多元函数微分学基础.ppt

一 二元函数的定义 先看下面的例子 一般地 二元函数的定义如下 解 对于一元函数 一般假定在某个区间上有定义进行讨论 对于二元函数 类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论 所谓区域 平面的 是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分 见图6 35 所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来 图6 12区域示意 若区域能延伸到无限远处 就称这区域是无界的 如图6 12 c 所示 否则 它总可以被包含在一个以原点O为中心 而半径适当大的圆内 这样的区域称为有界的 如图6 12 a b 所示 围成区域的曲线叫区域的边界 闭区域 连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界 开区域 不包括边界内的区域叫开区域 为方便使用 将开区域内的点称为内点 将区域边界上的点称为边界点 二 二元函数的几何意义 三 二元函数的极限和连续性 1 二元函数的极限 函数的极限是研究当自变量变化时 函数的变化趋势 但是二元函数的自变量有两个 所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多 二元函数的极限是一元函数极限的推广 有关一元函数极限的运算法则和定理 都可以推广二元函数的极限 下面举例说明 解 2 二元函数的连续性 函数的不连续点称为函数的间断点 思考题 答案 答案 答案 课堂练习题 答案 答案 答案 第三节偏导数与全微分 一 偏导数的定义及求法 解 解 证 解 例5 求 解法1 在点 1 2 处的偏导数 机动目录上页下页返回结束 例6 设 证 例7 求 的偏导数 解 求证 机动目录上页下页返回结束 二元函数偏导数的几何意义 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 机动目录上页下页返回结束 对y轴的 二 高阶偏导数 二 全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数y f x 的微分 近似计算 估计误差 本节内容 一 全微分的定义 全微分 第三节全微分 一 全微分的定义 一 全微分的定义 定义 如果函数z f x y 在定义域D的内点 x y 可表示成 其中A B不依赖于 x y 仅与x y有关 称为函数 在点 x y 的全微分 记作 若函数在域D内各点都可微 则称函数 f x y 在点 x y 可微 机动目录上页下页返回结束 处全增量 则称此函数在D内可微 2 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 1 函数可微 函数z f x y 在点 x y 可微 由微分定义 得 函数在该点连续 机动目录上页下页返回结束 偏导数存在 函数可微 即 定理1 必要条件 若函数z f x y 在点 x y 可微 则该函数在该点偏导数 同样可证 证 由全增量公式 必存在 且有 得到对x的偏增量 因此有 机动目录上页下页返回结束 反例 函数 易知 但 因此 函数在点 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏导数存在函数不一定可微 即 机动目录上页下页返回结束 定理2 充分条件 证 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分 机动目录上页下页返回结束 推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示 的全微分为 于是 机动目录上页下页返回结束 例1 计算函数 在点 2 1 处的全微分 解 例2 计算函数 的全微分 解 机动目录上页下页返回结束 可知当 二 全微分在数值计算中的应用 1 近似计算 由全微分定义 较小时 及 有近似等式 机动目录上页下页返回结束 可用于近似计算 误差分析 可用于近似计算 半径由20cm增大 解 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例4 有一圆柱体受压后发生形变 到20 05cm 则 高度由100cm减少到99cm 体积的近似改变量 机动目录上页下页返回结束 求此圆柱体 例5 计算 的近似值 解 设 则 取 则 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 微分定义 2 重要关系 机动目录上页下页返回结束 思考题 答案 答案 答案 课堂练习题 答案 答案 第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容 一 多元复合函数求导的链式法则 二 多元复合函数的全微分 微分法则 机动目录上页下页返回结束 多元复合函数的求导法则 一 多元复合函数求导的链式法则 定理 若函数 处偏导连续 在点t可导 则复合函数 证 设t取增量 t 则相应中间变量 且有链式法则 机动目录上页下页返回结束 有增量 u v 全导数公式 t 0时 根式前加 号 机动目录上页下页返回结束 推广 1 中间变量多于两个的情形 例如 设下面所涉及的函数都可微 2 中间变量是多元函数的情形 例如 机动目录上页下页返回结束 又如 当它们都具有可微条件时 有 注意 这里 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 口诀 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 与 不同 机动目录上页下页返回结束 例1 设 解 机动目录上页下页返回结束 例2 解 机动目录上页下页返回结束 例3 设 求全导数 解 注意 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动目录上页下页返回结束 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 机动目录上页下页返回结束 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 隐函数的求导方法 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 机动目录上页下页返回结束 导数 两边对x求导 在 的某邻域内 则 机动目录上页下页返回结束 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 机动目录上页下页返回结束 两边对x求偏导 同样可得 则 机动目录上页下页返回结束 例2 设 解法1利用隐函数求导 机动目录上页下页返回结束 解法2利用公式 设 则 机动目录上页下页返回结束 思考题 答案 答案 答案 课堂练习题 答案 答案 第八节 一 多元函数的极值 二 最值应用问题 三 条件极值 机动目录上页下页返回结束 多元函数的极值及其求法 一 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 的某邻域内有 机动目录上页下页返回结束 说明 使偏导数都为0的点称为驻点 例如 定理1 必要条件 函数 偏导数 证 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 取得极值 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点 有驻点 0 0 但在该点不取极值 且在该点取得极值 则有 存在 故 机动目录上页下页返回结束 时 具有极值 定理2 充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 机动目录上页下页返回结束 例2 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 机动目录上页下页返回结束 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 机动目录上页下页返回结束 二 最值应用问题 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 为极小值 为最小值 大 大 依据 机动目录上页下页返回结束 三 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一