第3章+向量空间.ppt

1 第三章 向量空间Rn 3 5欧氏空间Rn 3 3向量组的秩 3 2向量组的线性相关性 3 1向量及其线性组合 3 4向量空间 2 一 n维向量的概念及运算 二 向量组的线性组合与线性表示 3 1向量及其线性组合 3 定义3 1 1 n个数组成的有序数组 称为一个n维行向量或n维列向量 其中称为该行 列 向量的第i个分量 n叫做向量的维数 或 行向量与列向量统称为向量 一 n维向量的概念及运算 4 2 空间直角坐标系中点的坐标 x y z 是三维向量 1 平面直角坐标系中点的坐标 x y 是二维向量 向量举例 4 矩阵Am n中的每一行都是n维行向量 每一列都是m维列向量 它们分别称为矩阵的行向量和列向量 3 导弹飞行状态 导弹质量 空间坐标 速度分量 5 约定 所书写的向量如无特殊说明均指列向量 而行向量用列向量的转置表示 分量全是实数 复数 的向量称为实 复 向量 n维实 复 向量的全体记为 以后如无特殊说明 向量均指实向量 6 向量是矩阵的特例 向量的相等 加 减 数乘运算对应于矩阵的相应运算 向量的线性运算 注 向量的相等 加 减是指同类型向量 上述运算对列也成立 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 7 在Rn中的向量的运算满足以下8条规律 其中a b g都是n维向量 k l为实数 8 解 求 使 9 由若干个同维数的列 行 向量组成的集合称为一个向量组 如无特殊说明 向量组总是指含有限个向量的向量组 定义3 1 2 二 向量组的线性组合与线性表示 再如 解的全体是一个含无穷多个n维列向量的向量组 向量组一般用A B等表示 10 对于向量组 表达式 则称向量可由向量组A线性表示 通常写成 称为向量组A的一个线性组合 又如果是向量组A的一个线性组合 即存在数使 定义3 1 3 11 观察如图三维空间中的向量 必有 再观察下面方程组增广矩阵的行组 有如下关系 这说明第 4 和第 5 个方程都是多余的 可以去掉 12 例 有 所以 是的线性组合 或可以由线性表示 13 1 零向量可由任一组向量线性表示 中每个向量都可由向量组本身 2 向量组 线性表示 注意 3 任一n维向量 都可由n维单位向量组 线性表示 即 14 n元线性方程组 可以用向量形式表示为 1 其中 对应齐次方程组 2 可用向量形式表示为 线性方程组的向量表示 15 例 16 向量可由向量组线性表示 存在数使 另外 如果解唯一 则表示方法是唯一的 如果 按定义 转换为方程组 用矩阵的秩 方程组 注 若是行向量组 写成转置 17 例 解设 18 且表示方法有无穷多种 方程组与矩阵B相对应的同解方程组为 则 当c 1时 当c 2时 19 解 记 不能由A线性表示 能由A唯一表示 能由A有无穷多种表示 并求所有表示方法 设向量组A 具体解方程组过程略 时 方程组无解 不能由A表示 时 方程组有唯一解 可由A唯一表示 20 时 方程组有无穷多解 可由A无穷多种表示 通解为 所有表示方法 其中k为任意实数 即 21 本节要点 向量 向量组 线性组合 线性表示的定义 会判断一个向量能否由一个向量组线性表示 22 第三章 3 5欧氏空间 3 3向量组的秩 3 2向量组的线性相关性 3 1向量及其线性组合 3 4向量空间 向量空间Rn 23 3 2向量组的线性相关性 定义 判定定理 24 引例已知 容易看出 它们有一种线性依赖关系 即 25 定义3 2 1 则称该向量组线性相关 否则 如果设 设有向量组 1 2 m 26 注 1 含有零向量的向量组一定线性相关 2 由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量 3 由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例 27 4 n维基本单位向量e1 e2 en是线性无关的 5 几何意义 28 所以方程组有非零解 得方程组 解 设 使 所以线性相关 例1讨论向量组的线性相关性 即存在一组不全为零0的数 29 线性相关与齐次线性方程组之间的关系 存在不全为零的 使得 30 有非零解 只有零解 向量组中向量的个数 31 向量组a1 a2 am线性相关的充分必要条件是 线性无关的充分必要条件是 定理3 2 1 推论1 向量个数 向量维数的向量组线性相关当且仅当其对应行列式的值为0 线性无关当且仅当其对应行列式的值不为0 推论2 向量个数 向量维数的向量组一定线性相关 32 线性相关 33 例1 已知 讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 A a1 a2 a3 R A 2 3 a1 a2 a3线性相关 R a1 a2 2 向量组a1 a2的线性无关 另解 34 例2 判别其线性相关性 解 所以 线性无关 考虑 所以 线性无关 35 例3 设向量组a1 1 1 1 T a2 1 2 3 T a3 1 3 t T 问t为何值时 向量组a1 a2 a3线性相关 问t为何值时 向量组a1 a2 a3线性无关 当a1 a2 a3线性相关时 将a3表为a1和a2的线性组合 解法一 定义法 设存在k1 k2 k3使得k1a1 k2a2 k3a3 0 即有方程组 36 当t 5时 方程组有非零解 故a1 a2 a3线性相关 当t 5时 方程组只有零解 a1 a2 a3 0 故a1 a2 a3线性无关 当t 5时 设a3 x1a1 x2a2 即 故a3 a1 2a2 37 当t 5时 r A 3 故a1 a2 a3线性相关 当t 5时 r A 3 故a1 a2 a3线性无关 解法三 行列式 同上 解法二 秩 38 例4 设向量组a1 a2 a3线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组b1 b2 b3也线性无关 证明 一 考虑x1b1 x2b2 x3b3 o 即x1 a1 a2 x2 a2 a3 x3 a3 a1 o 整理得 x1 x3 a1 x1 x2 a2 x2 x3 a3 o 因为向量组a1 a2 a3线性无关 所以必有 从而b1 b2 b3线性无关 方程组只有零解 39 例4 设向量组a1 a2 a3线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组b1 b2 b3也线性无关 证明 二 只有 即只有 所以向量组 1 2 3也线性无关 40 例4 设向量组a1 a2 a3线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组b1 b2 b3也线性无关 证明 三 从而R B R A 而向量组a1 a2 a3线性无关 所以R A 3 R B 3可知向量组b1 b2 b3也线性无关 41 例4 设向量组a1 a2 a3线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组b1 b2 b3也线性无关 证明 四 从而 即向量组a1 a2 a3与向量组b1 b2 b3等价 从而R B R A 3 所以向量组b1 b2 b3也线性无关 42 如果向量组中有一部分向量 称为部分组 线性相关 则整个向量组线性相关 线性相关性判别定理 观察知相关 从而相关 整体无关 则部分无关 定理3 2 2 43 当m 2时 向量组 线性相关的充 分必要条件是向量组中至少有一个向量是其余m 1个 线性相关与线性表示之间的关系 向量的线性组合 定理3 2 3 当m 2时 向量组 线性无关向量组 中任一个向量都不能用其余m 1个向量线性表示 定理3 2 3 定理3 2 4 44 解令 45 推论 短的向量组线性无关 则拉长的也线性无关 是线性无关的 也是线性无关的 再如 长的向量组线性相关 则短的也线性相关 46 线性相关 使 即存在 代入上式可得 证明 假设不成立 47 例7A B为非零矩阵且AB O 则 A A的列组线性相关 B的行组线性相关 B A的列组线性相关 B的列组线性相关 C A的行组线性相关 B的行组线性相关 D A的行组线性相关 B的列组线性相关 设说明Ax 0或AX O有非零解 故r A n 从而A的列组相关 考虑转置 同样的道理 矩阵列组即B的行组相关 另 r A r B n r A 0 r B 0 得r A n和r B n 从而A的列组线性相关 B的行组线性相关 解 48 证明向量组线性无关 证 1 式成为 2 2 式左乘 同理推出 例8 49 如果向量组中的每个向量都可由向量组线性表示 则称向量组B可由向量组A线性表示 有解 改写为矩阵 转换为矩阵方程 用矩阵的秩 设B由A表示如下 定义3 2 2 50 写成矩阵乘积 从而 向量组B可由向量组A表示 则 后者的A B是矩阵 存在矩阵C使得B AC 为以后引用方便 给它起个名子叫表示不等式 定理3 2 5 51 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示 则必相关 Steinitz定理 表示 又m n 由表示不等式 从而B必相关 定理3 2 6 52 设线性无关 问满足什么条件 分析 这是一个向量组表示另一向量组的问题 就是矩阵乘法的关系 P 104 则 例9 53 设 要讨论上面方程组何时有非零解 由 54 线性相关 55 另证 由于是列满秩矩阵 故 56 重要结论 设向量组能由向量组 线性表示为 且A组线性无关 证明B组线性无关的充要条件是 证法一 适用于一般的线性空间 设 例11 57 上面方程组只有零解 即 由线性无关 上式成立的充要条件是 58 证法二 由线性无关 59 证明 例13 60 本节要点 线性相关性判别定理 61 练习题 一 填空题 在一向量组 n中 如果有部分向量组线性相关 则向量组必 二 多选题 下列命题中正确的有 非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关 只由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量 三 分析判断题 若 不能被 r线性表出 则向量 r线性无关 四 证明题 设 可由设 r线性表示 但不能由 r 线性表示 证明 r可由 r 1 线性表示 62 五 讨论向量组的线性相关性 1 设 1 1 2 1 T 2 4 1 5 T 3 2 1 1 T 解设k1 1 k2 2 k3 3 0 即k1 1 2 1 T k2 4 1 5 T k3 2 1 1 T 0 k1 4k2 2k3 2k1 k2 k3 k1 5k2 k3 T 0 0 0 T 从而有 因 所以向量组 1 2 3线性相关 63 2 讨论下列向量组的相关性 3 设向量组线性无关 试证 线性相关 a 1 8时线性相关 64 第三章 向量组的线性相关性 3 5欧氏空间 3 3向量组的秩 3 2一个n元向量组的线性相关性 3 1向量及其线性组合 3 4向量空间 65 3 3向量组的秩 对于给定的向量组 可以含无穷多向量 如何把握向量之间的线性关系 即哪些向量可由另外一些向量线性表示 它们的本质不变量是什么 希望 在一个向量组中能找到个数最少的一些向量 而其余的向量都可由这些向量线性表示 66 定义1 向量组的等价 如果向量组与向量组可以相互表示 则称这两个向量组等价 67 如果向量组可由向量组线性表示 即 68 向量组A与向量组B等价 向量组的等价关系是不是等价关系 用矩阵的秩 矩阵的等价与矩阵的行 列向量组等价有何关系 设矩阵A经过有限次初等行 列 变换为B 则A B的行 列 向量组等价 注意 当A B时 对应的行 列 向量组不一定等价 A B的行 列 向量组等价 但A与B不一定等价 未必同型 69 例1 且R B 2 故两个向量组等价 70 已知 证明 1 能线性表示 2 不能由线性表示 证 如果则 与条件矛盾 2 要证 1 要证 例2 71 1 线性无关 2 A中任意r 1个向量 如果有的话 都线性相关 定义2 如果在向量组A中找到r个向量满足 则称向量组A0是向量组A的一个极大无关组 2 A中任一向量都可由A0表示 1 线性无关 如果在向量组A中找到r个向量满足 则称向量组A0是向量组A的一个极大无关组 定义 极大无关组 向量组的秩 72 向量组A的极大无关组所含向量的个数r 显然是唯一的 称为向量组A的秩 仍记为r A 只含零向量的向量组极最大无关组 规定其秩为0 定义3 73 求向量组 的一个极大无关组和该向量组的秩 同理 等也是极大无关组 易求得 说明A中有一个2阶子式不为零 如取前两列前两行 那么 从而线性无关 再看A的任意三列 因为 所以任意三列都是线性相关的 根据定义就是一个极大无关组 74 1 极大无关组所含向量个数不会超过多少 极大无关组一定存在吗 2 极大无关组唯一吗 它含向量个数唯一吗 3 如果向量组的秩为r 则其任意r个线性无关的向量都是其极大无关组吗 4 向量组与其任一极大无关组等价吗 5 向量组的任意两个极大无关组等价吗 6 等价向量组的秩相等吗 7 相互等价的向量组中所含向量个数最少的是哪个向量组 75 极大无关组和秩的基本性质 性质1如果向量组T的秩是r 则T中任意r个线性无关的向量都可作为它的最大无关组 性质2任何向量组与自己的最大无关组等价 性质4等价的向量组必有相同的秩 注 两个有相同的秩的向量组不一定等价 两个向量组有相同的秩 并且其中一个可以被另一个线性表示 则这两个向量组等价 76 向量组的秩和极大无关组的求法 矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系 77 求向量 的秩和一个极大无关组 并把其余 向量用该极大无关组表出 矩阵的秩 线性无关吗 是极大无关组吗 78 79 是右边的极大无关组 是左边的极大无关组 总结 矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系 引理2 80 总结 如何求向量组的极大无关组 并用它线性表示其余向量 81 注 以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用 而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因 但对于无限向量组符号就不能混用了 向量组的秩与矩阵秩的关系 三秩相等定理 82 P 110例4 例6证明 83 设 是n阶方阵且 A 则 1 A中必有两行 列 元素对应成比例 2 中至少有一行 列 的元素全为 3 中必有一行 列 向量是其余各行 列 向量的线性组合 4 中任意一行 列 向量是其余各行 列 向量的线性组合 一 单选题 2 设n阶矩阵 的秩为r 则结论 成立 A A r n r n 3 向量组 r线性无关的充要条件是 r 1 它有一个部分向量组线性无关 r 它所有的部分向量组线性无关 4 若矩阵 有一个r阶子式 且 中有一个含有 的r 阶子式等于零 则一定有 r r r r 1 84 本节要点 求向量组的极大无关组 并用它线性表示其余向量 极大无关组和秩的定义 性质 85 5 设向量组 线性无关 则下列向量组中 线性无关的是 2 2 2 3 3 2 3 22 3 5 5 1 1 2 5 3 T 2 2 3 1 4 T 3 3 8 3 2 T 4 1 5 4 1 T 二 求向量组的秩及最大无关组并将其余向量用它线性表示 86 第三章 向量组的线性相关性 3 5欧氏空间 3 3向量组的秩 3 2一个n元向量组的线性相关性 3 1向量及其线性组合 3 4向量空间 87 3 4向量空间 集合对于加法及乘数两种运算封闭指 88 证明下列集合是向量空间 证 所以构成了向量空间 89 证 证明齐次方程组的解集 是一个向量空间 以后称为齐次方程组的解空间 90 证明非齐次方程组的解集 不是向量空间 证 设 而 S对加法运算不封闭 或 S对数乘运算不封闭 91 是向量空间 证 92 定义2 设是一向量组 称 为由该向量组生成的 或张成的 向量空间 记为 特别地 由矩阵A的列向量生成的向量空间称为A的列空间 或称像空间或称值域 记为R A 93 设向量组与向量组等价 证明 同理 证 94 向量空间V的一个最大无关组 又称V的一个基 或坐标系 基所含向量的个数r又称为V的维数 记为dim V r 此时称V是r维的向量空间 设有向量空间及 若 就称是的子空间 设是由维向量所组成的向量空间 则 定义3 定义4 齐次方程组的基础解系就是解空间的一个基 解空间的维数是dim N A n r A 95 设向量空间V的一个基为 则对V中的任一向量可唯一地表示为 定义5 数组或向量称为向量在基下的坐标 的一个基显然就是向量组的一个最大无关组 其维数就是该向量组的秩 96 例6在R3中 97 证明 都是V的基 dim V 并求向量 在这两个基下的坐标 证 显然线性无关 又V中的任一向量 V中任意两个线性无关的向量都是V的一个基 98 所以在基下的坐标为 3 5 为求在基下的坐标 需解方程组 求得坐标为 1 2 99 例7设矩阵 100 101 102 下的坐标分别为 103 要求 了解向量空间 子空间 生成子空间 向量空间的基和维数的定义 会求向量在一组基下的坐标 104 第三章 向量组的线性相关性 3 5欧氏空间 3 3向量组的秩 3 2一个n元向量组的线性相关性 3 1向量及其线性组合 3 4向量空间 105 3 5欧氏空间 向量的内积 性质 向量的长度 性质 向量的夹角 正交向量组 性质 施密特正交化公式 106 内积 一 内积的定义及性质 定义1 令 注 任意两个同维数的向量都可以做内积 例如 设a 1 1 0 2 T b 2 0 1 3 T 则a和b的内积为 1 2 1 0 0 1 2 3 107 性质1 著名的Cauchy Schwarz不等式 即 108 二 向量