材料力学(I)第六章.ppt

1 第6章简单的超静定问题 2 6 1超静定问题及其解法 关于超静定问题的概述 b 3 图a所示静定杆系为减小杆1 2中的内力或节点A的位移 如图b 而增加了杆3 此时有三个未知内力FN1 FN2 FN3 但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题 b 4 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁 此时有四个未知约束力FAx FA FB FC 但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题 超静定问题 staticallyindeterminateproblem 单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题 5 解超静定问题的基本思路 基本静定系 primarystaticallydeterminatesystem 例1 6 7 于是可求出多余未知力FN3 由位移相容条件 利用物理关系 位移或变形计算公式 可得补充方程 8 补充方程为 于是可求出多余未知力FC 例2 9 注意事项 1 超静定次数 多余 约束数 多余 未知力 位移相容条件数 补充方程数 因而任何超静定问题都是可以求解的 2 求出 多余 未知力后 超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算 3 无论怎样选择 多余 约束 只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同 则所得最终结果是一样的 10 4 多余 约束的选择虽然是任意的 但应以计算方便为原则 如上所示连续梁若取B处铰支座为 多余 约束 则求解比较复杂 11 6 2拉压超静定问题 拉压超静定基本问题 举例说明拉压超静定问题的解法 12 求图a所示等直杆AB的约束力 并求C截面的位移 杆的拉压刚度为EA 例题6 1 13 1 有两个未知约束力FA FB 图a 但只有一个独立的平衡方程FA FB F 0故为一次静不定问题 例题6 1 14 2 取固定端B为 多余 约束 FB为多余未知力 相当系统如图b所示 它应满足相容条件为DB 0 利用叠加法得DBF DBB 0 参见图c d 例题6 1 15 3 利用胡克定律后可得补充方程为 由此求得 所得FB为正值 表示FB的指向与假设的指向相符 即向上 例题6 1 16 得FA F Fa l Fb l 4 由平衡方程FA FB F 0 例题6 1 5 利用相当系统 图b 求得DC 17 拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件 本例的相容条件为DlAC DlBC 0 因为变形和位移在数值上密切相关 可用已知的位移条件DB 0代替相容条件 2 小变形的情况下 利用叠加法求位移时 均是利用构件的原始尺寸进行计算的 所以DBB FBl EA 而不用DBB FB l DBF EA A 为在F力作用下变形后横截面的面积 例题6 1 18 求图a所示结构中1 2 3杆的内力FN1 FN2 FN3 AB杆为刚性杆 1 2 3杆的拉压刚度均为EA 例题6 2 19 1 共有五个未知力 如图b所示 但只有三个独立的静力平衡方程 故为二次静不定问题 例题6 2 解 20 2 取1杆和2杆为AB杆的多余约束 FN1和FN2为多余未知力 得基本静定系如图c 例题6 2 21 3 由变形图 图d 可得变形相容条件为 例题6 2 22 4 利用胡克定律 由 1 2 式可得补充方程 解得FN1 2FN3 3 FN2 2FN1 4FN3 4 例题6 2 23 5 AB杆受力如图b所示 MA 0得 联立求解得 例题6 2 24 II 装配应力和温度应力 1 装配应力 超静定杆系 结构 由于存在 多余 约束 因此如果各杆件在制造时长度不相匹配 则组装后各杆中将产生附加内力 装配内力 以及相应的装配应力 25 图a中所示杆系 E1A1 E2A2 中杆3的长度较应有长度短了De 装配后各杆的位置将如图中虚线所示 此时 杆3在结点A 处受到装配力FN3作用 图b 而杆1 2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用 图b a 26 求算FN3需利用位移 变形 相容条件 图a 列出补充方程 由此可得装配力FN3 亦即杆3中的装配内力为 拉力 a 27 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力 轴力 除以杆的横截面面积即得 由此可见 计算超静定杆系 结构 中的装配力和装配应力的关键 仍在于根据位移 变形 相容条件并利用物理关系列出补充方程 而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为 28 两根相同的钢杆1 2 其长度l 200mm 直径d 10mm 两端用刚性块连接在一起如图a所示 将长度为200 11mm 亦即De 0 11mm的铜杆3 图b 装配在与杆1和杆2对称的位置 图c 求各杆横截面上的应力 已知 铜杆3的横截面为20mm 30mm的矩形 钢的弹性模量E 210GPa 铜的弹性模量E3 100GPa 例题6 3 29 1 装配后有三个未知的装配内力FN1 FN2 FN3 如图d所示 但平行力系只有二个独立的平衡方程 故为一次静不定问题 也许有人认为 根据对称关系可判明FN1 FN2 故未知内力只有二个 但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程 d 所以这仍然是一次静不定问题 例题6 3 解 30 2 变形相容条件 图c 为 这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值 不带负号 例题6 3 31 3 利用胡克定律由 2 式得补充方程 例题6 3 32 4 联立求解 1 和 3 式得 所得结果为正 说明原先假定杆1 2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的 例题6 3 33 5 各杆横截面上的装配应力如下 例题6 3 34 求装配内力也是求解静不定问题 其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程 以上计算结果表明 很小的制造误差 却产生较大的装配应力 从而使构件的承载能力降低 因此 要尽量提高加工精度 减小装配应力的不利影响 例题6 3 35 2 温度应力 也是由于超静定杆系存在 多余 约束 杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力 铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩 其横截面上会产生相当可观的温度应力 36 两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示 试求当温度升高Dt时横截面上的温度应力 杆的横截面面积为A 材料的弹性模量为E 线膨胀系数为 l 例题6 4 37 1 若AB杆仅A端固定 B端无约束 当温度升高时 只会产生纵向伸长Dlt 而不会产生内力 当A B均为固定端时 Dlt受到约束不能自由伸长 杆端产生约束力FA和FB 两个未知力 一个平衡方程 为一次静不定问题 b 例题6 4 解 38 2 以刚性支撑B为 多余 约束 FB为多余约束未知力 设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt 由 多余 未知力FB产生的缩短变形DlF分别如图c d所示 例题6 4 39 3 变形相容条件是杆的总长度保持不变 即 例题6 4 40 4 将 2 式代入 1 得 例题6 4 41 5 由 3 式解得 例题6 4 42 6 杆的横截面上的温度应力为 例题6 4 43 若该杆为钢杆 l 1 2 10 5 C E 210 109Pa 则当温度升高Dt 40 时有 压应力 例题6 4 44 两端固定的圆截面等直杆AB 在截面C处受扭转力偶矩Me作用 如图a所示 已知杆的扭转刚度为GIp 试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭转角 例题6 5 6 3扭转超静定问题 45 1 有二个未知的反力偶矩MA MB 但只有一个独立的静力平衡方程 故为一次超静定问题 例题6 5 解 46 2 以固定端B为 多余 约束 反力偶矩MB为 多余 未知力 在基本静定系上加上荷载Me和 多余 未知力偶矩MB 如图c 它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角jB 0 利用叠加法可得 c 例题6 5 47 可由平衡方程求得为 3 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程 求得 例题6 5 48 4 杆的AC段横截面上的扭矩为 c 例题6 5 49 图a所示组合杆 由半径为ra的实心铜杆和外半径为rb 内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起 两端固结在刚性块上 受扭转力偶矩Me作用 试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb 并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况 例题6 6 50 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb 图b 但只有一个独立平衡方程Ta Tb Me 1 故为一次超静定问题 例题6 6 解 51 2 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面的扭转角相等 在图b中都用j表示 设A端固定 例题6 6 52 3 利用物理关系由 2 式得补充方程为 例题6 6 53 4 联立求解 1 式和 3 式得 例题6 6 54 5 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 空心钢杆横截面上任意点的切应力为 切应力沿半径的变化情况如图c所示 例题6 6 55 由图c可见 在r ra处 ta tb 这是因为Ga Gb 在r ra处 两杆的切应变是相等的 即 说明r ra处变形是连续的 例题6 6 56 6 4简单超静定梁 超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同 求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为 多余 约束 以约束力FB为 多余 未知力 解除 多余 约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁 基本静定系 57 基本静定系在原有均布荷载q和 多余 未知力FB作用下 图b 当满足位移相容条件 参见图c d 时该系统即为原超静定梁的相当系统 若该梁为等截面梁 根据位移相容条件利用物理关系 参见教材中的附录 所得的补充方程为 58 从而解得 多余 未知力 所得FB为正值表示原来假设的指向 向上 正确 固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为 59 该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得 如图所示 思考1 该梁的反弯点 弯矩变换正负号的点 距梁的左端的距离为多少 2 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解 如何求解 60 试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN 梁AC和杆AD的材料相同 弹性模量为E AD杆的横截面积为A AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 例题6 7 61 1 梁AC共有三个未知力 图b FN FB FC 但平面仅有两个平衡方程 故为一次超静定问题 例题6 7 解 62 2 把AD杆视为梁AC的 多余 约束 相应的 多余 未知力为FN 位移 变形 相容条件为梁的A截面的挠度wA等于杆的伸长量DlDA 图b 即wA DlDA 例题6 7 63 3 求wA和DlDA wA是由荷载产生的wAq 图c 和FN产生的wAF 图d 两部分组成 例题6 7 64 把图d所示外伸梁 视为由悬臂梁AB 图e 和简支梁BC 图f 两部分组成 例题6 7 65 4 把wA和DlDA代入位移 变形 相容条件得补充方程 由此求得 例题6 7 66 试求图a所示等截面连续梁的约束反力FA FB FC 并绘出该梁的剪力图和弯矩图 已知梁的弯曲刚度EI 5 106N m2 例题6 8 67 1 该梁有三个未知力FA FB FC 仅有两个平衡方程 故为一次超静定问题 例题6 8 解 68 2 若取中间支座B处阻止其左 右两侧截面相对转动的约束为 多余 约束 则B截面上的一对弯矩MB为 多余 未知力 相当系统如图b 例题6 8 69 相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零 即 例题6 8 3 查关于梁位移公式的附录 可得 70 4 将qB qB 代入位移相容条件补充方程 从而解得 这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反 即为MB负弯矩 例题6 8 71 5 利用图b可得约束力分别为 例题6 8 72 绘出剪力图和弯矩图分别如图c d所示 例题6 8 73 超静定梁多余约束的选择可有多种情况 例如 若以支座B为多余约束 FB为多余未知力 位移条件为wB 0 相当系统如图 e 所示 有如以支座C为多余约束 FC为多余未知 位移条件为wC 0 相当系统如图 f 所示 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的 例题6 8 74 II 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有 多余 约束存在 因而支座的不均匀沉陷和梁的上 下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响 在工程实践中这是一个重要问题 75 1 支座不均匀沉陷的影响 图a所示一次超静定梁 在荷载作用下三个支座若发生沉陷 A B C 而沉陷后的支点A1 B1 C1不在同一直线上时 即沉陷不均匀时 支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值 而支座均匀沉陷时梁的约束力和内力 由于支座沉陷量与梁的跨度相比是微小的 故可认为与支座无沉陷时相同 76 现按如图a中所示各支点沉陷 B C A的情况进行分析 此时 支座B相对于支座A C沉陷后的点A1 C1的连线有位移 77 于是 如以支座B1作为 多余 约束 以约束力FB为 多余 未知力 则作为基本静定系的简支梁A1C1 参见图b 在荷载q和 多余 未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是 78 于是得补充方程 由此解得 其中的wB按叠加原理有 参见图c d 79 再由静力平衡方程可得 80 2 梁的上 下表面温度差异的影响 图a所示两端