上海市闸北区2015届高三一模 理科数学试卷.pdf

1 闸北区闸北区 2014201420142014 学年度第一学期高三数学 理科 期末练习卷学年度第一学期高三数学 理科 期末练习卷 考生注意 1 本次测试有试题纸和答题纸 解答必须在答题纸上 写在试题纸上的解答无效 2 答卷前 考生务必在答题纸上将姓名 学校 考试号 以及试卷类型等填写清楚 并在规定区域 内贴上条形码 3 本试卷共有 16 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 一 填空题 54 分 本大题共有 9 题 要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果 每 个空格填对得 6 分 否则一律得零分 1 若复数 i 21 i 2 a i是虚数单位 是纯虚数 则实数a 2 若 xf为R上的奇函数 当0 x x x y图像上 则PA的最小值为 4 用数字 1 2 组成一个四位数 则数字 1 2 都出现的四位偶数有个 5 设 Nn 圆 1 22 141 1 41 n n n Cxy n 的面积为 n S 则 n n Slim 6 在Rt ABC 中 3 ACAB M N是斜边BC上的两个三等分点 则AM AN uuuu r uuur 的值为 7 设函数 sin 2 15 xxf 若存在 1 1 0 x同时满足以下条件 对任意的R x 都有 0 xfxf 成立 222 00 xf xm 则m的取值范围是 8 若不等式 2 1xxa 则 2015 0a 则 2014 0a 则 2015 0S D 若 4 0a 则 2014 0S 12 对于集合A 定义了一种运算 使得集合A中的元素间满足条件 如果存在元素eA 使得 对任意Aa 都有eaaea 则称元素e是集合A对运算 的单位元素 例如 R A 运算 为普通乘法 存在R1 使得对任意R a 都有11aaa 所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素 下面给出三个集合及相应的运算 R A 运算 为普通减法 A m nm n AA 表示m n 阶矩阵 N Nnm 运算 为矩阵加法 AX XM 其中M是任意非空集合 运算 为求两个集合的交集 其中对运算 有单位元素的集合序号为 A B C D 三 三 解答题 本题满分 78 分 本大题共有 4 题 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 对 应的题号 内写出必要的步骤 13 本题满分 18 分 第 1 小题 9 分 第 2 小题 9 分 请仔细阅读以下材料 已知 f x是定义在 0 上的单调递增函数 求证 命题 设 R ba 若1 ab 则 1 1 b f a fbfaf 是真命题 证明证明 因为 R ba 由1 ab得0 1 b a 3 又因为 f x是定义在 0 上的单调递增函数 于是有 1 b faf 同理有 1 a fbf 由 得 1 1 b f a fbfaf 故 命题 设 R ba 若1 ab 则 1 1 b f a fbfaf 是真命题 请针对以上阅读材料中的 f x 解答以下问题 1 试用命题的等价性证明 设 R ba 若 11 f af bff ab 则 1 ab 是真命 题 2 解关于x的不等式 11 2 2 xxxx f aff af 其中0a 14 本题满分 20 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 如图 在海岸线EF一侧有一休闲游乐场 游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC 该曲线段是函数sin 0 0 0 yAxA 4 0 x 的图像 图像的 最高点为 1 2 B 边界的中间部分为长1千米的直线段CD 且 CDEF 游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧 1 求曲线段FGBC的函数表达式 2 曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米 现准备从入口G修一条笔直的景观路到O 求景观路GO长 C y 2 1ME Q P O x D B G F 4 0 4 3 如图 在扇形ODE区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ 平行四边形的一边在海岸线EF上 一边在半径OD上 另外一个顶点P在圆弧 上 且POE 求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时 的值 15 本题满分 20 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 7 分 第 3 小题 7 分 已知 12 F F分别是椭圆 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的左 右焦点 椭圆C过点 3 1 且与抛物线 2 8yx 有一个公共的焦点 1 求椭圆C方程 2 斜率为k的直线l过右焦点 2 F 且与椭圆交于BA 两点 求弦AB的长 3 P为直线3x 上的一点 在第 2 题的条件下 若 ABP为等边三角形 求直线l的方程 5 16 本题满分 20 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 设数列 n a满足 1 1 a 所有项 N n a 121 1 nn aaaa 设集合 N mmanA nm 将集合 m A中的元素的最大值记为 m b 换句话说 m b是 数列 n a中满足不等式man 的所有项的项数的最大值 我们称数列 n b为数列 n a的 伴随数列 例如 数列 1 3 5 的伴随数列为 1 1 2 2 3 1 若数列 n a的伴随数列为 1 1 1 2 2 2 3 请写出数列 n a 2 设 1 3n n a 求数列 n a的伴随数列 n b的前 100 之和 3 若数列 n a的前n项和 2 31 22 n Snnc 其中c常数 试求数列 n a的伴随 数列 n b前m项和 m T 6 参考参考答案答案 一 填空题 4 1 2 2 3 2 7 4 4 5 4 6 2 2 7 U 8 5 9 二 选择题 10 11 12 ACD 三 解答题 13 解 1 原命题与原命题的逆否命题是等价命题 原命题的逆否命题 设 Rba 若1 ab 则 11 f af bff ab 4 分 下面证明原命题的逆否命题为真命题 因为 Rba 由1 ab得 1 0a b 即 2 xaa 3 分 当21a 时 即 1 2 a 时 不等式的解集为 2 log aa 2 分 当021a 时 即 1 0 2 a 时 不等式的解集为 2 log aa 2 分 当21a 时 即 1 2 a 时 不等式的解集为 R 2 分 14 解 1 由已知条件 得2 A 1 分 7 又 2 3 12 46 T T 2 分 又 当1x 时 有 2 2sin 2 63 y 2 分 曲线段FBC的解析式为 2 2sin 4 0 63 yxx 1 分 2 由 2 2sin 1 63 yx 得 6 1 4 k xkkZ 2 分 又 4 0 0 3 3 1 xkxG 2 分 10OG 1 分 景观路GO长为10千米 1 分 3 如图 3 1 2 6 OCCDODCOD 1 分 作xPP 1 轴于 1 P点 在 1 OPPRt 中 sin2sin 1 OPPP 1 分 在OMP 中 60sin 120sin 00 OMOP 1 分 sin 3 32 cos2 60sin 3 4 120sin 60sin 0 0 0 OP OM 1 分 sin2 sin 3 32 cos2 1 PPOMS OMPQ平行四边形 1 分 2 sin 3 34 cossin4 3 32 2cos 3 32 2sin2 3 32 6 2sin 3 34 3 0 2 分 当 26 2 时 即 6 时 平行四边形面积最大值为 3 32 1 分 15 解 1 由题意得 1 2 0 F 2c 2 分 又 22 31 1 4aa C P1 y 2 1ME Q P O x D B G F 4 0 8 得 42 8120aa 解得 2 6a 或 2 2a 舍去 2 分 则 2 2b 1 分 故椭圆方程为 22 1 62 xy 1 分 2 直线l的方程为 2 yk x 1 分 联立方程组 22 2 1 62 yk x xy 消去y并整理得 2222 31 121260kxk xk 3 分 设 11 A x y 22 B xy 故 2 12 2 12 31 k xx k 2 12 2 126 31 k x x k 1 分 则 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 2 2 2 6 1 31 k k 2 分 3 设AB的中点为 00 M xy 可得 2 0 2 6 31 k x k 1 分 0 2 2 31 k y k 1 分 直线MP的斜率为 1 k 又3 P x 所以 22 0 222 11 3 1 1 31 P kk MPxx kkk 2 分 当 ABP为正三角形时 ABMP 2 3 可得 222 222 1 3 1 3 2 6 1 31 231 kkk kkk 1 分 解得1k 1 分 即直线l的方程为20 xy 或20 xy 1 分 9 16 解 1 1 4 7 6 分 2 由 1 3n n am 得 3 1log nmmN 当 12 mmN 时 12 1bb 1 分 当 38 mmN 时 348 2bbb 1 分 当 926 mmN 时 91026 3bbb 1 分 当 Nmm 8027时 4 802827 bbb 1 分 当 Nmm 10081时 5 1008281 bbb 1 分 3842055441836221 10021 bbb 1 分 3 11 11aSc 0c 1 分 当2n 时 1 32 nnn aSSn 32 n annN 2 分 由32 n anm 得 2 3 m nmN 因为使得 n am 成立的n的最大值为 m b 所以 12345632313 1 2 ttt bb