体积最值问题.ppt

南洋模范中学曹土清 体积最值问题 无盖长方体铁皮盒问题用一张长80cm 宽50cm的长方形铁皮做一只无盖长方体铁皮盒 焊接处厚度及损耗不计 问这只铁皮盒的尽可能大的体积是多少 一 提出问题 将长方形的四个角都去掉一个小正方形后 围成无盖长方体 为什么要去掉的一定是正方形 长方形行不行 为保证围成长方体上口齐平 否则 将长方体的四个角都去掉一个小正方形后 围成无盖长方体 二 质疑 注意 出现了不满足 一正二定三相等 的问题 怎么办 问 上式中等号何时取得呢 怎样能取得等号 1 解得 故 当且仅当 即时 取等号 说明 乘在也可 或也可 当且仅当 如何修改题目就可直接取到 此结果是不是问题所要求的尽可能大的体积呢 实际上 上述 设计 中至少 浪费 了四个小正方形 浪费率达 还有其他方案吗 三 反思 用一张长80cm 宽50cm的长方形铁皮做一只无盖长方体铁皮盒 焊接处厚度及损耗不计 问这只铁皮盒的尽可能大的体积是多少 总体积V1 22000cm3 四个小正方形面积4 10 10 上口周长180 底面面积1800 为了不浪费铁皮 将剪下的四个小正方形剪成小长条焊接到长方体上口 可增加体积 设计一 80 50 60 30 可剪成宽为 从而增加体积cm3 从右侧剪下两个小正方形 将其焊接到左侧中间 此时 12 5 68 5 25 12 5 注 小正方形边长为宽50的 设计二 也可以将上面两个小正方形补在下面中间 体积可能更大 此时 的确更大 直觉 因为更方 20 20 30 40 设计三 20 不必考虑如何 设计 故 这是理想化模型 它的体积是最大的 此时长方体的底面的确为正方形 推知 设长方体三边为 则有 此时 得 设计四 此时 a b c 2 2 1 刚刚讲 设计四 较为困难 那现在换一角度 为使设计简便易行 且用料又省 选择铁皮长宽比例多少为好呢 比如 由上面的分析长方体尺寸设计为2 2 1时 用料最省 那如何选择材料并进行设计呢 探究一 1 3 3 4 1 1 1 2 四 升华 制作方案 法一 逆向思考 先将无盖长方体展开成平面图形 法二 法三 法四 法一 若把 无盖 去掉 结果会如何 做成正方体时 体积最大 得 此时 探究二 远在阿基米德时代 人们就承认了这一事实 但在数学上给予证明还是近代来的事 完全令人满意的证明要用到高等数学的知识 近世几何学家施塔纳给出了初等证法但较为繁琐 探究三 再把 长方体 改为 几何体 呢 做成球体时 体积最大 定性分析 在表面张力的作用下 液体有力求使其表面积达到最小的趋势 所以呈现出球形水珠 表面积给定的长方体中正方体体积最大 表面积给定的几何体中球体体积最大 给定体积的长方体中 正方体表面积最小 给定体积的几何体中 球体表面积最小 利用这个结论我们来思考这样一个问题 我们得到了等周问题的两个非常重要的结论 根据类比可得到两个重要的结论 周长给定的矩形中 正方形面积最大 周长给定的封闭平面图形中 圆面积最大 推广 周长一定的n边形中 正n边形面积最大 换句话说 六个长 宽 高分别为且的小长方体打包成大长方体 要求 每相邻两盒必须是以全等的面积对接 最后得到的包装形状为长方体 请你设计一个方案 使表面积最小 给予证明并画出示意图 大胆猜测 因总体积固定 要使长方体更方 因而可设计为 但两者哪个更方呢 五 拓展 两者哪个更方呢 可得 时 选方式 时 选方式 时 选两者都可以 故 可设计为 严格证明 规则打包 实质上只有两种类型 设小长方体过同一顶点的面积为A B C 若1 6方式 a b c 则S1 2ab 12ac 12bc b a c S 2A 12B 12C 要使S最小 严格证明 设小长方体过同一顶点的面积为A B C 若2 3方式 a b c 则S2 4ab 6ac 12bc b a c 比较 S1 S2 6ac 2ab 2a 3c b 3c b时 取 2 3 3c b时 取两者都可 3c b时 取 1 6 若1 6方式 则S1 2ab 12ac 12bc S 4A 6B 12C 要使S最小 六 小结 通过对生活中一个实际问题的探讨 大家初步了解了基本等周问题 大家使用数学的意识 创新意识及实践能力 在今后的学习中养成自我探索 自我分析 自我设计 自我决策 充分发挥自己的积极性与主动性 通过这节课希望大家今后学会质疑 反思 逆向 类比 推广 探究等科学的思维品质 知识点 不等式求最值 等周问题的两个结论 方法 使用数学的意识 创新意识 实践能力 自我探索 自我分析 自我设 计 自我决策 质疑 反思 逆向 类比 推广 探究 七 后续研究 周长给定的三角形中以等边三角形面积最大 周长给定的四边形中以正方形面积最大 给定边长a1 a2 a3 an的所有n边形中 能够内接于圆的n边形中面积最大 周长一定的n边形中 正n边形的面积最大 体积最值问题 教学反思本节课题是体积最值问题 教师借助无盖长方体铁皮盒提出问题 整体结构框架是 1 提出问题 出现了不满足 一正二定三相等 的问题 2 质疑3 反思 提出尽可能大的体积问题 教师对该问题进行了四个设计 前三个设计从形的角度逐步展开 而设计四是从数的角度上通过严密推导 得出理想化模型 即此时长方体的底面为正方形 4 升华 由上面的分析 教师采用了逆向思维的方式 首先探究一 何时用料最省 将理想化模型展开成平面图形 启发学生 得出4种方案并从中得出最佳方案 然后探究二 若把 无盖 去掉 结果会如何 探究三 再把 长方体 改为 几何体 呢 这里把数学知识与物理知识结合起来 把理论与现实结合起来 通过课程重组 进一步提高了学生的学习兴趣 经过共同深入研究 得到了等周问题的两个重要结论 5 拓展 进一步提出了打包问题 首先让学生大胆猜测 然后老师给出严格证明 本堂课的设计层层深入 步步紧逼