2015北京东城高三上期末数学理(含解析).docx

北京市东城区20142015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类）20151第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，则（ ）ABCD2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4设等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A B C D5当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）ABCD6已知函数若，则实数的取值范围是（ ）ABCD7在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别为，画该四面体三视图中的正视图中，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）8已知圆，直线，点在直线上，若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是（ ）ABCD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上9若抛物线的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为 来源:ZxxkCom10若实数满足 则的最大值为_11在中，则 ；的面积为_12已知向量，不共线，若（）（），则实数_13已知函数是上的奇函数，且为偶函数若，则 14如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形,，分别为线段上的点若，则三棱锥体积的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本题满分13分）已知函数部分图象如图所示（）求的最小正周期及解析式；（）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值16（本题满分13分）已知数列是等差数列，满足，数列是公比为等比数列，且（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和17（本题满分14分）如图，平面，为的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求的值18（本题满分14分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）若存在，使得不等式成立，求的取值范围19（本题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为（）求椭圆的方程； （）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值20（本题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问数列经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设数列，对数列进行“变换”，得到数列，若数列的各项之和为，求，的值；（）在（）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由北京市东城区20142015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案（理工类）20151一、 选择题题号12345678答案AABCDDAB二、填空题题号91011121314答案；三、解答题15解：（）由图可知，所以当时，可得因为，所以，所以的解析式为（）由（）知将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以，因为，所以当，即时，有最大值为1当，即时，有最小值为16解：（）设等差数列的公差为由，得，解得所以，所以数列的通项公式为，由于是公比为的等比数列，且，所以从而，（）由（）知，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和17解：（）因为平面，平面，所以因为，所以平面又平面，所以因为，为的中点，所以，又，所以平面（）在平面内，做，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如下图：则，因此有，设平面的法向量为，则：，令，得故，由（）知为平面的法向量，设的夹角为，则，因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为（）设是线段上一点，且，即所以，所以由，得因为，所以在线段上存在点，使得，此时，18解：（）函数的定义域为，当时，所以曲线在点处的切线方程为（），当时，由，得，所以在区间和上，；在区间上，故的单递增调区间是和，单调递减区间是当时，故的单调递增区间是当时，由，得，所以在区间和上，；在区间上，故的单递增调区间是和，单递增减区间是（）由题意存在使不等式成立，即存在，使成立，只需大于或等于在区间上的最小值令，在区间上，为增函数；在区间上，为减函数；所以在上的最小值是与中的较小者，所以所以在上的最小值是，所以故的取值范围是19解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意有，解得；故椭圆的标准方程为5分（2）设，由已知，直线的方程是，与椭圆方程联立消去得到：设，则是方程的两个根，根据韦达定理有：，（定值）所以为定值20解：（1）数列不能结束各数列依次为：从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形4分（2）因为，所以是中的最大项所以有或者当时，可得：，因为数列的各项和为2014，所以，此时解得另一种情况同解8分（3）由（2）知，数列经过六次变换可得，即得到形如 的数列，其中最大项减少12因为，所以数列经过次变换后变为继续变换得到：以下重复出现故经过次变换后，使得数列各项之和最小因此的最小值为13分选填压轴解析8【解析】：利用点到直线距离公式计算可得，直线与圆相离，过直线上一点做圆的两条切线，记该点对圆的张角为，则圆上存在点使得由此可知只需在直线上寻找对圆的