2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科).doc

2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2（5分）若集合Mx|2x3，NxZ|log5（x+1）1，则MN（）A1，2B1，2，3C1，2，3，4D0，1，23（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在35g/m375g/m3空气质量为二级，超过75g/m3为超标如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法不正确的是（）A这10天中有3天空气质量为一级B从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低C这10天中PM2.5日均值的中位数是55D这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日4（5分）周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A15.5尺B12.5尺C10.5尺D9.5尺5（5分）设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，则abB若a，b，则abC若a，a，则D若a，b，ab，则6（5分）函数yxsinx的大致图象是（）ABCD7（5分）已知G是ABC的重心，若，则x+y（）A1B1CD8（5分）双曲线的渐近线与抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（）ABCD29（5分）已知二项式展开式中含x6项的系数为60，则实数a的值为（）A2B3C4D610（5分）已知a，b，c分别是方程的实数解，则（）AbcaBabcCacbDcba11（5分）ABC中，将ABC沿BC上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD的外接球的表面积为（）ABC3D212（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），任意x（0，），有f（x）sinxf（x）cosx，且f（x）+f（x）0，设，则（）AabcBbcaCacbDcba二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）椭圆的焦距为2，则a 14（5分）已知a，bR+，且a+b1，则的最小值为 15（5分）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当ab且bc时称为“凸函数”现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率为 16（5分）已知等比数列an的各项都为正数，满足a12，a74a5，设bnlog2a1+log2a2+log2an，则数列的前2019项和S2019 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，共线（1）求A的大小；（2）若ABC的面积为，求b+c的最小值18（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：类型浮动因素浮动比率A1上一年度未发生有责任的道路交通事故下浮10%A2上两年度未发生有责任的道路交通事故下浮20%A3上三年度未发生有责任的道路交通事故下浮30%A4上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%A6上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故上浮30%据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：类型A1A2A3A4A5A6数量40101020155以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；（2）记为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列和数学期望19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACB90，D是CC1的中点（1）求证：平面A1DB平面ABB1A1；（2）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60，求平面A1DB与平面ABC夹角的余弦值20（12分）设定点F（0，1），动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线21（12分）已知函数f（x）ax212lnx（aR）（1）当a1时，求证：f（x）0；（2）讨论函数f（x）零点的个数（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-：4：坐标系与参数方程（本小题10分）22（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设过点P（1，0）且倾斜角为45的直线l和曲线C交于两点A，B，求的值选修4-：5：不等式选讲（本小题10分）23已知函数f（x）|x2|m（xR），且f（x+2）0的解集为1，1（1）求实数m的值；（2）设a，b，cR+，且a2+b2+c2m，求a+2b+3c的最大值2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【解答】解：z1i，故复数z（i是虚数单位）在复平面内对应的点是（1，1），故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题2（5分）若集合Mx|2x3，NxZ|log5（x+1）1，则MN（）A1，2B1，2，3C1，2，3，4D0，1，2【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合【分析】求出集合N的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可【解答】解：由log5（x+1）1得0x+15，得1x4，即N0，1，2，3，4，则MN0，1，2，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键3（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在35g/m375g/m3空气质量为二级，超过75g/m3为超标如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法不正确的是（）A这10天中有3天空气质量为一级B从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低C这10天中PM2.5日均值的中位数是55D这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】由图可知，第1，3，4这三天的空气质量为一级，【解答】解：在35g/m3以下的有3天（第一天，第三天，第四天）故A正确这10天中PM2.5日均值从小到大排序为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80中位数为43所以C不正确故选：C【点评】本题考查了频率分布折线图，密度曲线，属基础题4（5分）周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A15.5尺B12.5尺C10.5尺D9.5尺【考点】84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】设此等差数列an的公差为d，由已知可得a1+a4+a73a1+9d37.5，a1+11d4.5，联立解得：d，a1【解答】解：设此等差数列an的公差为d，则a1+a4+a73a1+9d37.5，a1+11d4.5，解得：d1，a115.5故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，则abB若a，b，则abC若a，a，则D若a，b，ab，则【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交或平行；在C中，若a，a，则与相交或平行，故C错误；在D中，由面面垂直的判定定理得【解答】解：由a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，得：在A中，若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a，b，则a与b相交或平行，故B错误；在C中，若a，a，则与相交或平行，故C错误；在D中，若a，b，ab，则由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题6（5分）函数yxsinx的大致图象是（）ABCD【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的对称性以及利用极限思想进行排除即可【解答】解：f（x）x+sinx（xsinx）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，当x+，f（x）+，排除A，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，利用排除法是解决本题的关键7（5分）已知G是ABC的重心，若，则x+y（）A1B1CD【考点】9H：平面向量的基本定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；41：向量法；5A：平面向量及应用【分析】本题可根据三角形的重心的定义和向量的线性运算进行解决【解答】解：由题意，画图如下：由重心的定义，可知：，x+y故选：C【点评】本题主要考查三角形重心的定义以及向量的线性运算，本题属基础题8（5分）双曲线的渐近线与抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（）ABCD2【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意可得点A（，p）在yx上，即可求出b2a，再根据ca，即可求出离心率【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，由抛物线C2的焦点为（，0），当x时，yp，点A（，p）在yx上，p，即b2a，ca，e，故选：B【点评】本题考抛物线和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，离心率的求法，属于基础题和易错题9（5分）已知二项式展开式中含x6项的系数为60，则实数a的值为（）A2B3C4D6【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得含x6项的系数，再根据含x6项的系数等于60，求得实数a的值【解答】解：二项式展开式中的通项公式为 Tr+1（a）rx123r，令123r6，求得r2，可得含x6项的系数为a260，则实数a2，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10（5分）已知a，b，c分别是方程的实数解，则（）AbcaBabcCacbDcba【考点】53：函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】由指数函数，对数函数的定义域，值域可列出不等式，再逐一解不等式即可得解【解答】解：由2aa0，得a0，由log2bb0，得0b1，由log2c0，得c1，综上可知：abc，故选：B【点评】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法，属中档题11（5分）ABC中，将ABC沿BC上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD的外接球的表面积为（）ABC3D2【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5F：空间位置关系与距离【分析】由题意画出图形，可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥BACD补形为正方体求解【解答】解：如图，ABAC，BAC90，BC2，则BDDCAD1，由题意，AD底面BDC，又二面角BADC为直二面角，BDDC，把三棱锥BACD补形为正方体，则正方体的对角线长为，则三棱锥BACD外接球的半径为，则表面积为S故选：C【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，是中档题12（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），任意x（0，），有f（x）sinxf（x）cosx，且f（x）+f（x）0，设，则（）AabcBbcaCacbDcba【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4M：构造法；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用【分析】根据题意，令g（x），x（0，），对其求导分析可得g（x）0，函数g（x）单调递增，再判断a、b、c的大小【解答】解：根据题意，令g（x），x（0，），则其导数g（x），又x（0，），且恒有f（x）sinxf（x）cosx，所以g（x）0，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，又f（x）+f（x）0，所以f（x）为奇函数；且，所以g（）g（）g（），即，2f（）f（）f（），所以2f（）f（）f（），即abc故选：A【点评】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数g（x），并借助导数分析其单调性二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）椭圆的焦距为2，则a2【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆方程求得长半轴与短半轴长，结合焦距及隐含条件即可求得a值【解答】解：椭圆的长半轴长为，短半轴长为1，又焦距为2，即c1，则有a12+122故答案为：2【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，是基础题14（5分）已知a，bR+，且a+b1，则的最小值为9【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用【分析】+（+）（a+b），展开后使用基本不等式可求最小值【解答】解：a+b1，+（+）（a+b）5+59，当且仅当时取等号，由解得a，b，+的最小值为9，故答案为：9【点评】该题考查利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等15（5分）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当ab且bc时称为“凸函数”现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】先求出基本事件总数n24，它为“凸数”包含的基本事件有8个，由此能求出它为“凸数”的概率【解答】解：现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，基本事件总数n24，它为“凸数”包含的基本事件有8个，分别为：（1，3，2），（2，3，1），（1，4，2），（2，4，1），（1，4，3），（3，4，1），（2，4，3），（3，4，2），则它为“凸数”的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）已知等比数列an的各项都为正数，满足a12，a74a5，设bnlog2a1+log2a2+log2an，则数列的前2019项和S2019【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q0，根据a12，a74a5，可得q24，解得q利用通项公式、对数运算性质可得bn，再利用求和公式、裂项求和方法即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a12，a74a5，q24，解得q2an2n，log2annbnlog2a1+log2a2+log2an1+2+（n1）+n2则数列的前2019项和S20192（1+）2故答案为：【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，共线（1）求A的大小；（2）若ABC的面积为，求b+c的最小值【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；HT：三角形中的几何计算菁优网版权所有【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；58：解三角形【分析】（1）根据向量的共线可得2cosBcosC+12sinBsinC0，根据两角和余弦公式和诱导公式即可求出A的大小，（2）根据三角形的面积求出bc4，再根据基本不等式即可求出【解答】解：（1）向量，共线，2cosBcosC+12sinBsinC0，cos（B+C），cosA，0A，A（2）ABC的面积为，bcsinA，bc4，b+c24，当且仅当bc2时取等号，故b+c的最小值为4【点评】本题考查了向量的共线，三角形函数的化简，三角形的面积，基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题18（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：类型浮动因素浮动比率A1上一年度未发生有责任的道路交通事故下浮10%A2上两年度未发生有责任的道路交通事故下浮20%A3上三年度未发生有责任的道路交通事故下浮30%A4上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%A6上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故上浮30%据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：类型A1A2A3A4A5A6数量40101020155以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；（2）记为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列和数学期望【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】（1）由题意能估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率（2）为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则的可能取值为950（130%）665，950（120%）760，950（110%）855，950，950（1+10%）1045，950（1+30%）1235，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E（）【解答】解：（1）由题意估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率：p0.8（2）为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则的可能取值为950（130%）665，950（120%）760，950（110%）855，950，950（1+10%）1045，950（1+30%）1235，P（665）0.1，P（760）0.1，P（855）0.4，P（950）0.2，P（1045）0.15，P（1235）0.05，的分布列为： 665760855 950 1045 1235 P 0.1 0.1 0.4 0.2 0.15 0.05E（）6650.1+7600.1+8550.4+9500.2+10450.15+12350.05893【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACB90，D是CC1的中点（1）求证：平面A1DB平面ABB1A1；（2）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60，求平面A1DB与平面ABC夹角的余弦值【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（1）推导出C1DA1B1，C1DAA1，从而C1D平面ABB1A1，由此能证明平面C1DB平面ABB1A1（2）由异面直线A1B1和BC1所成的角为60，推导出ACBCCC1，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面C1DB与平面ABC夹角的余弦值【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACB90，D是CC1的中点，C1DA1B1，C1DAA1，A1B1AA1A1，C1D平面ABB1A1，C1D平面C1DB，平面C1DB平面ABB1A1解：（2）异面直线A1B1和BC1所成的角为60，BC1AC1，ACBCCC1，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设ACBCCC11，则A1（1，0，1），B1（0，1，1），D（，1），B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），（0，1，1），（，1），（1，1，0），（0，0，1），设平面C1DB的法向量（x，y，z），则，取y1，得（1，1，1），平面ABC的法向量（0，0，1），设平面C1DB与平面ABC夹角为，则cos，平面C1DB与平面ABC夹角的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）设定点F（0，1），动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线【考点】J3：轨迹方程菁优网版权所有【专题】14：证明题；35：转化思想；5B：直线与圆【分析】（1）设出E点坐标，根据圆心到x轴的距离等于圆的半径，列式，化简可得（2）设出A，B两点坐标，证明kABkAF即可说明A，B，F三点共线【解答】解：（1）设E点坐标为（x，y），则EF中点为圆心，设为P则P点坐标为：（，）P到x轴的距离等于，即|，化简得：x24yE点轨迹C的方程为：x24y（2）由（1）知，曲线C为以F为焦点的抛物线，其方程可化为y，设A，B两点的坐标分别为（），（），曲线方程为y，y，曲线在A，B处切线斜率分别为k1，k1k21，1，AB两点连线的斜率为：kAB，AF两点连线的斜率为：kAFkAB，A，B，F三点共线【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、曲线方程的求法、三点共线的证明等知识，属于中档题21（12分）已知函数f（x）ax212lnx（aR）（1）当a1时，求证：f（x）0；（2）讨论函数f（x）零点的个数【考点】52：函数零点的判定定理；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）a1时，f（x）ax212lnx（x0），f（1）a1f（x）2ax，利用导数研究其单调性即可得出（2）f（x）2ax，（x0）对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】（1）证明：a1时，f（x）ax212lnx（x0），f（1）a1f（x）2ax，得：x时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）f（）2lnlna0，f（x）0（2）解：f（x）2ax，（x0）a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，至多有一个零点，不符合题意a0时，f（x）2ax，可得x时，函数f（x）取得极小值即最小值x0+时，f（