本章复习与小结.ppt

2 1 1矩阵的概念1 矩阵的概念 零矩阵 行矩阵 列矩阵 2 矩阵的表示 3 相等的矩阵 2 1 2二阶矩阵与平面列向量的乘法1 二阶矩阵与平面向量的乘法规则 2 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射 3 待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法 2 1二阶矩阵与平面向量 的矩形数字 或字母 阵列称为矩阵 通常用大写黑体的拉丁字母A B C 表示 或者用 aij 表示 其中i j分别表示元素aij所在的行与列 同一横排中按原来次序排列的一行数 或字母 叫做矩阵的行 同一竖排中按原来次序排列的一行数 或字母 叫做矩阵的列 组成矩阵的每一个数 或字母 称为矩阵的元素 2 2 1恒等变换2 2 2伸压变换2 2 3反射变换2 2 4旋转变换2 2 5投影变换2 2 6切变变换 2 2几种常见的平面变换 恒等变换矩阵 单位矩阵 恒等变换 对平面上任何一点 向量 或图形施以矩阵对应的变换 都把自己变成自己 这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵 单位矩阵 恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换 二阶单位矩阵一般记为E 垂直伸压变换矩阵 伸压变换 将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩 或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵 通常称做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵 伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压变换 简称伸压变换 一般地 称形如M1 M2 M3 M4 M5这样的矩阵为反射变换矩阵 对应的变换叫做反射变换 其中 2 叫做中心反射 其余叫轴反射 其中定直线叫做反射轴 定点称为反射点 M l1a l2b l1Ma l2Mb 上式表明 在矩阵M的作用下 直线l1a l2b变成直线l1Ma l2Mb 这种把直线变成直线的变换 通常叫做线性变换 反之 平面上的线性变换可以用矩阵来表示 但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换 即形如的几何变换叫做线性变换 旋转变换 矩阵通常叫做旋转变换矩阵 对应的变换称做旋转变换 其中的角q做旋转角 点O叫做旋转中心 旋转变换只改变几何图形的位置 不会改变几何图形的形状 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定 1 投影变换的几何要素 投影方向 投影到的某条直线L 2 投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 3 与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 4 投影变换是映射 但不是一一映射 像这类将平面内图形投影到某条直线 相应的变换称做投影变换 或某个点 上的矩阵 我们称之为投影变换矩阵 投影变换 平移 ky 个单位 当ky 0时 沿x轴正方向移动 当ky 0时 沿x轴负方向移动 当ky 0时 原地不动 在此变换作用下 图形在x轴上的点是不动点 切变变换 矩阵把平面上的点P x y 沿x轴方向 像由矩阵确定的变换通常叫做切变变换 对应的矩阵叫做切变变换矩阵 2 3 1矩阵乘法的概念2 3 2矩阵乘法的的简单性质 2 3变换的复合与矩阵的乘法 规定 矩阵乘法的法则是 建构数学 矩阵的乘法的几何意义 矩阵乘法MN的几何意义为 对向量连续实施的两次几何变换 先TN 后TM 的复合变换 建构数学 当连续对向量实施n n N 次变换TM时 记作 Mn M M M 在数学中 一一对应的平面几何变换都可以看做是伸压 反射 旋转 切变变换的一次或多次复合 而伸压 反射 旋转 切变等变换通常叫做初等变换 对应的矩阵叫做初等变换矩阵 2 4 1逆矩阵的概念2 4 2二阶矩阵与二元一次方程组 2 4逆变换与逆矩阵 对于二矩阵A B若有AB BA E则称A是可逆的 B称为A的逆矩阵 通常记A的逆矩阵为A 1 若二阶矩阵A存在逆矩阵B 则逆矩阵是唯一的 建构数学 逆矩阵的唯一性 思考 A的逆矩阵有多少个 若二阶矩阵A B均存在逆矩阵 则AB也存在逆矩阵 且 AB 1 B 1A 1 建构数学 对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律 已知A B C为二阶矩阵 且AB AC 若矩阵A存在逆矩阵 则B C 建构数学 用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程 设矩阵A 如果对于实数l 存在一个 非零向量a 使得Aa la 则称l是矩阵A的一个特征值 a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量 从几何上看 特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后 保持在同一条直线上 这时 特征向量或者方向不变 l 0 或者方向相反 l 0 特别地 当l 0时 特征向量被变换成了0向量 2 5特征值与特征向量 建构数学 设矩阵A l R 我们把行列式 称为A的特征多项式 分析表明 如果l是矩阵A的特征值 则f l 0 此时 将l代入方程组 得到一组非零解 即为矩阵A的属于l的一个特征向量 如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量 则对任意的非零常数t ta也是矩