1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望.ppt

第一章预备知识 1 1随机变量 随机变量的概念 引入随机变量的意义 建立了集合函数与数学分析中所研究的点函数之间的联系 随机变量的概念 定义 设是一样本空间 是定义在上的单值实函数 则称X为一个随机变量 称为随机变量的分布函数 离散型随机变量 设离散型随机变量X 一切可能值为 记称为X的分布列 也称为X的概率函数 连续型随机变量 定义 对于随机变量X 若存在非负函数 且 使X取值于任意区间的概率称X为连续型随机变量 随机向量及其分布 定义 设是一样本空间 是定义在这个样本空间上的n个随机变量 称为上的一个n维随机向量 随机向量的联合分布函数 设是样本空间上的n维随机向量 称n元函数是n维随机向量的分布函数 也称为n个随机变量的联合分布函数 随机变量的独立性 定义 设是n个随机变量 若对于任意的n个实数 均有则称n个随机变量是相互独立的 随机变量的独立性 设的分布函数分别为 它们的联合分布函数为 则上式等价于 矩函数 一个随机变量矩函数 矩函数 两个随机变量联合矩函数j k阶原点距j k阶中心距 矩函数 常用的几种矩函数 一阶原点矩描述概率分布的中心或均值二阶原点矩描述平均功率 二阶中心矩描述概率分布的离散程度 矩函数 相关函数 协方差相关系数不相关描述两个随机变量的线性相关关系 柯西 施瓦茨不等式 设 则 1 2条件数学期望 定义 设 X Y 的联合分布函数为F x y 称 为在X x的条件下 随机变量Y的条件分布函数 离散型随机变量 X Y 在y yk条件下X的条件分布函数为 称为条件分布律 连续型 X Y 有 为在条件X x下 随机变量Y的条件密度函数 三 条件数学期望 1 条件数学期望概念 定义设 X Y 是二维随机变量 条件分布函数或存在 若 或 则 称为在X x的条件下 随机变量X的条件数学期望 若 X Y 是离散型随机变量 则 若 X Y 是连续型随机变量 则 例1 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 试求E Y X x 解 在 X x 的条件下 有条件概率密度 一般有 定理设函数g x 在R上连续 若 则随机变量g X 在 Y y 条件下的条件数期望为 定义称 为 Y y 的条件下 随机变量X的条件方差 为随机变量X相对于条件数学期望的偏离程度的衡量指标 一般 是实值函数 而随机变量的函数 仍是随机变量 有随机变量的概率性质 2 条件数学期望性质 定理 设X Y Z是随机变量 g 和h 为R上连续函数 且各数学期望存在 有 1 c是常数 证 1 对 2 a b是常数 自证 3 如果X与Y相互独立 则 证 X与Y独立 自证 3 全期望公式 例2 常用全数学期望公式若Y是离散型随机变量 例3设随机变量序列独立同分布 随机变量N N仅取自然数 E N 存在 并且N与相互独立 随机变量且E Y 存在 试证明 证明 因为Xk具有相同分布 则 例4设某段时间内到达商场的顾客人数N服从参数为 的泊松分布 每位顾客在该商场的消费额X服从 a b 上的均匀分布 各位顾客之间消费是相互独立的且与N独立 求顾客在该商场总的消费额 解设第i个顾客消费额为Xi 全体顾客在该商场总消费额为 根据全数学期望公式得 例5已知随机变量X服从 0 a 上的均匀分布 随机变量Y服从 X a 上的均匀分布 试求 解1 由条件知对x 0 有 对任意的0 x a有 解 设窃贼需走X个小时到达地面 并设Y为窃贼每次对三个门的选择 则Y均以1 3的概率取值为1 2 3 可利用全期望公式得 而有 例6 巴格达窃贼问题 一窃贼被关在3个门的地牢中 其中第1个门通向自由 出这个门后3个小时便回到地面 第2个门通向一个地道 在此地道中走5个小时后将返回地牢 第3个门通向一个更长的地道 沿着这个地道走7个小时也回到地牢 如果窃贼每次选择3