计算机数学基础》课后习题解答(一).doc

习题1.1 单项选择题（1） 函数 的定义域是（D）A. B. C. D. （2） 函数 的定义域是（A）A. B. C. D. （3）.下列各组函数中表示同一个函数的是（A）.A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 （4）.下列函数中值域为的是（D）.A. ； B. ； C. ； D. . （5）.下列函数中在区间上是增函数的是（D）.A. ； B. ； C. ； D. . （6）.下列函数是偶函数的为（C）.A. ； B. ； C. ； D. . （7）.函数的最小正周期是（C）.A. ； B. ； C. ； D. . （8）.下列函数在定义域中既是奇函数又是单调增函数的是（D）.A. ； B. ； C. ； D. . （9）.函数的反函数是（C）.A. ； B. ； C. ； D. . 2.求下列函数的定义域和值域.（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ；解：（1）定义域为；值域为； （2）定义域为；值域为； （3）定义域为；值域为； （4）定义域为；值域为； （5）定义域为；值域为.3.下列各题中的函数和是否相同？为什么？（1），；解：定义域为，而定义域为，故和不相同.（2），；解：定义域为，而定义域为，故和不相同.（3），；解：，定义域均为，且对应法则相同，故和相同.（4），；解：，定义域均为，且对应法则相同，故和相同.4.求下列函数的定义域（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；解：（1）的定义域为； （2）的定义域为； （3）的定义域为； （4）的定义域为5.干燥空气上升时体积膨胀变冷，若地面温度是，高处的温度是.（1）假定温度（单位：）是高度（单位：）的线性函数，试写出这个函数；（2）画出此函数的草图；（3）求处在高度为处的温度.解：（1）假设由题意知 即 所以 （2）草图略（3）高度为处的温度为6.试确定下列函数在指定区间上是有界函数还是无界函数？（1）；解：因为当时，故，因此为有界函数.（2）；解： 为单调增加函数，故当时，即 因此为有界函数.（3）；解：因为没有上界，故为无界函数.（4）解：因为为单调增加函数，故当时，即 因此为有界函数.7.试判断下列函数的奇偶性（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）为非奇非偶函数；（2）为奇函数；（3）为偶函数；（4）为偶函数.8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出它的周期（最小正周期）.（1）； （2）；（3）解：（1）为周期函数，且周期为； （2）非周期函数（可用反证法证明）； （3），故为周期函数，且周期为.9.已知函数分别由下表给出： 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1（1）求的值；（2）求满足的的值.解：（1）；（2）因为； 而 ；.故满足的的只能是10.求 、和，并求其定义域.（1），；解：；（2），.解：；11.求、和，并求其定义域.（1），；（2），.解：（1）=，定义域是；=，定义域是；=，定义域是.（2）=，定义域是；=，定义域是；，定义域是.12.把下列函数分解成的形式（1） ； （2）；（3）； （4）解：（1）； （2）； （3）； （4）13.求下列函数的反函数（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）由解得，互换和得 此即所求之反函数. （2）由解得，互换和得 此即所求之反函数. （3）由解得，即，互换和得，此即所求之反函数. （4）当时，由解得； 当时，由解得； 故 互换和得 此即所求之反函数.14.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成？（1）； （2）；（3）.解：（1）； （2）；（3）.15.设 求.解：（1）当时， ； 当时，.故 （2）当时， ； 当时，.故 习题1.2 单项选择题1.写出下列数列的通项并在数轴上通过观察判断下列数列是否收敛？若收敛，极限是多少？（1）解：，无极限.（2）解：,无极限.（3）解：收敛，且极限为0.2.单项选择题（1）则（D）A. ； B. ；C. D. 不存在.（2）下列数列中收敛的是（B）A. ； B. ；C. ； D. （3）在处有定义是存在的（D）A. 充分条件但非必要条件； B.必要条件但非充分条件；C. 充分必要条件 ； D.既不是充分条件也不是必要条件.（4）是存在的（C）A. 充分条件但非必要条件； B.必要条件但非充分条件；C. 充分必要条件； D.既不是充分条件也不是必要条件.3.填空题（1） ； （2） ；（3） ； （4） . 4.判定极限的存在性.解：因为 ； ，所以不存在.5.设求（1）；（2）；（3）.解：（1）；，因为，所以.（2）.（3）6.设函数求（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）； （2）； （3）； （4）7.设试画出的图形并求单侧极限和.解：图略. ；习题1.3 1.是非判断题（1）零是无穷小（）；（2）是无穷小（）；（3）在同一自变量的变化过程中，两个无穷小之和仍为无穷小（）；（4）在同一自变量的变化过程中，两个无穷小之积仍为无穷小（）；（5）无界变量必为无穷大量（）.2.单项选择题（1）若是无穷小，下面说法错误的是（C）A. 是无穷小 ； B. 是无穷小 ；C. 是无穷小 ； D. 是无穷小 .（2）下面命题中正确的是（D ）A. 无穷大是一个非常大的数 ； B. 有限个无穷大的和仍为无穷大 ；C. 无界变量必为无穷大； D.无穷大是无界变量.（3）下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的一组是（ ）（4）当时，下列变量中是无穷大量的是（C）A. ； B. ；C. ； D. .3.当时，下列变量中哪些是无穷小量？解：是无穷小量.4.试证当试，与是同阶无穷小.解：因为，故当试，与是同阶无穷小.习题1.4 1.是非判断题（1）（）；解：（2）是无穷小（）；解：（无穷小乘以有界量仍为无穷小）.（3）（）；解：（无穷小乘以有界量仍为无穷小）.（4）（）；解：（5）（）解：2.单项选择题（1）下列极限中，极限值不为0的是（D）A. ； B. ；C. ； D. （2）若，则（C）A. ； B. ；C. ； D. 以上等式都不成立.（3）的值是（A）A. ； B. ； C. ； D. 其它值.解：（4）（B）A. ； B. ； C. ； D. 解：（5）（A）A. ； B. ； C. ； D. 不存在解：（6）下列函数中，当时，与无穷小量相比是高阶无穷小的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. 解：因为，故当时，与相比是高阶无穷小.（7）当时，下列变量中与等价的无穷小量是（C ）A. ； B. ； C. ； D. 解：因为，故当时，与是等价无穷小.（8）当时，下列变量中不是无穷小量的应该是（C ）A. ； B. ； C. ； D. 解：因为，故当时，不是无穷小量.3.计算下列极限： （1） ；解： .（2） ；解；（3）；解：（4）；解：（5）；解：（6）；解：（7）；解： （8）.解：4.计算下列极限： （1） ；解：（2）；解：（3）；解：（4）；解：因为 且 ，所以（5）；解：（6）；解：（7）；解：（8）.解：5.已知 ，求常数和解：因为，故 即 将代入得 由解得 代入得 6.已知 ，求求常数和解：由于故 由立得 代入，则有补充练习题：1.计算下列极限（1）；（2）；（3）. 解：（1）；（2）；（3）；2.求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）；（3）；（4）习题1.51.是非判断题（1）、在连续，在也连续.（）；（2）在连续.（）；（3）在其定义域内一点处连续的充要条件是在处既左连续又右连续（）；（4）在有定义，且存在，则在处连续（）；（5）在其定义域内一点处连续，则.（）；（6）在处无定义，则在处不连续（）；（7）在内连续，则在内一定有最大值和最小值.（）；（8）在上连续且单调，则在内有且仅有一个零点. （）；（9）在上连续，则在上有界.（）；（10）因为，所以在内必有零点（）.2.单项选择题（1）在处有定义是在处连续的（A）A. 必要条件而非充分条件； B.充分条件而非必要条件；C. 充分必要条件 ； D.无关条件.（2）是在处连续的（C）A. 必要条件而非充分条件； B.充分条件而非必要条件；C. 充分必要条件 ； D.无关条件.（3）是的（A）A. 可去间断点； B. 跳跃间断点；C. 可振荡间断点； ； D. 无穷间断点；（4）函数在上有最大值和最小值是在上连续的（A）A. 必要条件而非充分条件； B.充分条件而非必要条件；C. 充分必要条件 ； D.既非充分条件又非必要条件.（5）在上连续，且，则应判断在内零点个数不小于（D）A. 3； B.4； C. 5 ； D. 6.（6）下列命题错误的是（C）A. 在上连续，则存在，使；B.在上连续，则存在常数，使得对任意，都有；C. 在内连续，则在内定没有最大值；D. 在内连续，则在内可能既没有最大值也没有最小值.3，求下列函数的间断点，并指出间断点的类型：（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） 解：（1）在点处无定义，从而是其间断点.又因为，所以，是第二类无穷型间断点.（2）在点及处无定义，从而点及均为其间断点.因为，故是第一类的可去间断点；又因为，故是第二类无穷型间断点.（3）在点处无定义，从而是其间断点.又因为，所以，是第二类无穷型间断点.（4）；.因为，所以故是第一类的跳跃间断点.（5）；.因为，所以故是第一类的跳跃间断点.4.研究下列函数的连续性，并画出图象.（1） （2） 解：（1）因为当时，是初等函数，且是其定义区间，故由基本结论知，在上连续；同理，在上也连续.又；，且.故，所以在处连续.综上分析知，在上连续.（2）因为是初等函数，且是其定义区间，故由基本结论知，当时，在上连续；同理，在及上也连续.又；，因为，故是第一类的跳跃间断点.又；，因为，故在处连续.5.求下列函数的连续区间，并求出指定的极限：（1），求（2），求（3）求（4），求解：（1）当，即或时，无定义，故函数的定义域为.由于是初等函数，因此由基本结论：一切初等函数在其定义区间内都连续，知的连续区间为或或.因为，故在处连续，所以有 （2）因为是初等函数，且是其定义区间，故由基本结论知，当时，在上连续；同理，在上也连续.又；，因为，故是第一类的跳跃间断点.综上分析，的连续区间为或.因为，故在处连续，所以有 （3）当，即或时，无定义，故函数的定义域为.由于是初等函数，因此由基本结论：一切初等函数在其定义区间内都连续，知的连续区间为或或.因为，故在处连续，所以有 （4）的定义域是，故的连续区间为.因为，故在处连续，所以有 6.设函数应当怎样选择常数，使成为内的连续函数？解：当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数.要使得成为内的连续函数，只须在处也连续.因；故只有当，即时，在处也连续.7.证明方程至少有一个根介于1和2之间.证明：设，在上连续，又 ，故由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点，使从而方程至少有一个根介于1和2之间.习题1.61某顾客向银行存入本金元，年后他在银行的存款额是本金及利息之和.设银行规定年利率为，根据下述不同的结算方式计算顾客年后的最终存款额.（1）每年结算一次；（2）每月结算一次，月利率为；（3）每年结算次，每个结算周期的利率为；（4）当趋于无穷大时，结算周期为无穷小，这意味着银行连续不断的结算、付利息，这种存款方法称为连续复利.试计算在该情况下顾客年后的最终存款额.解：（1）；（2）；（3）；（4）（1）设年后顾客在银行的最终存款额为（元），则 2.空气通过盛有吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收的量与的浓度及吸收厚度成正比.今有含量为的空气通过厚度为10的吸收层后，其的含量为.问：（1）若通过的吸收层的厚度为，出口处空气中的含量是多少？（2）若要使出口处空气中的含量,其吸收层的厚度应该为多少？解：将吸收层分成n层逐层考虑，然后考虑时出口处含量的极限，得到出口处含量与吸收层厚度之间的函数关系.第一层吸收量：，剩余量：；第二层吸收量：，剩余量：；第n层吸收量：，剩余量：；时得到出口处含量.由已知，时，所以（1）时，；（2）时，（1）设当空气中的浓度为，吸收层的厚度为时，对应吸收的量为根据题意，可设 由题意，可得 由可得 故 若吸收层的厚度为，即，则由式解得，所以出口处空气中的含量为 （2）若出口处空气中的含量,则吸收的的量为复习题一1.选择题：（1）函数的定义域是（B）A. B. C. D. （2）.已知下列四组函数：与； 与；与； 与.其中表示同一函数的（C）A. B. C. D. （3）.设定义在上的函数，则是（A）A. 奇函数又是增函数 B. 偶函数又是增函数 C. 奇函数又是减函数 D. 增函数又是减函数 （4）.已知，则的值是（A）A. B. C. D. 解：当时，； 当时，； 当时，（5）若函数的反函数图像过点，则函数的图像必过点（C）A. B. C. D. （6）下列极限中，值为1的是（C）A. B. C. D. （7）（A）A. B. C. D. 不存在解：；，所以（8）下列函数中， 在上连续的是（B）A. ； B. ； C. ； D. 不存在解：注意到2.试证，时，是的高阶无穷小.证明：因为，所以时，是的同阶无穷小.原题有误.3.设函数请分别讨论及时的极限是否存在.解：（一）； ；因为，所以不存在. （二）； ；因为，所以4.计算下列极限：（1）； （2）； （3）. （4）； （5）； （6）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.5.已知 ，求常数和解：因为，故 即 将代入得 由解得 6.设函数问为何值时，在内连续.解：当时，为初等函数，故当时，为连续函数；当时，为初等函数，故当时，为连续函数.要使得成为内的连续函数，只须在处也连续.因 ； 故只有当，即时，亦即时，在处也连续，从而在内连续.7.已知，求函数的连续区间，并求解： 是初等函数，其定义域为.因是的定义区间，故由基本结论知，当时，在上连续；同理，在及上也连续.综上的连续区间是、及.因为，故在处连续，所以有 8.若函数在闭区间上连续，证明：至少存在一点，使得.证明：设，则在上连续，又 ，故由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点，使，即.习题2.11.是非判断题（1）.（）；（2）若在处不连续，则必不存在.（）；（3）若在处不可导，则在处必不连续（）；（4）若曲线在处存在切线，则必存在（）；（5）函数在一点处的导数就是该曲线在该点处的切线的斜率.（）；2.单项选择题：（1）当自变量的由改变到时，的改变量（C）A. B. C. D. （2）.函数在处连续是在处可导的（A）A. 必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件（3）.若函数在处可导，则在处（A）A. 可导 B. 不可导C. 连续但未必可导 D. 不连续解：因为，由求导法则知在处也可导.3.用定义求在处的导数，并求在相应点处曲线的切线方程.解： 曲线在处的切线为4.设，存在，求解：5.讨论下列函数在处的连续性与可导性. 解：（一）连续性因为，故函数在处的连续.（二）因为，故函数在处可导，且.6.假设下列各题中的在的某邻域内都存在，按照导数的定义观察，表示什么？（1），则；解：.（2），其中，且存在，则；（3），则；解：.（4），则.解：.7.由导数的定义，求的导函数.解： （等价替换）8.设一质点作变速直线运动，它的运动方程是，求其瞬时速度解：习题2.21.是非判断题（1）若、在处可导，则在处可导.（）；（2）若、在处均不可导，则在亦不可导.（）；（3）设，则（）；（4）若、可导，且，则必有（）；（5）初等函数在其定义域内是可导的（）；（6）设，则（）.2.单项选择题：（1）曲线上切线平行于轴的点是（C）A. B. C. D. 解：令，解得，故选C.（2）设，且存在，则（D）A. B. C. D. 解： .此题有误，没有正确选项.（3）设，则（ ）A. B. C. D. 解： .此题有误，没有正确选项.（4）设，则（D）A. B. C. D. 解：因为，所以（5）.已知是大于零的常数，则应是（A）A. B. C. D. 解：；（6）已知，且，则（ ）A. B. C. D. 解：上式两边关于求导得 所以 所以.3.求导数： （1），求解：，（2），求和解：； ，；4.求下列函数的导数（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）.解：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6），；（7），；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）5.求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；（10）； （11）； （12）解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9） ；（10） （11） （12）.6.求下列函数的二阶导数：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1） ； .（2） ； （3）；.（4）；.7.求下列函数的阶导数的一般表达式：（1）； （2）； （3）解：（1）；归纳可得： .（2） 归纳可得： （3） 归纳可得 补充练习题：1.求下列方程所确定的隐函数的导数：（1）；（2）；（3）解：（1）方程两边同时对求导，得：，故（2）方程两边同时对求导，得： ，故（3）方程两边同时对求导，得： ，故2.用对数求导法求下列函数的导数：（1）；（2）解：（1）两边取对数，得 上式两边同时关于求导 ，得 所以 （2）两边取对数，得 上式两边同时关于求导 ，得 所以 3.求下列参数方程确定的函数的导数：（1）；（2）；（3）其中解：（1）因为 所以 （2）；因为 所以 （3）其中因为 所以 习题2.31 设质点的位移函数，其中和的单位分别为是和，问何时质点达到？解：，令，即 ，解得（舍去），或.2 一架高的梯子斜靠在墙上，令为梯子与墙的夹角，为梯子下端到墙的距离.如果梯子的底部滑离墙壁，求在时关于的变化率.解：由题意知 故 ，所以，在时关于的变化率为3 设一金属棒在左端（单位：）与距左端之间这部分的质量为（单位：），求、时金属棒的线密度.解：记金属棒在左端与距左端之间这部分的质量为，则 故当、时金属棒的线密度分别为、12、18.4 设一容器内盛有的水经底部流出，流完，由托里切利定律，经时间（单位：）后容器里所剩的水的体积为，求、时水的流出速率.解：，则当等于、时水的流出速率分别为 ；5 用绳子将一重的物体沿水平方向拉动.若绳子与水平面的夹角为，则拉力的大小为 （其中是摩擦系数）.（1） 求关于的变化率；（2） 什么情况下这种变化率等于零？解：（1） .（2）令，解得6.设通过导线横截面的电量，其中电量单位为，时间单位为.求，时的电流.解：时刻的电流强度. ； 习题2.41.设，计算在处分别取时的，及.解：；.1.当时 ；.2.当时 ；.3.当时 ；.4.当时 ；.2.求下列函数的微分：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1），. （2），. （3）， .（4）， 3.将适当的函数填入下列括号内，使等式.(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;4.求下列函数在指定点处的线性逼近：（1） ，；（2） ，；（3） ，解：注意所谓的函数在指定点处的线性逼近，其实就是要求用公式 来表示.（1），即 ；（2） ， ，即 （3） ， ，即5.用微分求下列各数的近似值：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）利用近似计算公式：，有（2）利用近似计算公式：，有（3）取 ，利用公式 有 （4）利用近似计算公式：，有 6.某工厂生产一种扇形板，要求半径为，中心角为.在检验产品时，一般用量弦长的办法来间接测量圆心角.如果测量弦长时误差不超过.问由此引起的中心角的测量误差不超过多少？解：由题意知 ，即我们把测量时所产生的误差当作自变量的增量，那么利用公式来计算时所产生的误差就是函数对应的增量.即 由于的测量误差，所以 其中 复习题二1.填空题：（1）已知，则解：（2）若，则解：，故（3）若二阶可导，则解：； .（4）曲线在点处的切线方程是解：所以曲线在点处的切线方程是 ，即（5）若，则解： ；所以 （7）若，则解：，所以（8）函数有任意阶导数，且 ，则解： 两边关于求导得 将代入，得 两边关于求导得 （代入），归纳可得 .（9）若，则解： 2.求下列函数的导数与微分：（1）；（2）； （3）；（4）； （5）； （6）解: （1），.（2）；所以，.（3）；（4）；（5）（6）；4一气球从距离观察员500处离地匀速铅直上升，其速率为米/分，当此气球上升到500米上空时，观察员的倾角增加率为多少？解：设在时刻气球的高度为，观察员的倾角为，则根题意： 两边关于求导得 当时，又，将上述数据代入，得 于是算得 5 在一新陈代谢实验中葡萄糖的质量变化规律是：，其中的单位是.求时葡萄糖的变化率.解：，当时葡萄糖的变化率为.6 已知血管的半径为，长为，血管两端的压强差为，血的粘滞系数为.用层流律求距血管中心轴为处血管流速和速度梯度.解：设距离血管中心轴处血流速度为，则由层流律知 则 所以距血管中心轴为处血管流速为 距血管中心轴为处速度梯度为7 设黄沙通过传送带以的速度倒向指定的地方，形成了直径与高度相同的圆锥形沙堆.求沙堆高度为时的堆高的增加率.解：设在时刻高为的圆锥形沙堆的体积为，则 两边关于求导得 即 将，代入，得 8 注水入深8米，上顶直径为8米的正圆锥形容器中，其速率为，当水深为5米时，其表面上升的速率为多少？解：设时刻正圆锥形容器中水深为，水面半径为，水的容积为，则 又由题意知 ，即 故 两边关于求导得 即 将，代入，得 习题3.11求下列函数的单调区间和极值（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1） （一）；（二）；（三）令,无不可导点.；（四）列表判断： 极大 极小 （2）（一）；（二）；（三）令,得（舍），在不可导（舍）.；（四）列表判断： 极小 （3）（一）；（二）；（三）令,得，无不可导点.；（四）列表判断： 极小 极大 （4）（一）；（二）；（三）令,无不可导点.；（四）列表判断： 极小 极大 （5）（一）；（二）；（三）令,得，在不可导（舍）.；（四）列表判断： 极小 （6）； 解：（2）（一）;（二）;（三）令.在处不可导（舍）.（四）列表判断： 0 极大 （7）因为，所以的单调增加区间为，无单调减少区间.无极值.（8）（一）;（二）; （三）令.在处不可导.（四）列表判断： 不存在 0 0 极小 极大 极小 2.利用二阶导数求下列函数的极值：（1）；（2）解：（1）（一）;（二）;（三）令在处不可导（舍）（四）.因为，所以为极小值.（2）（一）;（二）;（三）令（四）.因为，所以为极小值.习题3.21确定下列函数的凹向区间与拐点： （1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）（一）；（二），；（三）令.无二阶不可导点.（四）列表判断： 0 拐点 （2）（一）；（二），；（三）令无解.在无处二阶不可导.（四）列表判断： 不存在 间断点 （3）（一）；（二）； .（三）令，得，.无二2阶不可导点.（四）列表判断： 拐点 拐点 （4）（一）；（二）； ；（三）令，得，.无二阶不可导点.（四）列表判断： 拐点 拐点 2设，显然，但不是的拐点.试证明之.证明：因为当及时，均有，故曲线在的左右两边均为凹的，所以根据拐点的定义知，不是曲线的拐点.3确定曲线的值，使是函数曲线的拐点.解：；由题意知应有 ，即解之得习题3.31 某学生在暑假期间制作并销售项链，他以10元一根出售，每天可售出20根.当他把价格每提高1元时，他每天就少出售2根.（1） 求价格函数（即价格与销售数量的函数关系，假定它们是线性的）；（2） 如果制作一根项链的成本是6元，他以什么价格出售才能获得最大利润？解：（1）设项链价格为（元）时，可销售（根），根据题意可设 又时，代入 ，解得，故 （3） 设项链价