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浅析常数变易法 南开大学经济学院06级金融学系张婷 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 什么是常数变易法 常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法 即将常数变易为待定函数 通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解 一阶线性常微分方程 解法 例如 定义 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 深入探析常数变易法 揭开神秘面纱之一 常数变易法的本质 齐次方程 解法 步骤一 设 步骤二 此时 u已被视为x的函数 将代回原式 就得到关于u与x的方程 从而求解 常数变易实质上是未知变量代换的过程 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 VS 此时 二者的本质相同 只是常数变易法中的变量代换更为复杂 不易辨别 常数变易法的目的是将原方程变换为只含与的方程 从而求出 小结 常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的齐次的或可化为齐次的方程中所代换的是一个变量而一阶线性非齐次常微分方程中 由于方程的复杂性 因此被代换的是一个表达式 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 揭开神秘面纱之二 常数变易法与迭加原理 n阶常系数非齐次线性方程 解法 通解 这种形式的方程与我们所研究的一阶线性非齐次常微分方程 有某种程度的相似性 我们是否可以按上述方法将其分解为两个方程分别求解 最终得到通解呢 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 经过推导 验证了我们的猜想 具体过程如下 变形 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 可见 通过此方法求得的结果与常数变易法结果实质上是一致的 我们也可以通过实际例题来加以验证 结论亦成立 例题1 将上述结果进行求导 除此之外 上述方法还具有更强的简易性与广泛性 当方程右端为多个式子组成的更复杂的函数时 我们仍然可以使用此方法得到通解 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 例题2 四式代数和即为原方程通解 此方法大大简化了运算过程 从而降低了运算量 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 各方程特解与齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 由此 对于最初所研究的一阶线性常微分方程 又增加了一种十分重要的解法 虽然结果形式上不同 但本质相同 形式不同的结果之间只相差一个常数 小结 南开大学第八届大学生文化素质教育节暨第四届大学生 数学之美 论坛 感悟 着力去挖掘隐藏在结论背后的理论与方法间本质的联系数学的魅力在于探求结果过程中逻辑思维的运用 联想能力的拓展与锲而不舍的钻研精神三者的融会贯通学会的不仅是一种方法 而是一种思想数学之中体现哲学真理不
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