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在那桃花盛开的地方 桃 花 驿 中 学 主讲洪云华 探究性学习 初三数学 存在性问题 一 课题导入 如图 已知直线y 4 3x 4与x轴 y轴分别交于A B两点 D 0 2 是y轴上一点 问在直线AB上是否存在一点C 使得以A D C为顶点的三角形与以A B O为顶点的三角形相似 O x y B A D C1 C2 分析理解 根据题意可先求出A B两点的坐标 假设在直线AB上存在符合条件的C点 则有两种相似的可能 可根据题意分类讨论 1 当 BDC BOA时 可推出DC OA 原后可推出C点坐标 2 当 BDC BAO时 可根据题目条件求出C点坐标 注意 如果求出的C点坐标在题目允许的范围内 则说明假设成立 判断为存在 反之则判断为不存在 H 热点考向导引 存在性探究问题的一般思路是 先对结论作出肯定的假设 然后由肯定假设出发 结合已知条件或挖掘出隐含条件 辅以方程思想等 进行正确的计算 推理 再对得出的结果进行分析检验 判断是否与题设 公理 定理等吻合 若无矛盾 说明假设正确 由此得出符合条件的数学对象存在 否则 说明不存在 例题1 已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根x1 x2 1 求k的取值范围 2 是否存在实数k 使方程的两实数根互为相反数 如果存在 求出k值 如果不存在 请说明理由 解 1 根据题意得 2k 1 2 4k2 0解得k 1 4 k2 0 k 0 当k 1 4且k 0时 方程有两个不相等的实数根 2 不存在实数k值 使方程的两根互为相反数假设存在实数k值 使方程的两根互为相反数 则x1 x2 2k k2 0 解得k 1 2 由 1 知k 1 4且k 0 不存在实数k值 使方程的两根互为相反数 热点例题精讲 热点例题精讲 例题2 如图已知直线y 2x 12分别与y轴 x轴交与A B两点 点M在y轴上 以点M为圆心的 M与直线AB相切于点D 连结MD 1 求证 AMD AOB 2 如果 M的半径为 请求出点M的坐标 并写出以为顶点 且过点M的抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 试问在此抛物线上是否存在点P 使得以P A M三点为顶点的三角形与 AOB相似 如果存在 请求出所有符合条件的点P的坐标 如果不存在 请说明理由 M O x y D B A 分析与解答 1 略 2 直线y 2x 12与x轴交点为B 6 0 与y轴交点为 0 12 OA 12 OB 6 AB AMD AOB AM AB DM OB AM 10 M 0 2 根据题意可推导出所求的抛物线解析式为y 2x2 10 x 2 M O x y D B A 3 由抛物线形状可判断 点P若存在 只能在y轴左侧的抛物线上 且只有6种可能 如图2所示 OA OB 2 1 P1A P3M 2AM 20 P2A P4M 1 2AM 5 P1 20 12 P2 5 12 P3 20 2 P4 5 2 下面来求P6点的坐标显然MP6 MD 作P6HAM H为垂足由P6H2 MH MA 得MH 2 10 2由P6H2 MH AH 得P6H 4 P6 4 4 同理可得P5 4 10 经检验 只有P4 P5的坐标满足y 2x2 10 x 2 在抛物线y 2x2 10 x 2上存在点P 5 2 或P 4 10 使得以P AM三点为顶点的三角形与 AOB相似 x y A M P1 P2 P3 P4 P5 P6 H D 图1 图2 O 12 6 2 热点例题精讲例题3 设二次函数y ax2 bx c a 0 b 0 的图象经过 0 y1 1 y2 和 1 y3 三点 且满足y12 y22 y32 1 1 求这个二次函数的解析式 2 设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为A x1 0 B x2 0 x1 x2 C为顶点 连结AC BC 动点P从 点出发沿折线ACB运动 求 ABP的面积的最大值 3 当点P在折线ACB上运动时 是否存在点P使 APB的外接圆的圆心在x轴上 请说明理由 A O B C D x y 精典习题挑战 1 已知二次函数y x2 2 m 1 x 1 m的图象与x轴交于A x1 0 B x2 0 x1 0 x2与y轴交于点C 且满足1 AO OB 2 OC 1 求这个二次函数的解析式 2 是否存在着直线y kx b与抛物线交于点P Q 使y轴平分 CPQ的面积 若存在 求出k b应满足的条件 若不存在 请说明理由 2 已知关于x的方程x2 p q 1 x p 0 q 0 的两个实数为x1 x2且x1 x2 1 试用含x1 x2的代数式表示p q 2 求证 x1 1 x2 3 若以x1 x2为坐标的点M X1 X2 在 ABC的三条边上运动 且 ABC顶点的坐标分别为A 1 2 B 0 5 1 C 1 1 问是否存在点M 使p q 5 4 若存在 求出点M的坐标