2019年重庆市专升本《高等数学》试题分析.pdf

2019 专升本 高等数学 试题分析与建议 1 引言 2019 年 专升本 考试已经结束了 我们也看见了 高等数学 原题 考 生普遍反映试题偏难 许多考生没有做完 2 试题情况分析 表格 1 知识点分数统计表 对考试题做知识点 分数和 章节内容统计 详见表格 1 和表 格 2 从表格 2 错误错误 未找到引用未找到引用 源 源 可以看出概率初步只占到总 分的6 67 未达考纲要求的10 差了一个填空或选择题 线性代 数占 20 与考纲要求一致 微 积分 超过了 70 依旧是考试的 重点 从分值上来说 基本符合考纲要求 保持了专升本试题的稳定性 3 各章节试题分析 共考了 12 分 分别为选择题的第 2 小题与计算题的 13 小题 第 2 小题为分段函数在分点处连续 求值 题号 内容 分数 章节 1 洛必达法则 4 03 导数的应用 2 点连续 4 01 极限与连续 3 直线与平面的关系 4 12 空间解析几何 4 定积分对称区间积分 4 05 定积分应用 5 微分方程的通解 4 06 微分方程 6 级数收敛 4 07 级数 7 二阶伴随矩阵 4 10 线性代数 8 事件发生的集合表示 4 11 概率初步 9 极值点的导数 4 03 导数的应用 10 变上限积分函数 4 05 定积分应用 11 三阶矩阵的秩 确定未知数 4 10 线性代数 12 两事件不同时发生的概率 4 11 概率初步 13 重要极限公式 2 8 01 极限与连续 14 原函数求不定积分 8 04 积分 15 围成图形的面积 8 05 定积分应用 16 二元函数的极值 8 08 多元微分学 17 二重积分计算 8 09 多元积分学 18 二阶常系数齐次线性微分方程 8 06 微分方程 19 矩阵相乘与逆矩阵 8 10 线性代数 20 线性方程组无穷多解 8 10 线性代数 21 导数应用证明不等式 8 03 导数的应用 2 1 统计情况 3 1 极限与连续 表格 2 章节分数统计表 本出题人本意考查 重要极限公式 1 无穷 小量与有界变量的乘积是无穷小量 左 右极限 相等并等于该点处的函数值 这个题包含的知识 点很多 但由于设计的参数不好 学生只需要一个条件就可判断出答案为 1 其 它考点内容可以不用 有点可惜 本题考查学生对重要极限公式 2 的应用 为常 规题 8 分 简单题 只要平时训练过 应该不会有 错 一般有两种方法 法一 29 3 32 9 2 6 33 2 22 3 3 1 1 2 2 limlim 1 11 12 2 x x xx x ex x e e x x 法二 213 36 42 44 lim 1lim 1 2121 x x xx xx 61 5 1e 6 e 共有 16 分 分别为考题的第 1 小题考点为洛必达法则应用 4 分 第 9 小题 序号 章节 分数 百分比 1 极限与连续 12 10 00 2 导数及其应用 16 13 33 3 积分 8 6 67 4 定积分应用 16 13 33 5 微分方程 12 10 00 6 级数 4 3 33 7 多元微分学 8 6 67 8 多元积分学 8 6 67 9 线性代数 24 20 00 10 概率初步 8 6 67 11 空间解析几何 4 3 33 总计 120 100 00 3 2 导数及其应用 极值点的导数 4 分共第 21 小题证明不等式 8 分 第 1 小题极限 2 0 1 cos2 lim x x x 1A 0B 2C 4D 分析 极限中的 0 0 型 三角函数的 0 0 型 一股用到重要极限公式 0 sin lim1 x x x 而此题用洛必达求导的方法快 法一 22 2 00 1 cos22sin limlim2 xx xx xx 要熟知三角函数的升降次公式 法二 2 2 000 1 cos21 cos22sin2 limlimlim2 2 xxx xxx xx x 故 选 C 第 9 小题为填空题 设 0 x为函数 f x的一个极值点 且 0 fx 存在 则 0 fx 分析 极值只能在驻点与不可导点处取得 现说导数存在 那就只能是驻点 故为 0 送分题 第 21 题 证明 当 12 0 2 xx 时 22 11 sin sin xx xx 分析 显然要用一阶导数的单调性 构造 21 21 sinsinxx xx 法来处理 证明 令函数 sin x f x x 在区间0 2 上 该函数为连续函数 其导数为 2 cossin xxx fx x 现在要证 0fx 即证分子小于 0 若记 tang xxx 在区间0 2 上 因为 22 sec1tan0g xxx 对于任意的0 2 x 均有 0 gg x 即 tan0g xxx 那么 在0 2 内 有 sincosxxx 得 2 cossin 0 xxx fx x 函数 sin x f x x 在区间0 2 内在为单调递减函数 有 当 12 0 2 xx 时 21 21 sinsinxx xx 即 22 11 sin sin xx xx 得证 积分方法的考查 为第 小题 共 分 考查了原料函数的概念 分部积 分法与凑微分法 复合函数的结构与复合的导数 已知 2 sin x为函数 f x的一个原函数 求 xfx dx 不定积分 分析 首先 2 sin x本质上是 2 sin x 其次 2 sin x xf x 与 2 sinf x dxxC 第三 fx dxdf x 不定积分被积表达式要重构 用到分部积分法 解 由题意得 22 sin2 cos x f xxxx 故 xfx dxxdf x xf xf x dx 222 2cossinxxxC 这个题出得好 考查的点多 稍微分析一下 也易上手 3 3 积分 共有 分 分别为选择题第 小题对称区间积分的性质 分 填空题第 小题 定积分的变上限积分函数的洛必达法则求极限 分以及计算题的 小题 围成区域的面积 分 第 小题 下列定积分为零的是 1 1 cosAxxdx 1 1 sinBxxdx 1 2 1 sin Cxx dx 1 1 cos Dxx dx 分析 定积分在对称区间上 奇函数的值为零 偶函数的值为半个区间积分 值的 倍 故选 A 第 小题 极限 0 0 lim 1 cos x tt x eedt x 分析 变上限积分函数的 0 0 型的极限 用变上限积分函数是被积函数的一个 原函数的性质与洛必达法则 0 000 limlimlim2 1 cossincos x tt xxxx xxx eedt eeee xxx 第 15 小题 设D是由抛物线 2 4yx 和2yx 直线所围成的平面图形 求 D的面积S 分析 示意图 找到交点坐标 选积分变量 积分求解 解 相交点坐标为 2 0 1 3 以x为积分 变量 积分区间为 2 1 所得面积为 1 2 2 4 2 Sxxdx 1 2 2 2 xxdx 1 23 2 11 2 23 xxx 9 2 3 4 定积分应用 2112 1 2 3 4 微分方程共考察 12 分 一个为第 5 小题的一阶线性的通解 4 分 另一个为 第 18 小题的二阶常系数线性齐次的特解 8 分 第 5 小题 微分方程3 dy y dx 的通解为 A 3yxc B 3 x yec C yCx D 3x yCe 法一 将备选答案代入 得选项 D 法二 分离变量法 求解 3 3ln3 x dy dxyxcyCe y 第 18 小题 求微分方程440yyy 满足初始条件 0 0 0 1y y 的特解 分析 二阶齐次常系数线性微分方程求解 一般采用特征值法 解 对应的特征方程为 2 440 其根为 12 2 对应的微分方程通解为 2 2 1 x yCC x e 代入 0 0 0 1y y 得 12 0 1CC 得方程的特解为 2x yxe 级数只考了 4 分 为第 6 小题 问级数的收敛性 第 6 小题 已知级数 1 1 n n a 收敛 则 A 01a B 01a C 1a D 1a 法一 特殊值法 比如 1 2 a 代入后 显然不收敛 故选 D 法二 无穷等比数列求和公式 判断分析选 D 3 5 微分方程 3 6 级数 3 7 多元微分 考察了多元函数的极值 8 分 主要涉及一阶偏导数 二阶混合偏导数 要判 别极大值 还是极小值 第 16 小题 求函数 22 4 x f x yexyy 的极值 解 函数的一阶偏导数为 222 2281 24 xx xy fexyyfey 二阶偏导数为 2222 4 41 48 2 xxx xxyyxy fexyyffeyfe 令 0 0 xy ff 得 3 5 2xy 代入二阶偏导数 得 7 20Ae 0B 7 2Ce 且0ACB 故有极小值 为 7 3 5 2 2 e f 考察了二重积分的计算 常规题 8 分 对区域点的描绘先后次序 决定了 积分变量的先后 两种方式均可以算出 第 17 小题 计算二重积分 2 3 D y dxdy 其中积分区域D是由两坐标轴及直线 1xy 所围成和平面闭区域 方法一 积分区域 01 0y1Dx yxx 11 22 00 33 x D y dxdydxy dy 1 3 0 1 3 0 4 1 0 1 1 1 1 04 1 4 x dx y xdx x 方法二 01 0 x1Dx yyy 3 8 多元积分 0 20 20 40 60 81 01 2 0 2 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 1 2 11 22 00 1 2 0 1 2 0 3 33 3 1 33 1 3 4 04 1 4 y D y dxdyy dydx y dyy yydy yy 共有 20 分 分别为选择题的第 7 小题 4 分 计算题的 19 小题 8 分 20 小 题 8 分 第 7 小题 设A是二阶方阵 已知 1 25 12 A 则A的伴随矩阵 A A 25 12 B 25 12 C 25 12 D 25 12 因为 1 1 AA A 又 11 1AAEAAE 而 11 25 1 1 12 AAA 所以 1 2525 1 1212 AA A 选 B 验证 若 ab A cd 则 db A ca 1 25 11 121 db A caA 对比原逆 矩阵 知 25 12 A 第 19 小题 设矩阵 111 111 111 A 123 124 101 B 求 1 T A B 2 1 A 考察内容太多 分值太少 特别是乘法的计算 没有多大意义 注意矩阵是 对称矩阵 逆矩阵 要算行列式 伴随矩阵法 1 111123108 111124106 111101340 T A BAB 3 9 线性代数 2 伴随矩阵法 4A 逆矩阵存在 而 11 11 0 11 A 12 11 2 11 A 13 11 2 11 A 同理 得 31 2122233233 2 0 2 2 2 0AAAAAA 所以 得 1 022 11 202 4 220 AA A 初等行变换 21 31 23 2 3 123 2 2 1 111100 111010 11 1001 111100 002110 020101 111100 0100 500 5 0010 50 50 10000 50 5 0100 500 5 0010 50 50 00 50 rr rr rr r r rrr A E A 5 0 500 5 0 50 50 第 20 小题 当实数a取何值时 线性方程组 123 123 123 3 2 2 axxxa xaxx xxax 有无穷多个解 在有无穷多个解时 求其通解 方程组具有一定和特点 可以由方程的变形后来讨论 123 123 123 3 1 2 2 2 3 axxxa xaxx xxax 将第 2 3 个方程均加到第 1 个方程中 第 3 个方程减去第 2 个方程 得 123 123 23 2 2 2 7 2 1 1 0 axaxaxa xaxx a xax 观察 当1a 时 其方程组为 123 123 23 3336 2 000 xxx xxx xx 即 123 2xxx 有 123 2xxx 其解的结构为 123 22 33 2 xxx xx xx 故 通解为 12 1 1 0 1 0 1 2 0 0 TTT Xcc 12 c c是任意的常数 初等行变换法 利用秩来研究 法二 方程组对应的增广矩阵为 1 113 112 112 2227 112 0110 3336 1112 0000 1112 0000 0000 a aa Aa a aaaa a aa 当 其它解的写法同上 一共考了 8 分 分别为单项选择题的第 8 小题 事件的集合表示 4 分 填 空题的 12 小题 事件发生的概率 4 分 都是基本题型 第 8 小题 设 A B为两个随机事件 A与B哈有一个发生 可表示为 3 10 概率初步 A AB B AB C AB D ABAB 一个发生另一个不发生 显然选 D 第 12 小题 设事件 A B互不相容 0 4P A 0 3P B 则 P AB 事件互不相容又叫互斥事件 即一个发生 另一个不发生 其集合表示为