CAD、CAM应用数学第五章.docVIP

第五章 曲线的拟合与设计 5-1概述在前两章，我们讨论了一些用数学方程描述的曲线的曲线和曲面，有许多生产实际问题，例如：飞机机体、汽车车身、船体、汽轮机和水轮机叶片的形状，都是根据风洞试验或水池试验得出来的，无法用数学方程确定，只能用一些离散的型值点来描述，这种曲线和曲面常称为非数学的曲线和曲面，为了进一步分析和加工这种非数学曲线，要将离散的型值点连续化并作出符合要求的曲线。根据离散型值点求出一条连续的曲线，并使它符合实际要求的方法，叫做曲线的拟合这种数学的和非数学的曲线与曲面，通常都用数控铣床、加工中心或类似机床加工，因此，在数控机床上加工的曲线和曲面有三种类型。第一类，是由若干段数学曲线和曲面组成的曲线曲面，大多数的机械另件都是属于这一类形状。设计另件时，用圆规和直尺就能绘出由直线、圆弧组成的图形，若是曲面，它常由平面，圆柱面、圆锥面、球面和其它二次曲面等组成，当然，蜗杆的齿面和齿轮的渐开螺旋齿面也属于这一类曲面，但它们很少用数控加工的方法逐点地把齿面加工出来。第二类，是拟合离散的型值点得出的非数学的曲线或曲面，并且，拟合的曲线或曲面必须按严格的公差要求通过各离散的型值点。船身、飞机、机翼、汽轮机和水轮机叶片等都是属于这一类的曲线和曲面，加工后，必须按给定的型值点的数值和公差进行严格的检查。第三类，是根据离散的型值点得出的非数学的曲线和曲面，并且它们与各型值点之间没有严格的公差要求，汽车车身外形的曲线或曲面设计，就是这类曲线、曲面的典型例子。通过实验得出的各型值点，若要用一条曲线表示，即方程： y= (5-1)能满足各型值点的已知条件，这时代（5-1）是高次多项式，它的系数的解需要个线性方程，显然这是一条非常复杂的曲线，给设计计算带来许多困难，因此要用更简单的曲线来替代，在生产实际中，复杂的曲线往往用若干段简单曲线和直线（如圆弧和直线）相连所代替。5-2 圆弧拟合用直线将各相邻型值点连起来，以分段直线代替复杂曲线的方法叫做线性拟合，分段直线的数目愈多，线性拟合的精度愈高，两相邻型值点之间的数值用线性插补法给出，这种线性拟合可以满足一定的误差要求，但在相邻型值点的斜率，如和是不连续的，有一个跳跃值（）使加工出来的曲线表面很不光顺。（图5-1）如果需要连续的斜率，则要采用园弧拟合，即用分段的圆弧代替复杂的曲线，并且相邻的二人圆弧有关切线。下面举一个用线切割机加工机翼模型的例子来说明弧拟合的做法。某机翼模型的形状如图5-2所示，设；园O的半径为,园的半径为的坐标为；又设机翼上缘的一些离散点现在要用分段园弧光滑地连接这些离散点并使它和圆和园都相切。从园的方程知道，要确定一个园必须有三个独立的条件，例如，过不在同一直线上的三点可作一个园，已知两点和其中一点的切线斜率也可以确定一个园等等。所以，我们对上述问题作如下考虑。过+作园使和园相切，过作园使它和园相切，一般地，过作园使它和园相切，过作园使它和园相切，最后过作园使它和园与园都相切。由此可知，要确定这些园只要解决下面三类问题就够了。（1）已知园0和园外两点，求园P，使它通过并且和园相切。（2）已知园Q和园外一点，求园，使它通过定点,并且和园Q相切于定点。（3）已知园Q和园，求园P，使它和园O相切，并且和园Q相切于定点。 由上面的分析可行，切割机翼模型的问题中求园P1属于第一类，求园园P0属于第二类，求园属于第三类，下面就分别对这三类问题进行具体计算。1、如图5-3所示，定园O的半径是，我们取O点为坐标系的原点。设所求的园P和定园O的切点的坐标为，我们只要确定园P的园心就可以了，因为是它的半径，点是园O和园P的切点，所以P必须在直线上，具有： (5-2)其中，如果园O和园P内切，如图3-5所示，如果园O和园P外切，则另一方面，P又必须在的垂直平分线上，现在令的中点为B，则： 那么和垂直的一个向量为： 于是P的坐标可写为：其中表示B点算起到P点的距离，应取正值。假定时恰好为所求的P，以式（5-2）得到：展开两边并加以整理，容易得到： 式中已令： 两边平方的结果是：其中 从此解中 (5-4)应取正值，如果它有两个解，分别表示内切和外切两种情况，我们可以根据具体情况选取其中的一个解。将（5-4）代入式（5-3）即得园心P的坐标，P点到A1点的距离就是半径R： （5-5） 为求，首先写出直线PO的方程： 式其： 为直线PO从P点量起的距离，由此立即可得： （5-6）综上所述，式（5-3）（5-6）就是问题的解。2、如图5-4所示，定园的园心为，半径为点既要在P的园心为。半径为R，点P既要在的垂直平分线上，又要在的连线上，所以只要求出这两条直线的交点就可以了。直线的方程为： （5-7）的垂直平分线BP的方程为： （5-8） 其中，从式（5-7）和（5-8）得出 园P的半径是： （5-9）2、最后，我们讨论第三类问题。如图5-5所示，园Q的园心的坐标为半径为点的坐标为，园的园心坐标为，半径为，假定所求园心P点的坐标为，半径为R，它和园的切点为。因为园P和园Q相切于A点，所以P在AQ的边线上，而且这条边线的斜率是： 因此直线AQ的方程为： （5-10）现在把它写成参数形式： （5-11）其中表示了从A点到的距离。如果我们取为园的半径，便得到QA上的一点。使 从式（5-11）知道的坐标（）： 因为所以因此P在的垂直平分线上。的中点B的坐标为： s而且的垂直平分线方程为： (5-12) 其中， 从式（5-10）和（5-12）解得P点的坐标： (5-13)园P的半径为： 为了求出，我们写出直线的方程： 其中，表示P点到的距离。因为：所以的坐标为： （5-15）综合起来，我们从式（5-13），（5-14）和（5-15）依次得到园P的园心半径及其和园的切点等。对于上述三类问题有了解决办法，机翼切割问题就被解决了。5-3三次样条曲线园弧拟合的光顺性比线性拟合有了提高，但在型值点的曲率（或二阶导数）是不连续的。在实际问题，有时需要一种有连续的一阶导数和二阶导数的拟合曲线。例如：在船体设计中，设计师首先给定数数据的型值点准确地画在图上，然后用一根有弹性的木条或有机玻璃条的工具叫做样条，用压铁使样条通过这些型值点，再适当调整压铁位置，使这样条的形状符合要求后，设计师才沿这样条画出所需的曲线（图5-6）。数学上的三次样条函数，就是在生产实践基础上产生和发展的。如果我们把这样条看成弹性细梁，压铁看成作用在梁上的集中载荷，则由材料力学知道，两压铁的某一段梁在载荷（二压铁）作用下产生了弯曲变形，其弯矩是线性的，对整个梁来说，弯矩是连续的折线函数。按照欧拉方程得出： 其中是弯矩，是梁的曲率半径，E是杨氏模量，I是惯性矩。梁的曲率半径可用平面曲线的式（3-32）代入，于是： 对于斜率（或挠度）小的梁，因此上式可写成： （5-16）由于在各小段上，压块又可看作简单支点或结点，而就是两支点间的线性函数，设，代入式（5-16）并积分二次，既可说明实际样条或函数，是由两支点的三次多项式所描述的，从而建立了数学上的三次样条函数的概念。现给三次样条函数的定义，设的区间，已知型值点（或结点）的条件为： 若函数满足下列条件：1）2）在整个区间中有连续二阶导数；3）在每一小段子区间中，是的三次多项式，则称是关于已知型值点的三次样条函数由它描述的曲线叫做样条曲线。数学的样条是一个分段的几次多项式，而且各小段间的公结点处具有阶导数的连续性。对三次样条函数而言，在公结点处，它的一阶和二阶导数是连续的，而整个曲线，则由这些小的三次样条曲线的曲线段组成。5-4 参数曲线式（5-16）是对小斜率梁而言的，在实际问题中，有时结点的斜率不是很小，这时解决问题的办法有二个，一是对每一小分段取各自的坐标系，即所谓的局部坐标系即以分段二端点的弦作为轴。原点和分段的始点重合；另一种方法是采用参数（矢量）法，把样条函数的分量都写成参数函数。这个方法的优点是与轴线无关。我们主要讨论这个方法。1963年，首先在航空设计中引入了三次参数曲线。并将曲线段用下式表示： （5-17）上式是三次样条函数，它有四个矢量系数，需要有个系数以确定曲线段。这四个矢量的几何意义往往又不很明确，因此用该段曲线在始点和终点的和代替矢量来表达样条曲线列为合适，为简单起见，我们先解决在0，1区间内的问题，其它区间的方程完全类似，将和代入式（5-17）及其一阶导数： 因此： （5-18）将上式代入式（5-17），经整理后得： （5-19）其中和分别代表某一曲线段在始点和终点的位置与一阶导数，具有明确的几何意义。式（5-18）还可写成矩阵的形式： （5-20）导矢和曲线段二瑞点的切矢和成正比，于是： 切矢的模的作用如下，若同时增大，则曲线更加丰满如果保持不变，增大，会使更长一段曲线在转入方向之前保持接近的方向（5-8）。当的数值很大时，曲线会出现弯折（尖点）和打园圈（多重结点），对于平面曲线，比较安全的办法是使切矢的模不要大于弦长的三倍。为了控制三次曲线段的形状，避免出现多余的拐点和奇异点（尖点和多重结点），我国苏步青教授引入另外两个叫做切矢相长度的系数和来表示三次曲线段两个端点的切矢： 是两条端点切线的交点（图5-9），根据和值的大小的它们在图5-10中的位置即可找出同三次参数曲线式（5-20）上的奇异点和拐点的分布情况：上述规律表明，调整和的大小可以控制三次曲线段的形状 5-5 曲线以上讨论的三次样条曲线和曲线只限于作一曲线通过所有给定的型值点，属于曲线拟合的方法，在许多情况下，使用这种方法可以获得较好的结果，但当使用人机对话式的交互式曲线设计时，用端点切矢的方向与大小等信息去控制曲线时，曲线形状和数学信息之间，不一定有明显的关系，不能给设计指者提供所需图形的直观感觉。法国雷诺汽车公司的贝齐尔于1962年开始研究以逼近为基础的设计曲线与曲面的方法，并于1972年建立了用汽车车身和冲模的自由曲线和自由曲面的设计系统UNISURF系统。曲线和曲面现已成为计算机辅助几何设计（CAG）中最基本的定义曲线与曲面的数学方法之一。用提出的方法能构成二次的，三次的和高次的曲线，其中以三次的用的最多。图5-11所示的三次曲线由两个端点和两个曲线以外点来确定。点构成了一个与三次曲线相对应的开口多边形，称为特征多边形，这四个点称为多边形的顶点。设计曲线时，应先选好点,以使设计的曲线通过这二点，再在希望的切线上取点，同时调整和的长度，即改变特征多边形的形状，使设计的曲线较为丰满，或者使象图5-7，5-8中的那样，使曲线更加贴近一条切线。显然，提出的设计曲线的方法能使设计者明显地感觉到输入和图形输出的关系，使他们可以控制输入参数改变曲线形状，直到得出与预期的形状一致为止。他们可以控制输入参数参数改变曲线形状，直到得出与预期的形状一致为止。一、曲线的定义1、三次曲线段的方程为： （5-21）其中，对任何曲线段 上式也可以写成矩阵的形式： （5-22）空间矢量就是它的特征多边角点（）的位置矢量，它与曲线的形状有关（图5-11），设计计算时，只要规定特征多边形的四个角点，然后按式（5-21）或（5-22）就可以计算曲线上的点。它不需要考虑对参数的导矢。每个曲线段都有各自的角点以确定各自的曲线形状，这一曲线段角点位置的变化（曲线形状也变化），不影响其它曲线的曲线形状，同时，根据数学证明，只要四个角的相对位置不变，曲线的形状也是不变的，因此，曲线的形状与坐标系的选择无关，特征多边形可象刚体那样运动到任何地方，它所形成的曲线形状没有变化，这样，给曲线设计带来了很大的自由度。参数在0到1之间变动，从而改变了在相邻二角间边线上分线段比的比值以画出要求的曲线（图5-12）2、二次曲线为： （5-23）或 （5-24）二次曲线的特征多边形角点只有三个（图5-13），其中 而且： 因为它的特征多边形只有两条边，所以二次曲线总是平面曲线，而且可以证明它是一条抛物线。3、例题：假定和是三次曲线的特征多边形的四个角点，求三次曲线的图形。解：1）由式（5-21）： （5-25）式中： 叫做基函数，式（5-21）又可称为曲线的表达式，那是等人在1972年前后发展的。2）因为参数，取1相应的系数见下表：计算时，系数J是和（1-）的函数，而参数与（1-）之和等于1，所以当参数成对地取成时，可以减少计算工作量。经过这样处理后，系数和完全可以从中相当的数据中取用。3）将式（5-25）改写成如下形式： 因此： 连接这些点，即得图5-14的三次曲线段的形状。二、三次曲线的几何特征：1、用和1代入式（5-21）得三次曲线始终和终点位置： (5-26) 它们表示曲线的始点和终点也是特征多边形的始点和终点。2、导矢：式（5-21）的一阶导矢为： 或： (5-27) 于是： (5-28)再对式（5-27）求导，得二阶导矢为： (5-29)于是： (5-30)3、曲率：由式（3-48）知曲线曲率： 三次曲线在参数和1时的曲率为： 最后得： (5-31)4、三次曲线的奇点和拐点前曾提及，曲线的形状由它的特征多边形的角点的位置确定，对于三次曲线，如果边长和的长度过大，则在该曲线段上会出现奇点和拐点，出现奇点和拐后会影响曲线的光顺，应尽力避。为此，我们按图5-15进行检查。在平面上给定了特征多边形后，建立仿射标架，其中，设，则和点的坐标分别为(x,1)和(1,y)，点R(x,y)称为特征多边形的特点。将特征多边形。定义的三次曲线记作L，则当特征点R 式中，C是双曲线的两支。区域D的一侧边界是曲线C，另一侧边界分别是上海沪东造船厂绘制的几种典型的三闪曲线如图5-16所示。5、三次曲线的保凸性连接特征多边形的两个端点和，得到了封闭的多边形，如果它是凸多边形，则称此特征多边形也是凸的。从图5-16中可以看出，当三次特征多边形为凸时，特征点一定落在无拐和无奇点的区域N中，因此三次曲线是何凸的。保凸性在计算几何体相交时很有和，可以证明，对于平面几次曲线，当其多边形为凸时，曲线也是凸的。6、曲线的几何作图法已知特征多边形的顶点为和时，曲线上任意一点P的求法如下（图5-17）：先预选参数为某一定值，再多边形的边上取点使： 将点和连接成一个新的多边形，在新多边形上取点使： 同理，还可得： 在直线上取点P*使，则点为所求曲线上的一点直线为该点的切线。 B样条曲线曲线是由特征多边形顶点与基函数的线性组合见式（5-25）得出的，修改一个顶点或改变点数量时，将影响整条曲线的形状，需要重新计算，在19721974年间，等人拓广了曲线，用B样条基函数代替基函数，从而将曲线的逼近改为B样条逼近，他们用这种方法构造了等距节点B样条曲线。B样曲线继承了曲线的直观性的优点，又克服了它的不足之处，B样条曲线与其特征多边形相当接近，便于局部修改，B样条曲线的另一特点是既分段又连续，它在CAD中是一种很有前途的造型工具，其中，用得最多的是三次B样条曲线，其次是二次B样条曲线，高于三次的，用得最多的是三次B样条曲线，其次是二次B样条曲线，高于三次的，用得很少。一、B样条曲线的定义：1、三次B样条曲线段的方程。象三次曲线段的方程一样，三次B样条曲线段的方程为： (5-32) () 式中，为样条基函数。上式还可改写为： (5-33)象曲线一样，空间矢量是特征多边角点的位置矢量或矢径，它与B样条的关系见图5-18。在特征多边形的端点，B样条曲线端点的一阶导矢和二阶导矢为: (5-34)从以上各式可以看出，三次样曲线段的始点在三角形的中线上距点的处（图5-19），始点切矢平行于矢量，也就是平等于三角形的底边，但其模为它的一半，始点的二阶导矢之模等于中线的二倍。终点的情况可在三角形中用同样方法确定。2、二次B样条曲线段的方程 （5-35）或改写为： （5-36）二次B样条曲线是抛物线，它的端点的一导矢为： （5-37） 上式表明，二次B样条曲线的起始点和终点是它的特征多边形二边的中点（图4-20）而且这二边分别二次B样条曲线的切线。曲线的次数越高，它离特征多边形越远，三次B样条曲线有二阶导矢，能保持连续，与特征多边形又相当逼近，所以最常用。二次B样条曲线由于简单，与特征多边形更加接近，虽然只有一个阶导矢，只能得到连续，在工程中也经常应用。 二、三次B样条曲线的几何性质1、B样条曲线的形状由它的特征多边形确定，而且曲线和多边形相当逼近，因此直观性较好。2、B样条曲线仅由特征多边形的四个顶点的位置确定，当整条B样条曲线的某一顶点位置改变时，只对与它相邻的四个曲线段的形状产生影响，而对其它曲线段不会有影响。B样曲线这种局部性性质在工程上非常有用，便于修改曲线形状。3、在曲线，如果它的特征多边形是凸，则该曲线也一定是凸的，同样，在B样条曲线中，如果它的特征多边形是凸的。那么，三次B样条曲线也是凸的。4、三顶点共线时，是直线的中点，三次B样条曲线段的始点所在的位置上为 图5-21 同时，始点处的曲率，而且与特征多边形的边相切，因此，利用这种性质可以设计出需要的拐点。5、二顶点和重合，这种情况相当于三顶点共线(图5-23)这时三次B样条曲线段的始点满足： 同时始点处，曲线与特征多边形的边相切，因此，若要B样条曲线与特征多边形的边相切，可以利用二顶点重点的方法。6、四个顶点共线时，B样条曲线退化为一条直线(图5-22)，因此若要在B样条曲线上造成一条直线，只要使有关的四个顶点共线就可以了。7、三顶点重合：当特征多边形的三个顶点，重合时(图5-24)，三个角形退化为一点，所以曲线段的终点亦重合在该点，并且它的切矢 ，二阶导矢。从图形看，曲线出现一个尖点。但是由于该点的切矢与二阶导矢都退化为零曲线仍然是连续的，因此，要在B样条上出现一个尖点，可以运用三个顶点重合的方法。 5-7组合曲线一、曲线段组合的条件 在前几节里，我们讨论了曲线段，曲线段和B样条曲线段的表达式和几何特性。在实际工作中，用一段曲线很难一描述所设计的复杂曲线，或拟合所有的型值点，为此，要把各曲线段连接起来，设计成所需的曲线，连接各曲线段时，在连续处达到，连续是必要的。 如果曲线段要和曲线段连接起来，那末在连接点处曲线1的终点和曲线2的始点应该是连续的，而且斜率也是连续的，即 （5-38）和： （5-39）式中，为连接点处的公切线幺矢，为标量，它们的大小会影响曲线的丰满程度，在实际工作中，我们并不一定要求两条切线不仅方向相同，而且大小相同 。只要切线的方向相同，就是大小不同也能得出向何上顺的组合曲线。 关于连接点处的曲率连续，可以用以下方式求出，由式（3-49）知：。如果在连接点区域内，曲率中心是连续的，那么也必须是连续的。如果幺矢是连续的，则付法幺矢也是连续的。由曲线论的基本公式（3-59）知： 当曲线段1和曲线段2的连接点要求有曲率连续时，则必须使： 把式（5-39）代入上式，得：（5-40）这个关系式为：（5-41）所满足，式中为任意标量，这是因为用对式（5-41）的两端作矢积，并使就可得出式（5-40），的作用是在保证处连接处曲率相等的前提下，使曲线设计者有更大的灵活性，对于大多数实用的曲线系，可以取为零，以使问题更为简单。式（5-38），（5-39）和（5-41）就是两曲线段之间位置连续，切线 连续和曲率连续的条件。二、组合的曲线为了寻找得到曲率连续的最简单的办法，取和这种最简单的办法，即： （5-42）式（5-19）是曲线段的方程，它的二阶导矢为： （5-43）当时，当时于是式（5-42）的最后一式可改写为： 因为，所以上式又可化简为： （5-44） 若组合的曲线作为拟合曲线要通过型值点，设过该点的切线矢量为，又设和为连续的三个型值点，则：这是相邻三个型值点，则：于是式（5-44）可改写为便于使用的形式 （5-45）这是相邻三个型值点的矢量之间的递推关系式，只要规定To和Tn，就可得出一系列方程，将其余切线矢量位置矢量按式（5-45）算出，另一方面，当各型值点的切线矢量取为这些值时，得出的组合的曲线一定能保证曲率连续，组合的曲线特别适合于拟合各型值点间隔比较均匀的曲线。三、组合的三次曲线：若要构造一般三次曲线和已有的曲线段在连接点处有位置，斜率和曲线连续，它们应满足式（5-38），（5-39）和（5-41）的要求。1、位置连续：由式（5-21）得知： 将式代入式（5-38）得： (5-46)2、斜率连续：由式（5-28）得： 将它们代入式（5-39）得切线方向连续的条件为： (5-47)式中为切线矢量的模，显然，当式（5-46）和（5-47）都成立时，和三点在一条直线上（图5-25）。3、曲率连续：由式（5-30）得 将上式代入曲率连续的条件式（5-41）并结合式（5-47）和（5-48）得到： 式中。再用式（5-47）消去，用式（5-46）消去，上式又可改写为：式（5-49），（5-46）和（5-47）表明，