于是 可得与方程同解的方程组 其中 式可写成矩阵形式 于是这类微分方程可以归结为等价的线性微分方程组 然后再利用特征值和特征向量求解 解令 例 求解微分方程 于是 式可变为等价的方程组 即 其中 于是由例5 4 1可知 可求得的特征值为 对应的特征向量分别为 从而 其中为任意常数 二 过程 例 某超市为了提高自己的经营 服务水平 年末对附近一个小区的居民作了市场调查 结果表明 该小区有 的居民使用该超市提供的日用品 而且在这些老顾客中 有 的人表示 来年仍将继续使用该超市提供的日用品 同时 在尚未使用过该超市提供的日用品的被调查中 有 的人表示 来年将使用该超市提供的日用品 问 照此趋势 年后 在这个小区中 有多少比例的居民使用该超市提供的日用品 这个例子从数学角度看可以抽象出一个数学模型 即一个有限状态的系统 它每一时刻处在一个确定的状态 并随着时间的流逝从一个状态转移为另一个状态 每一状态的概率只与前一个状态相关 这样的一种连续过程被称为Markov过程 一般地假设系统共有n种可能的状态 分别记为1 2 n 在某个观察期间 它的状态为j 而在下一个观察期间 它的状态i为的概率为 称之为转移概率 它不随时间而变化 且有 称矩阵为转移矩阵 由系统的初始状态可以构造一个元向量称之为状态向量 记为 年后的状态向量记为 于是有 时 有 由上式易见 要求出 关键是求 当可相似对角化 即存在可逆矩阵 使得 对于例5 4 3系统共有两种状态 使用和不使用 分别记为1和2 于是有 下面求 先求的特征值及对应的特征向量 取 于是 于是 特征值为 对应的特征向量分别为 从而 由上可知 当时 第三步将每一个特征值代入相应的特征方程组 求出基础解系 即得该特征值的特征向量 一 特征值与特征向量的求法 第