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文档简介

一 连续函数的概念 二 初等函数的连续性 三 闭区间上连续函数的性质 第三节函数的连续性 连续变化的曲线对应的函数为连续函数 如同体温的升降 血液的流动 机体的成长等 在生命科学范畴里 很多变量的变化都是连续不断的 函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映 1 函数的增量 一 连续函数的概念 设函数在点附近有定义 把附近的点记为 则称为自变量由变到的增量 为函数在点的增量 2 函数连续性的定义 定义1 9设函数在点及其附近有定义 如果时 也有 即 注意 则称函数在点处连续 称为的连续点 因此 函数在一点连续的充分必要条件是 例1 29讨论函数在的连续性 解 所以在连续 单侧连续 显然 即 解 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 3 函数的间断点 函数的不连续点称为函数的间断点 即满足下列三个条件之一的点为函数的间断点 跳跃间断点 例1 32 解 可去间断点 例1 33 在的连续性 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例1 33中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 第二类间断点 例1 34 解 这种情况称为无穷间断点 解 例1 35 这种情况称为振荡间断点 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 二 初等函数的连续性 1 一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的 2 若函数与在点连续 则函数 在连续 3 若函数在点处连续 设 而函数在点处连续 则复合函数在点处连续 由以上可知 初等函数在其定义域内都是连续的 故对初等函数 求极限就是求这一点的函数值 例1 36 由于函数在其连续点满足 解 解 例1 38 例1 37 三 闭区间上连续函数性质 a b 定理1 3 最值定理 若函数闭区间上连续 则在闭区间上必有最大值和最小值 推论 有界性定理 若函数闭区间上连续 则在闭区间上必有界 定理1 4 介值定理 若函数闭区间上连续 则对介于和之间的任何数 至少存在一个 使得 其几何意义为连续曲线弧与水平直线至少相交于一点 推论 根的存在定理 若函数闭区间上连续 且与异号 即 则至少存在一个 使得 即为方程的根 注 根不一定唯一 而 由根的存在定理知
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