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构建数模 服务教学湖北省松滋市老城小学 黄元芳【摘要】著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究”。运用数学建模解决实际问题必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。因此，在教学中，采用数念结合、数知结合、数型结合、数形结合的方法，渗透建模思想，显得尤为重要。【关键词】数模 构建 服务新课标指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用，数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。因此，在教学过程中，加强数学建模思想的渗透，是十分重要的。一、数念结合，感知建模意义在概念教学过程中，教师要以学生的感性经验为基础，提供大量的能反映概念本质属性的例证创设课堂教学情境，从而引导学生对这些具体例证进行分析、归纳、抽象，摒弃与教学无关的具体情节。抽象出本质属性，建立数学模型；再把这一模型推广到同类事物之中，让学生进行不断的选择、判断，获得数学概念，感知数学建模的意义。例如：在教学“正比例的意义”时，有这样一个例题“一列火车行驶的时间和所行的路线如下表：”时间12345678路程（千米）90180270360450540630720师：表中有哪几种量？生：时间、路程。师：当时间是1小时时，路程是多少？2小时路程是多少？这说明时间这种量变化了，路程这种量怎么样了？生：当时间是1时时，路程是90千米；当时间是2时时，路程是180千米说明时间这种量变化了，路程这种量也随着变化。师：像这样一种量变化另一种量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量，时间和路程是两种相关联的量。那么，路程是怎样随时间的变化而变化的呢？教师指着表格，让学生从左到右和从右到左观察，并回答。师：路程随着时间的变化而变化，时间扩大，路程也随着扩大：时间缩小，路程也随着缩小。扩大、缩小的规律是什么？让每位同学选一组行对应的数据，计算比值。教师板书：90 ：1=90， 180:2=90， 270:3=90师：请同学们仔细观察这些比和比值，看有什么规律？生：相对应的两个数的比值一定，都是90。师：比值是90，实际是火车的什么？你能将这些式子表示的意义写成一个关系式吗？生：路程：时间=速度（一定）小结：路程和时间是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，路程和时间的变化规律是：路程：时间=速度（一定）在这个课例中，教师出示具体事例，让学生观察、计算、分析、比较、归纳，从不同的事例中抽象出反映数学问题本质特征。这个过程实际上是将时间问题进行数学“形式化”的过程，也就是建立数学模型的过程。二、数知结合，形成数模技能数知结合即以学生原有知识为基础，再以例证相结合，让学生逐步形成数学建模技能。教学时，教师要引导学生回忆原有的与新知识相关的知识，立足最近发展区，激活学生原认知结构；提供能表现新规则内容实质的例子，例证尽量涵盖各种典型类别；引导学生对例证进行分析、比较、抽象、概括出新规则，达成数学“形式化”，建立数学模型；再利用正反例，帮助学生明确规则条件、适用范围，进一步理解规则。例如：教学“长方形面积计算”时师：我们已经知道，长方形的面积就是指长方形含有的面积单位数，所以求长方形的面积就是求长方形所含有的面积单位数。下面我们用1平方厘米的面积单位来研究长方形的面积计算方法。1、教师拿出12个1平方厘米的面积单位，请同学们摆一摆，可以拼成几种不同的长方形？它们的长、宽和面积各是多少？学生通过讨论、交流、拼摆得出：一种是长12厘米，宽1厘米，面积是12平方厘米的长方形；二种是长6厘米，宽2厘米，面积是12平方厘米的长方形；三种是长是4厘米，宽3厘米，面积是12平方厘米的长方形。并且长、宽是数出来的，面积也是数长方形内有多少个1平方厘米的面积单位数。2、这里有一个长5厘米，宽3厘米的长方形，它的面积是多少呢？生1：将这个长方形分成1平方厘米的小方格，分成多少个这样的小方格，它的面积就是多少。我分后一个一个的数是15个，所以它的面积是15平方厘米。生2：我也分成1平方厘米的小方格，我分后5个5个地数是15个小方格，所以它的面积是15平方厘米。生3：我是用53=15算出来的。师：用乘法算的根据是：因为“每行有5个小方块，共有3行”，所以总共有15个人小方块，即面积是15平方厘米。师：要知道每行5个小方块，共有3行，是不是非得把长方形分成小方格不可呢？生：只要用长度单位厘米量一量长方形的长与宽就可以了，长有几厘米就有几个小方块，宽有几厘米就有几行，它们相乘的积就是长方形的面积。3、总结长方形面积公式：长方形的面积=长宽在此例中，教师提示了前提性知识后，让学生自己拼摆长方形，生成多种例子，丰富学生感知；其次引导学生求长方形的面积：学生采取直接计量法，一个一个的数、5个5个的数方格，经历知识形成过程，深入理解知识；最后概括出长方形的面积公式，形成数学模型。三、数型结合，寻求建模策略中国古算题中有这样一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”解法一一般的解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。我们也可以设想35只都是“鸡”，那么共有脚235=70（只），比94只脚少了94-70=24（只）。每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，242=12（只）。说明设想中的“鸡”，有12只是兔子，也可以列出公式：兔数（实际脚数每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数每只鸡脚数）当然，如果设想35只都是兔子，那么就有435只脚，比70只脚多了354-94=46（只）。每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（354-94）（4-2）=23（只）。说明我们设想的35只“兔子”中，有23只不是兔子，而是鸡。因此可以列出公式：鸡数（每只兔脚数鸡兔总数实际脚数）（每只兔子脚数每只鸡脚数）（上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。）解法二我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是942=47（只）。这个时候，鸡的头数和脚数相等，每只兔的脚数相当于头数的两倍。因此从47减去总头数35，所得的差是多出来的脚数，即兔的数量：47-35=12（只）。鸡的数量：35-12=23 答：有兔子12只，鸡23只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数在现今教学中，上述的方法可以得以借鉴：例如：红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的单位。我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了。利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（1916-280）（19-11）=248=3（支）。红笔数=16-3=13（支）。答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性。例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8（11+19）=240。比280少40。40（19-11）=5。就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3。308比1916或1116要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算。实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数1910+116=256比280少2424（19-11）=3。就知道设想6只“鸡”，要少3只。要使设想的数能给计算带来方便，常常取决于学生的心算本领。“鸡兔同笼”这一题型具有广泛的代表性，向学生提供了现实，有趣，富有挑战的学习素材，借助我国古题让学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，运用多种方法解题。学生在学习过程中积累解决问题的经验，掌握解决这一类问题的方法。教学中，我提出“回顾一下，刚才这个问题有什么特点，我们是怎样来解决这个问题的呢？”这样既引导学生感受到用替换的策略可以解决什么样的问题，又让学生感受到解决同一个问题有不同的策略。四、数形结合，促进建模实效运用数形结合思想，促进学生有效地建构数学模型，使数学的抽象性与其符号简练的特性二者有机相融。首先将文字表述或是数学问题转化为自己的图式，再由着一图式转化成数学符号，从而建立起为学生自己理解、接受的数学模型。教学中，要让学生在充分直观感知的基础上，先将抽象的语言文字转化成图形，然后学会使用抽象的数学符号来表达图形，降低学生思维的难度，从而有效地帮助学生理解知识，建构模型。例如：在教学“集合”时教师出示：三（1）班参加语文、数学课外兴趣小组学生名单语文王笑阳王正阳张智雄刘智豪贝万佳张元杰曾德俊禹田浩数学王笑阳王正阳张智雄杨浩东张沁怡吕兆奇黄金梅罗迅王梦婷师：从上表中，你能获得哪些数学信息？你又能提出什么数学问题？生1：参加语、数课外小组的同学一共多少人？师：谁能解决这个问题？生2：8+9=17（人）。生3：8+9-3=14（人）。王笑阳王正阳张智雄刘智豪贝万佳张元杰曾德俊禹田浩杨浩东张沁怡吕兆奇黄金梅罗 迅王梦婷师：究竟有多少人呢？谁能用一幅图来解决这个问题？看看谁设计的图既简单又明了。语文小组 数学小组上述教学中，教师选择了“数形结合”的方法，引导学生经历从独立到交叉重复的过程，为帮助学生理解韦恩图，从而引导学生用图来表示。在学生认知结构中已经积累了解决此类问题的方法，或是在头脑中已经建立了某种有效的图式，只需要发挥表象的作用，便能在“不重复、不遗漏”的基础上轻松建立起“集合”这一模型。总之，通过建模教学，可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次。同时，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的可持续发展和终身学习奠定基础。在数学教学过程中有效地渗透数学建模思想，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，