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应用数值分析 课件制作 刘春凤 何亚丽 马醒花 杨爱民 绪论 第一章 研究求数学问题近似解的方法和过程 实际问题 数学模型 数值计算方法的理论 程序设计 上机计算求出结果 研究内容 在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果 研究例子 求解线性方程组 如把方程组的系数舍入成两位有效数字 它的解为x1 6 222 x2 38 25 x3 33 65 其准确解为 x1 x2 x3 1 函数的数值逼近 数值微积分 非线性方程数值解 数值线性代数 常微和偏微数值解等 借助计算机提供切实可行的数学算法 所提出的算法必须具有 可靠的理论分析 理 通过数值实验证明算法行之有效 计算复杂性好 时间复杂性好 指节省时间 空间复杂性好 指节省存储量 想的精确度 收敛且稳定 误差可以分析或估计 数学分析 或微积分 高等代数 数学软件 误差的来源 第1节 1 模型误差 数学模型与实际问题之间出现的误差 实验 交通流量问题问题分析与建立模型 模型假设 1 全部流入网络的流量 全部流出网络的流量 2 全部流入一个节点的流量 全部流出此节点的流量 该问题满足10个变量的线性方程组 2 观测误差 由观测产生的误差 已知实验数据如下 求符合数据的4次拟合曲线 3 截断误差 由简化问题 公式 所引起的解的 将函数展成的幂级数 再如 函数f x 用泰勒多项式近似代替 误差 也称方法误差 3 14159265358979323846 4 舍入误差 数字计算过程中产生的误差 则数值方法的截断误差是 避免 过失误差 数值计算中会出现各种误差 它们可分为两大类 1 过失误差 2 非过失误差 人为造成 数值计算中无法避免 注意 绝对误差 第2节 相对误差 有效数字 另外 经过四舍五入得到的数 其误差必定不超 如 用毫米刻度的米尺测量一长度x 读出的数为 123mm 它是x的近似值 它的误差限是0 5mm 即 过被保留的最后数位上的半个单位 即最后数位上的 半个单位为其误差限 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异 绝对误差限和相对误差限均无穷多 自然越小越好 误差估计的任务就是提供好的误差限 对于任何一个近似值 如果得到一个好的误差限 那么就可以肯定这些数据是准确可靠的 绝对误差限和相对误差限是否惟一 如果 e x x 0 5 10 k称近似数x准确到 用四舍五入得到的数都是有效数字 定义 小数点后第k位 从这小数点后第k位数字直到最 左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字 有效数字越多 误差越小 计算结果越精确 x3 1 7320是其近似值 问它们分别有几位有效数字 例1 1 x1 1 73 x2 1 7321 第一个数非零 误差限不超过该位的半个单位 解按定义 上述各数具有5位有效数字的近似数分别是 187 93 0 037856 8 0000 2 7183 注意 8 000033的5位有效数字近似数是8 0000而不是8 因为8只有1位有效数字 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数 187 9325 0 03785551 8 000033 2 7182818 例1 2 解 3 14159265358979323846 例1 3 注意 1 有效数字的位数与小数点的位置无关 2 有效数位越多 相对误差越小 例1 4 解 确定绝对误差限 则可知有效数字的位数 故精确到小数点以后两位 即取三位有效数字可达要求 第3节 数值计算中的误差传播 例1 5 多元函数有类似的结果 数值计算中应注意的问题 第4节 1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 2 避免两个相近的数相减 3 要防止大数 吃掉 小数 2 应选用数值稳定性的计算方法 2 简化计算步骤和公式 设法减少运算次数 解 可得算法 一 使用数值稳定的计算公式 这个算法不具有稳定性 因为 的舍入误差传播到时 该误差放大5倍 传到 时 该误差将是倍 当n较大时 误差将 淹没真值 这种递推公式不宜采用 所以有估计式 于是 粗略地取 可得另一算法 这个算法是稳定的 因为由引起的误差在以后的计算过程中将逐渐减小 解 查表得 例1 7 二 防止相近的两数相减 损失过多的有效数字 取右端的有限项近似代替左端 说明 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时 绝对值小的数有可能被绝对值大的数 吃掉 从而引起计算结果很不可靠 求一元二次方程x2 109 1 x 109 0的实数根 解 采用因式分解法 很容易得到两个根为x1 109 x2 1 若用求根公式 则 例1 9 三 防止大数吃小数 求得结果x1 109 x2 0是错误的 可改为 两者结果不同 因为计算机计算时做加减法要 对阶 对阶 的结果使大数吃掉了小数 产生了误差 为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真 可以根据一些具体情况 存在需要把某些算式改写成另一种等价的形式 两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数 在4位有效数字的限制下 计算 解 从左到右 逐项相加 如果先计算 再加 绝对值越小的数越先被相加很可能会优化求和的精确度 大数吃小数例 例1 10 分母接近零的数会产生溢出错误 因而产生大的误差 此时可以用数学公式化简后再做 四 防止接近零的数做除数 失真的原因 除数的绝对值远远小于被除数的绝对值 例1 11 若直接计算 再逐项相加共需要做4 3 2 1 10次 乘法和4次加法 分析 若用著名的秦九韶算法 只要做4次乘法和4次加法 五 注意简化计算步骤 减少运算次数 次乘法和n次加法 推而广之 秦九韶算法的一般形式 只要n次乘法和n次加法就可算出 解 将所给多项式的系数按降幂排列 缺项系数视为零 用Mathematica不难验证 误差的种类 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差 相对误差 误差的表示法 定义1 有效数字 如果 e x x 0 5 10 k称近似数x准确到小数点后第k位 从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字 定义2 设x的近似值x 为 误差在算术中的传播 加减运算 乘法运算 除法运算 乘方与开方 算法的数值稳定性 5 绝对值太小的数不宜作为除数 1 应选用数值稳定性的计算方法 2 简化计算步骤和公式 设法减少运算次数 3 合理安排运算顺序 防止大数淹没小数 4 避免两相近数相减