2012全品高考复习方案教师手册（理）第7单元-立体几何-人教A版.ppt

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考纲要求 理解以下性质定理 并能够证明 如果一条直线与一个平面平行 那么经过该直线的任何一个平面与此平面的交线和该直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直 那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 3 空间向量及其运算 1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意 第七单元 考纲要求 义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 4 空间向量的应用 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 第七单元 命题趋势 立体几何是中学数学的主干知识之一 侧重考查空间想象能力和推理计算能力 纵观近三年新课标省市的高考试题中 立体几何部分在题型 题量 分值 难度等方面 均保持相对稳定 其考查的热点内容有以下几个特点 1 从考查形式看 一般有两个左右的选择题或填空题和一道解答题 分值为22分左右 约占总分值 150分 的15 涉及立体几何内容的命题形式最为多变 填空题尝试设计成多选填空 完形填空 构造填空等题型 以及开放性问题和多选题 2 从考查内容看 一是以客观题来考查空间几何体的概念与性质 线面关系的判定 表面积与体积 三视图与直观图等 第七单元 命题趋势 其中线面位置关系的判定又常与命题 充要条件等有关知识融合在一起进行考查 在几何体表面积与体积为载体的试题中渗透函数 方程等数学思想方法 二是解答题以空间几何体为载体 考查立体几何的综合问题 主要是位置关系的判定 空间角与距离的计算 一般都可用几何法和向量法两种方法求解 预测2012年新课标高考 对立体几何考查的知识点及试题的难度 会继续保持稳定 着重考查空间点 线 面的位置关系的判断及几何体的表面积与体积的计算 应用空间向量处理空间角与空间距离 而三视图作为新课标的新增内容 主要形式是在三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积的计算 也可能会出现在解答题中与其他知识点交汇与综合 1 编写意图本单元内容是必修2立体几何初步和选修2 1空间向量与立体几何两部分内容的整合 在高考试题中以中 低档题的形式出现 因此 编写时主要考虑以下几方面 1 本单元公理 定理较多 编写时注重从文字 符号 图形这三方面进行分析 并通过典型例题达到熟练掌握及应用 2 空间想象能力是学习立体几何的最基本的能力要求 选择例题时注重培养学生识图 作图 理解与应用图的能力 第七单元 使用建议 3 对本单元的重点内容是空间线面的平行与垂直 空间角的计算 第39 40讲专题讲解 还在第42讲中讲解应用空间向量解决线面位置关系 第43讲研究空间角与距离的求法 2 教学指导立体几何主要是培养学生的空间想象能力 推理论证能力 运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力 本单元重点是空间的元素之间的平行与垂直关系 空间几何体的表面积与体积 并关注画图 识图 用图的能力的提高 在复习时我们要注重以下几点 1 立足课标 控制难度 新课标对立体几何初步的要求 改变了经典的 立体几何 把推理论证能力放在最突出的位置 第七单元 使用建议 从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重 切忌盲目拔高 2 注重提高空间想象能力 在复习过程中 要注重将文字语言转化为图形 明确已知元素之间的位置关系及度量关系 借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系 能从复杂图形中分析出基本图形和位置关系 并借助直观感觉展开联想与猜想 进行推理与计算 3 归纳总结 规范训练 复习中要抓主线 攻重点 针对重点内容加以训练 如平行和垂直是位置关系的核心 而线面垂直又是核心的核心 要加强数学思想方法的总结与提炼 立体几何中蕴含着丰富的思想方法 如转化与化归思想 第七单元 使用建议 熟练将空间问题转化成平面图形来解决 以及线线 线面 面面关系的相互转化 要规范例题讲解与作业训练 例题讲解要重视作 证 求三环节 符号语言表达要规范 严谨 另外 适度关注对平行 垂直的探究 关注对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究 4 在空间角和距离的求解和位置关系的判定中 体会空间向量这一工具的巨大作用 3 课时安排本单元共8讲和一个滚动基础训练卷 一个单元能力训练卷 每讲建议1课时完成 基础训练卷和单元能力训练卷都建议1课时完成 共需10课时 第七单元 使用建议 第36讲 空间几何体的直观图和三视图 第36讲空间几何体的直观图和三视图 第36讲 知识梳理 BCDE A B C D E AC S ABCDE S AC ABCDE A B C D E AC 三棱柱 四棱柱 五棱柱 三棱锥 四棱锥 五棱锥 三棱台 四棱台 五棱台 1 棱柱 棱锥 棱台的结构特征 第36讲 知识梳理 平行 平行四边形 平行 多边形 三角形 底面 截面 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 第36讲 知识梳理 OO 2 圆 圆锥 圆台和球的结构特征 SO OO O 圆 圆面 圆面 圆心 垂直 顶点 圆心 垂直 圆心 垂直 球心 第36讲 知识梳理 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 大圆 矩形 扇形 扇环 第36讲 知识梳理 3 三视图与直观图 正投影 完全相同 正前方 正左方 正上方 正视图 侧视图 俯视图 正视图 下方 长度 正视图 高度 宽度 第36讲 知识梳理 斜二测 45 或135 平行于 不变 原来的一半 平行于 不变 探究点1空间几何体的结构特征 第36讲 要点探究 例1下列是关于空间几何体的四个命题中 由八个面围成 其中两个面是互相平行且全等的正六边形 其他各面是矩形的几何体是六棱柱 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥 有两个面互相平行 其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 棱锥的侧面是全等的等腰三角形 该棱锥一定是正棱锥 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 第36讲 要点探究 例1 思路 要判断几何体的类型 应从各类几何体的结构特征入手 结合棱锥 正棱锥的概念及相关性质 逐一进行考查 B 解析 是正确的 如图1所示 该几何体满足有两个面互相平行 其余六个面都是矩形 则每相邻两个面的公共边都互相平行 故该几何体是六棱柱 如图1 是错误的 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥 如图2 第36讲 要点探究 是错误的 有两个面互相平行 其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台 如图3 是错误的 如图4所示 AB BC CD DA AC BD 棱锥的侧面是全等的等腰三角形 但该棱锥不是正三棱锥 故选B 第36讲 要点探究 点评 准确理解几何体的定义 真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键 另外 要断定命题为假时 还可以构造反例 或借助于周围的实物判断 下面变式题复习旋转体的结构特征以及其截面的形状 第36讲 要点探究 以下有4个命题 用任意一个平面截一个几何体 各个截面都是圆 则这个几何体一定是球 以三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 一个平面截圆锥 得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 变式题 第36讲 要点探究 思路 求解决平面图形绕轴旋转问题的切入点是 对原平面图形作适当的分割 再根据圆锥 圆柱 圆台 球的结构特征进行判断 解决截面问题的关键是 熟悉旋转体各个方向的截面形状 变式题 第36讲 要点探究 B 解析 根据球 圆柱 圆锥 圆台的概念不难判出 是正确的 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时 截面分别为矩形和三角形 只有球满足任意截面都是圆面 第36讲 要点探究 是错误的 当以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥 如图 1 2 所示 若 ABC不是直角三角形 或是直角三角形但旋转轴不是直角边 所得的几何体都不是圆锥 是错误的 只有以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转可得到圆台 是错误的 只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥 才可得到一个圆锥和圆台 故选B 第36讲 要点探究 探究点2空间几何体的三视图 第36讲 要点探究 例2 思路 本题可由实物图画出三视图 画几何体的三视图时 可见的轮廓线和棱用实线画出 不能看见的轮廓线用虚线表示 画图时 先确定几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置 D 解析 设AA a 则BB 2a CC 3a 先画AB及AA BB 的位置 可排除A C 由 ABC是正三角形 且棱CC 被遮挡 可排除B 故选D 第36讲 要点探究 探究点3空间几何体的直观图 例3已知正三角形ABC的边长为1 那么 ABC的平面直观图 A B C 的面积为 例3 思路 本题的切入点是按照斜二测画法的规则 画出正三角形的直观图 求出 A B C 底边上的高 再求其面积 第36讲 要点探究 第36讲 要点探究 第36讲 要点探究 变式题 2010 扬州模拟 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图36 3所示的一个正方形 则原来的图形是 第36讲 要点探究 变式题 思路 根据斜二测画法规则 将直观图还原时 平行于x轴的线段长度不变 平行于y轴的线段长度变为直观图中对应线段长度的2倍 即得到原来的图形 A 解析 由直观图可知 在直观图中多边形为正方形 对角线长为 所以原图形为平行四边形 位于y轴上的对角线长为2 第36讲 要点探究 探究点4三视图 直观图的综合应用 第36讲 要点探究 例4 思路 本题给出的空间几何体是一个正四棱锥和长方体组成的简单组合体 可由直观图得到侧视图的形状 再由已知的正视图和俯视图的数量关系知道 侧视图和正视图是完全相同的 且几何体的数量关系可知 故体积可求 第36讲 要点探究 点评 本题与实际问题相结合 体现了数学的应用性 作图题要规范准确 不要忘记标出有关数据 求体积时注意把不规则几何体割补成规则几何体 本题求体积时 应用 长对正 宽相等 高平齐 得出有关数据是关键 第36讲 要点探究 2010 辽宁卷 如图36 6所示 网格纸的小正方形的边长是1 在其上用粗线画出了某多面体的三视图 则这个多面体最长的一条棱的长为 变式题 第36讲 要点探究 变式题 思路 本题可以利用几何体的三视图与直观图之间的关系 解题的切入点可先将三视图还原 画出直观图 再利用网格线给出的长度求解 解析 由已知的三视图还原为直观图后的几何体是四棱锥V ABCD 如图所示 满足VA 平面ABCD 根据题目中给出的方格长度 可以求得四棱锥V ABCD的底面是边长为2的正方形 且四棱锥的高为2 所以这个多面体最长的一条棱VC的长为 第36讲 规律总结 1 几类特殊的多面体及它们之间的关系 第36讲 规律总结 2 柱体 圆柱与棱柱 台体 圆台与棱台 锥体 圆锥与棱锥 的联系3 由几何体的三视图判断原物体的形状由几何体的三视图来判断原物体的形状时的一般规律为 长对正 高平齐 宽相等 由此可见 正视图和侧视图的形状确定原几何体为柱体 锥体还是台体 俯视图确定原几何体为多面体还是旋转体 第36讲 规律总结 4 用斜二测画法画立体图形的直观图用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤是 一画轴 二画底 三画高 四成图 其中 关键是要根据图形的特点选取适当的坐标系 尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上 这样可以简化作图步骤 对于图形中平行于y轴的线段画直观图时要画成原来长度的一半 对于图形中与x轴 y轴和z轴都不平行的线段 可通过确定端点的办法来解决 第37讲 空间几何体的表面积和体积 第37讲空间几何体的表面积和体积 第37讲 知识梳理 1 柱体 锥体 台体的表面积 1 多面体的表面积 我们可以把多面体展成 利用 求面积的方法 求多面体的表面积 棱柱 棱锥 棱台是由多个平面图形围成的多面体 它们的侧面积就是各 之和 表面积是 之和 即 与 之和 平面图形 平面图形 侧面面积 各个面的面积 侧面积 底面积 第37讲 知识梳理 2 旋转体的表面积公式 2 rl 2 r2 2 rl 2 r r l rl r2 rl r r l 第37讲 知识梳理 r r l r 2 r2 r l rl 4 R2 第37讲 知识梳理 2 柱体 锥体 台体的体积 1 设棱 圆 柱的底面积为S 高为h 则体积V 2 设棱 圆 锥的底面积为S 高为h 则体积V 3 设棱 圆 台的上 下底面积分别为S S 高为h 则体积V 4 设球半径为R 则球的体积V 注 对于一些不规则几何体 常用割补的方法 转化成已知体积公式的几何体求体积 Sh 第37讲 要点探究 探究点1空间几何体的表面积和体积的计算 例1 1 2010 安徽卷 一个几何体的三视图如图37 1所示 该几何体的表面积是 A 372B 360C 292D 280 第37讲 要点探究 2 一个容器的外形是一个棱长为2的正方体 其三视图如图37 2所示 则容器的容积为 第37讲 要点探究 例1 1 思路 解题的切入点是把三视图还原为直观图 把三视图中的条件转化为直观图的条件 根据各面的特征分别求面积 再求表面积 B 解析 由三视图可知 该几何体是由两个长方体构成的组合体 上面的长方体的长为6 宽为2 高为8 下面的长方体的长为10 宽为8 高2 所以该几何体的表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的4个侧面积之和 即S 10 8 10 2 8 2 2 8 6 8 2 2 360 故选B 第37讲 要点探究 2 思路 由三视图判断容器的形状是一个倒置的圆锥 根据三视图的条件可以确定容器的半径与高 代入体积公式求解 A 解析 由三视图可知 几何体为正方体内倒置的圆锥 如图 轴截面是等腰三角形 其底面的半径为1 高为2 故容器的体积为 第37讲 要点探究 点评 在以三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积是高考新课标卷的热点题型 解题的关键是由三视图确定直观图的形状 以及直观图中线面的位置关系和数量关系 利用表面积公式求解 另外 组合体的表面积的重合部分容易产生重复计算的错误 下面变式题是旋转体的表面积的计算问题 第37讲 要点探究 如图37 3所示 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4 体积为16 求这个球的表面积 变式题1 第37讲 要点探究 变式题1 思路 1 有关球的计算的关键是求出半径 球外接于正四棱柱 正四棱柱的顶点在球面上 正四棱柱的对角线长等于球的直径 解答 1 设正四棱柱的底边长为a 则V Sh a2h a2 4 16 a 2 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1的顶点都在球面上 过相对的侧棱AA1 CC1及球心O作截面 对角线AC1就是球的直径 设球的半径为R 则 第37讲 要点探究 已知某几何体的俯视图是如图37 4所示的矩形 正视图 或称主视图 是一个底边长为8 高为4的等腰三角形 侧视图 或称左视图 是一个底边长为6 高为4的等腰三角形 1 求该几何体的体积V 2 求该几何体的侧面积S 变式题2 第37讲 要点探究 变式题2 解答 由已知三视图的条件可得 几何体是一个高为4的四棱锥 其底面是长 宽分别为8和6的矩形 正侧面及相对侧面均为底边长为8 高为h1的等腰三角形 左右侧面均为底边长为6 高为h2的等腰三角形 如图四棱锥P ABCD所示 探究点2空间几何体中的最值问题 第37讲 要点探究 例2 2010 全国卷 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 变式题 2011 宝山调研 如图37 5 已知正四棱锥P ABCD的全面积为2 记正四棱锥的高为h 试用h表示底面边长 并求正四棱锥体积V的最大值 第37讲 要点探究 变式题 第37讲 要点探究 探究点3展开与折叠问题 第37讲 要点探究 例3如图37 6所示 已知圆锥SO中 底面半径r 1 母线长l 4 M为母线SA上的一个点 且SM x 从点M拉一根绳子 围绕圆锥侧面转到点A 求 1 绳子的最短长度的平方f x 2 绳子最短时 顶点到绳子的最短距离 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 变式题 2010 福州模拟 如图37 7所示 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 DAB 60 E为AB的中点 将 ADE与 BEC分别沿ED EC向上折起 使A B重合于点A 则三棱锥A DCE的外接球的体积为 第37讲 要点探究 变式题 第37讲 规律总结 1 柱 锥 台体的侧面积和表面积都是利用展开图得到的 必须熟悉其侧面展开图的形状 第37讲 规律总结 第37讲 规律总结 第37讲 规律总结 第38讲 空间点 直线 平面之间的位置关系 第38讲空间点 直线 平面之间的位置关系 第38讲 知识梳理 1 平面的概念及其表示 1 平面的概念几何里所说的 平面 就是从一些物体 课桌面 海平面等 抽象出来的 平面有两个特征 即平面是无边界且无限延展的 即平面是无厚薄 无大小 无数个平面重叠在一起 仍然是一个平面 平面是无所谓面积的 一个平面把空间分成两部分 平面上的一条直线把平面分成两部分 无限延展 平的 没有厚度 第38讲 知识梳理 2 平面的表示法通常画 表示平面 如图38 1 平面可用小写希腊字母表示 如 平面 或用表示平行四边形的顶点的大写英文字母表示 如 平行四边形 平面 平面AC 平面ABCD 第38讲 知识梳理 两点 2 平面的基本性质 不在 三点 第38讲 知识梳理 不重合 一个 第38讲 知识梳理 注 公理2有以下三个推论 一条直线和直线外一点 相交直线 平行直线 第38讲 知识梳理 3 空间直线与直线的位置关系 一个 没有 任何一个 没有 第38讲 知识梳理 4 平行直线 1 公理4 平行公理 平行于同一条直线的 用符号表示为 a b b c a c 由公理4可知 空间平行线具有 公理4的结论与平面几何中的相关结论相同 是平面几何中结论的推广 是判定空间两条直线 的依据 2 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 5 异面直线 1 定义 的两条直线叫做异面直线 两条直线互相平行 传递性 平行 相等或互补 不同在任何一个平面内 第38讲 知识梳理 2 性质 两条异面直线既不 也不 3 异面直线所成的角已知异面直线a b 在空间任取一点O 过O作 则a 与b 所成的 或 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 异面直线所成的角的范围 如果两条异面直线所成的角是直角 则称这两条异面直线 两条互相垂直的异面直线a b 记作 相交 平行 a a 锐角 直角 互相垂直 a b b b 第38讲 要点探究 探究点1空间点 线 面位置关系的判定 例1如图38 2 正方体ABCD A1B1C1D1中 判断下列命题是否正确 并请说明理由 1 直线AC1在平面CC1B1B内 2 设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O O1 则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1 3 由点A O C可以确定一个平面 4 由A C1 B1确定的平面是ADC1B1 5 若直线l是平面AC内的直线 直线m是平面D1C内的直线 若l与m相交 则交点一定在直线CD上 第38讲 要点探究 例1 思路 利用平面的基本性质进行判断 解答 1 错误 若AC1 平面CC1B1B 又BC 平面CC1B1B 则A 平面CC1B1B 且B 平面CC1B1B AB 平面CC1B1B 与AB 平面CC1B1B矛盾 2 正确 因为O O1是两平面的两个公共点 所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1 3 错误 因为A O C三点共线 4 正确 因为A C1 B1不共线 A C1 B1三点确定一个平面 第38讲 要点探究 点评 平面的基本性质是判断线面关系的依据 在判断过程中可适当利用图形以及构造特例 如下面的变式 又AB1C1D为平行四边形 AC1 B1D相交于O2点 而O2 B1 B1O2 而D B1O2 D 5 正确 若l与m相交 则交点是两平面的公共点 而直线CD为两平面的交线 所以交点一定在直线CD上 第38讲 要点探究 变式题 下列命题 空间中不同的三点确定一个平面 有三个公共点的两个平面必重合 空间两两相交的三条直线确定一个平面 三角形是平面图形 平行四边形 梯形 四边形都是平面图形 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是 思路 本题可根据平面的基本性质进行判断 要注意条件的严密性 可通过举反例来判断命题的真假 可利用公理直接作出判断 注意与平面几何的区别 解析 由公理2知 不共线的三点才能确定一个平面 所以知命题 均错 中有可能出现两平面只有一条公共线 变式题 第38讲 要点探究 当这三个公共点共线时 空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点 若为三个交点 则这三线共面 若只有一个交点 则可能确定一个平面或三个平面 中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形 而四边形有可能是空间四边形 如图 所示 如图 四边形AD B C中 AD D B B C CA 但它不是平行四边形 所以 也错 正确的命题只有 第38讲 要点探究 探究点2三点共线与三线共点问题 例2如图38 3所示 E F G H分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA上的点 且EH与FG相交于点O 求证 B D O三点共线 第38讲 要点探究 例2 思路 要证明B D O三点共线 可用公理3证明这三点是平面ABD与平面BCD的公共点 则这三点都在这两个平面的交线上 解答 E AB H AD E 平面ABD H 平面ABD EH 平面ABD EH FG O O 平面ABD 同理可证O 平面BCD O 平面ABD 平面BCD 即O BD 所以B D O三点共线 第38讲 要点探究 点评 证明点共线的依据是公理3 其方法是找出这些点所在的两个平面 说明各个点都是这两个平面的公共点 则这些点必在这两个平面的交线上 另外 证明三线共点的依据也是公理3 可证明其中两直线的交点在第三条直线上 把问题归结为证明点在直线上的问题 而第三条直线是经过这两条直线的两平面的交线 两个平面的公共点必在这两个平面的交线上 下面变式题就是三线共点的问题 第38讲 要点探究 变式题 两个不全等的三角形ABC A1B1C1不在同一平面内 如图38 4所示 A1B1 AB B1C1 BC C1A1 CA 求证 AA1 BB1 CC1交于一点 第38讲 要点探究 思路 先证明两直线的交点在两平面的交线上 而第三条直线恰好是两个相交平面的交线 解答 因为A1B1 AB 所以A1B1与AB确定平面 因为B1C1 BC 所以B1C1与BC确定平面 因为C1A1 CA 所以C1A1与CA确定平面 又 ABC与 A1B1C1不全等 所以有两条对应边不相等 设AB A1B1 由于AA1 BB1 则AA1与BB1必相交于P点 因为BB1 所以P 因为AA1 所以P 于是P在 的交线上 又 CC1 即P CC1 所以C C1 P三点共线 因此 AA1 BB1 CC1交于一点P 变式题 第38讲 要点探究 探究点3点线共面问题 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 探究点4异面直线所成的角 例4 2010 全国卷 如图38 6所示 直三棱柱ABC A1B1C1中 若 BAC 90 AB AC AA1 则异面直线BA1与AC1所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 高考命题者说 考查目标 本题考查直三棱柱的概念 异面直线所成角的概念和求解方法 综合考查考生的空间想象能力和运算求解能力 命制过程 本题以直三棱柱为载体 既面向全体考生 又为考生提供多个解决问题的切入点 解题思路 思路1如图 1 建立空间直角坐标系 设AB 1 则有 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 思路2如图 2 所示 将直三棱柱ABC A1B1C1嵌入正方体中 则 AC1E 60 为异面直线BA1与AC1所成的角 试题评价 试题以直三棱柱为载体 面向全体考生 突出对异面直线所成角的概念的理解 为多种求解方法的使用提供了操作平台 使考生灵活运用数学知识和方法解决实际问题的能力得到体现 引自高等教育出版社2011年大纲版的 高考文科试题分析 第95页第6题 第38讲 要点探究 变式题 2010 湖南卷 如图38 7所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M是棱CC1的中点 求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值 第38讲 要点探究 变式题 第38讲 规律总结 1 公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内 公理2及其3个推论给出了确定一个平面或判断 直线共面 的方法 公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明 线共点 的理论依据 2 证明三点共线及三线共点的方法证三点共线及三线共点 都要转化为证明点在直线上 而要证明点在直线上 可分别证点在两个平面内 从而在两个平面的交线上 第38讲 规律总结 3 证明点线共面的常用方法 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 4 求两条异面直线所成的角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 其关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交 或将两条直线同时平移到某个位置 使其相交 平移直线的方法有 直接平移 中位线平移 第39讲 空间中的平行关系 第39讲空间中的平行关系 第39讲 知识梳理 1 空间中直线和平面的位置关系 a 无数个 a 没有 a A a 一个 第39讲 知识梳理 2 空间中两个平面的位置关系 没有 l a 直线 第39讲 知识梳理 3 直线与平面平行的判定与性质 没有公共点 一条直线与此平面 内的一条直线 交线 平行 第39讲 知识梳理 4 平面与平面平行的判定与性质 相交直线 相交直线 同一条直线 第39讲 知识梳理 平行 交线 第39讲 要点探究 探究点1平行的判定 例1 2010 福州质检 已知三棱柱ABC A1B1C1中 M N分别是A1B1和BC的中点 连接MN AM AN 求证 MN 平面ACC1A1 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 变式题 2010 陕西卷 如图39 2所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD AP AB BP BC 2 E F分别是PB PC的中点 1 求证 EF 平面PAD 2 求三棱锥E ABC的体积V 第39讲 要点探究 变式题 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 例2如图39 3所示 正三棱柱ABC A1B1C1中 E F G H分别是AB AC A1C1 A1B1的中点 求证 平面A1EF 平面BCGH 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 探究点2平行的性质 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 探究点3平行关系的综合应用 例4三如图39 5所示 已知点P是三角形ABC所在平面外一点 且PA BC 1 截面EFGH分别平行于PA BC 点E F G H分别在棱AB AC PC PB上 1 求证 四边形EFGH是平行四边形且周长为定值 2 设PA与BC所成的角为 求四边形EFGH的面积的最大值 第39讲 要点探究 第39讲 要点探究 第39讲 规律总结 1 运用直线与平面平行的判定定理的关键是寻找该平面内的平行直线 证两直线平行是平面几何的问题 体现了空间问题平面化的思想 判定直线与平面平行有以下方法 一是判定定理 二是线面平行定义 三是面面平行的性质定理 2 要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题 应注意辅助线或辅助平面不能随意添加 必须以某一性质或定理为依据 并关注辅助线或辅助平面的自身性质特点 第39讲 规律总结 3 运用判定定理证明平面与平面平行时 两直线是相交直线这一条件是关键 缺少这一条件则定理不一定成立 证明面与面平行常转化为证明线面平行 而证线面平行又转化为证线线平行 逐步由空间转化到平面 4 平面与平面的平行也具有传递性 5 平行关系的相互转化 第40讲 空间中的垂直关系 第40讲空间中的垂直关系 1 直线与直线垂直定义 两条直线所成的角为 则称两直线垂直 包括两类 垂直与 垂直 2 直线与平面垂直 1 定义 如果直线l和平面 内的 都垂直 就称直线l和平面 互相垂直 记作l 直线l叫做平面 的 平面 叫做直线l的 异面 相交 90 任意一条直线 垂线 垂面 第40讲 知识梳理 第40讲 知识梳理 2 直线与平面垂直的判定与性质 两条相交直线 一条 另一条直线 任意一条直线 平行 第40讲 知识梳理 3 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图40 1所示 PAO就是斜线PA和平面 所成的角 2 一条直线垂直于平面 则它们所成的角是 一条直线和平面平行或在平面内 则它们所成的角是 的角 直线和平面所成的角的范围是 射影 锐角 直角 0 图40 1 第40讲 知识梳理 4 二面角定义 从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的 这两个半平面叫做二面角的 如图40 2所示 在二面角 l 的棱l上任取一点O 以点O为垂足 在半平面 和 内分别作 于棱l的射线OA和OB 则射线OA和OB构成的 AOB叫做 半平面 棱 面 垂直 二面角 l 的平面角 图40 2 二面角的大小可以用它的平面角来度量 二面角的取值范围是 平面角是直角的二面角叫做 0 直二面角 5 两个平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 第40讲 知识梳理 2 两个平面垂直的判定和性质 直二面角 垂线 二面角的平面角 交线 另一个平面 AOB 90 AOB 90 第40讲 知识梳理 探究点1垂直关系的判定 第40讲 要点探究 例1如图40 3所示Rt ABC所在平面外一点S 且SA SB SC D为斜边AC的中点 1 求证 SD 平面ABC 2 若AB BC 求证 BD 平面SAC 图40 3 第40讲 要点探究 例1 思路 证明线面垂直 根据判定定理可转化为证明线线垂直 考虑题中等腰三角形的条件 可由底边上的中线和三角形中位线得到 第40讲 要点探究 解答 1 取AB中点E 连接SE DE 在Rt ABC中 D E分别为AC AB的中点 故DE BC 且DE AB SA SB SAB为等腰三角形 SE AB DE AB SE DE E AB 面SDE 而SD 面SDE AB SD 在 SAC中 SA SC D为AC的中点 SD AC 又 SD AB AC AB A SD 平面ABC 2 若AB BC 则BD AC 由 1 可知SD 面ABC 而BD 面ABC SD BD SD AC D BD 平面SAC 2010 北京卷 如图40 4所示 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 EF AC AB CE EF 1 1 求证 AF 平面BDE 2 求证 CF 平面BDE 第40讲 要点探究 变式题 图40 4 第40讲 要点探究 思路 1 要证明AF 平面BDE 只需构造平行四边形 证明AF与平面BDE的一条直线平行 2 证明CF 平面BDE 可利用菱形的对角线垂直 以及由面面垂直转化线面垂直 又线线垂直 得到CF与平面BDE的两条相交直线垂直 变式题 解答 1 设AC与BD交于点G 因为EF AG 且EF 1 AG AC 1 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF EG 因为EG 平面BDE AF 平面BDE 所以AF 平面BDE 2 连接FG 因为EF CG EF CG 1 且CE 1 所以四边形CEFG为菱形 所以CF EG 因为四边形ABCD为正方形 所以BD AC 又因为平面ACEF 平面ABCD 且平面ACEF 平面ABCD AC 所以BD 平面ACEF 所以CF BD 又BD EG G 所以CF 平面BDE 第40讲 要点探究 例2 2010 课标全国卷 如图40 5所示 已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为H PH是四棱锥的高 1 求证 平面PAC 平面PBD 2 若AB APB ADB 60 求四棱锥P ABCD的体积 图40 5 第40讲 要点探究 第40讲 要点探究 2010 山东卷 在如图40 6所示的几何体中 四边形ABCD是正方形 MA 平面ABCD PD MA E G F分别为MB PB PC的中点 且AD PD 2MA 1 求证 平面EFG 平面PDC 2 求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比 变式题 图40 6 第40讲 要点探究 思路 1 利用线面垂直 得BC PD 从而把证明平面EFG 平面PDC 转化为证明BC 平面PDC即可 2 通过AD PD 2MA和正方形ABCD的性质找出题中线段之间关系并分别求出三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积 最后求比值 第40讲 要点探究 变式题 第40讲 要点探究 探究点2垂直关系的性质 例3 2010 江苏卷 如图40 7所示 四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点A到平面PBC的距离 图40 7 第40讲 要点探究 第40讲 要点探究 2009 福建卷 如图40 8所示 平行四边形ABCD中 DAB 60 AB 2 AD 4 将 CBD沿BD折起到 EBD的位置 使平面EDB 平面ABD 1 求证 AB DE 2 求三棱锥E ABD的侧面积 变式题 图40 8 第40讲 要点探究 第40讲 要点探究 变式题 第40讲 要点探究 探究点3垂直关系的综合应用 例4 2010 陕西卷 如图40 9所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD AP AB 2 BC 2 E F分别是AD PC的中点 1 求证 PC 平面BEF 2 求平面BEF与平面BAP夹角的大小 图40 9 第40讲 要点探究 第40讲 要点探究 2010 温州模拟 如图40 10所示 直角 BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面 PA 平面ABC DC BC 2PA E F分别为DB CB的中点 1 求证 AE BC 2 求直线PF与平面BCD所成的角 变式题 图40 10 第40讲 要点探究 第40讲 要点探究 变式题 第40讲 要点探究 第40讲 规律总结 1 两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况 而后者常被人忽略 线面垂直是线面相交的一种特殊情形 面面垂直是面面相交的一种特殊情形 而这两类垂直常被误以为是线面 或面面 位置关系中的一种 2 线面垂直判定定理可以简单地记为 线线垂直 线面垂直 是证明线面垂直的常用方法 证明线面垂直的方法有 线面垂直的定义 线面垂直的判定定理 两条互相平行的直线的性质 第40讲 规律总结 3 证明两个平面垂直 首先要考虑直线与平面的垂直 也可简单地记为 证面面垂直 找线面垂直 是化归思想的体现 这种思想方法 与空间中的平行关系的证明非常类似 这种转化方法是本讲内容的显著特征 掌握化归与转化的思想方法是解决这类问题的关键 第40讲 规律总结 4 空间垂直关系之间的转化 这也是立体几何中证明垂直关系常用的思路 三种垂直关系的转化可结合下图记忆 第41讲 空间向量及运算 第41讲空间向量及运算 第41讲 知识梳理 两两垂直 1 空间直角坐标系及有关概念 1 如图41 1 OABC D1A1B1C1是单位正方体 以O为原点 分别以OA OC OD1的长为单位长度 建立三条 的数轴 x轴 y轴 z轴 则称建立了空间直角坐标系Oxyz 其中点O叫做 x轴 y轴 z轴叫做 通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标原点 坐标轴 坐标平面 2 空间一点M在空间直角坐标系中的坐标可以用有序实数组 x y z 表示 记作M x y z 其中x叫做点M的 y叫做点M的 z叫做点M的 横坐标 纵坐标 竖坐标 第41讲 知识梳理 2 空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同 加减运算遵循 数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同 坐标运算与平面向量的坐标运算类似 仅多出了一个竖坐标 3 空间向量的数量积及运算律 1 定义已知两个非零向量a b 在空间任取一点O 作 a b 则 AOB叫做向量a b的夹角 记作 已知两个非零向量a b 则 a b cos a b 叫做a b的 记作a b 即 a b cos a b 三角形法则或平行四边形法则 数量积 a b 第41讲 知识梳理 p xa yb zc 基底 基向量 第41讲 知识梳理 2 空间向量的正交分解如果i j k是空间三个两两垂直的向量 那么 对空间任一向量p 存在一个有序实数组 x y z 使得p xi yj zk 我们称xi yj zk为向量p在i j k上的 3 空间向量的坐标设e1 e2 e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位正交基底 对于空间任一向量p 存在有序数组 x y z 使得p xe1 ye2 ze3 我们把x y z称作向量p在单位正交基底e1 e2 e3下的坐标 记作 此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标 分向量 p x y z x y z 第41讲 知识梳理 5 空间向量的坐标表示及应用 1 空间向量运算的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 2 重要结论a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R b 0 第41讲 知识梳理 第41讲 知识梳理 探究点1空间向量的线性运算 第41讲 要点探究 图41 2 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 点评 本题要解决的是空间问题 但所用的则是平面向量的知识 将空间问题分解为几个平面问题 并在各个平面内分别使用平面向量知识 综合起来达到解决问题的目的 这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一 另外 注意到用一组基向量表示空间向量的唯一性 可利用其确定未知参数 如下面的变式题 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 图41 3 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 探究点2空间直角坐标系的建立 例2已知直三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 2 M为BC1的中点 N为A1B1的中点 求 MN 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 如图41 4所示 在正四棱锥P ABCD中 底面边长和侧棱长都为2 点E在侧棱PC上 点F在底面ABCD的对角线BD上 试求E F两点间的最短距离 图41 4 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 探究点3空间向量的坐标运算 例3 1 已知向量a 2 1 3 求向量b 使得b a 且 b 3 a 2 已知向量a 2 1 3 b 1 2 1 若 ka b a 3b 求k 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 探究点4空间向量的数量积 图41 5 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 第41讲 规律总结 1 空间向量的概念及其运算是从平面向量中延伸过来的 要通过类比的方法来掌握 在进行空间向量的线性运算时可以沿用平面向量线性运算的方法 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似 只是多出一个坐标 与平面向量的坐标运算作一些对比 可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题 2 用已知向量表示未知向量 以及进行向量表达式的化简时 一定要注意结合实际图形 以图形为指导是解题的关键 同时注意首尾相接的向量和向量的化简方法 以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则 避免出现方向错误 第41讲 规律总结 3 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为用向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 在这里 恰当地选取基底可使向量运算简捷 或者是建立空间直角坐标系 使立体几何问题成为代数问题 在这里 熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础 4 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量的共线定理 解决两点间距离