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三角形内角与外角平分线性质定理 玉林高中数学科 本节内容是关于几何中的一些比例关系 这几节内容现在在初中课本中已 淡化 但是这几个结论在高中的 立体几何 和 平面解析几何 中有时会用到 因此 在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们 然后利用这三个定理来解决一些题目 其中对于 平行线分线段成比例 介绍几条稍有难度的题目 而 三角形内外角平分线性质定理 的题目直接围绕定理展开 难度不大 教材分析 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 截得的对应线段成比例 定理的基本图形 如图 因为AD BE CF 所以AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF也可以说AB DE BC EF AB DE AC DF BC EF AC DF 推论的基本图形 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 例3 用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 文字语言 已知 如图 DE BC分别交AB AC于点D E 求证 符号语言 图形语言 分析 由平行线分线段成比例定理的推论可直接得到AD AB AE AC 为了证明AE AC DE BC 需要构造一组平行线 使AE AC DE BC成为由这组平行线截得的线段 故作EF AB 证明 过点E作EF AB 交BC于点F DE BC AD AB AE AC EF AB BF BC AE AC 且四边形DEFB为平行四边形 DE BF DE BC AE AC 已知 如图 DE BC分别交AB AC于点D E 求证 图形语言 法2 为了证明 需用平行线分线段成比例定理 故作CG AB 且与DE的延长线交于点G 证明 过点C作CG AB 且与DE的延长线交于点G DE BC AD AB AE AC CG AB DE DG AE AC 四边形DEFB为平行四边形 DG BC 例1 证明 平行于三角形一边的直线截其他两边 所得的对应线段成比例 同理可得 例2 证明 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 例3 证明 三角形内角与外角平分线性质定理 玉林高中数学科 三角形内角平分线定理 A B C D 三角形外角平分线定理 A B C D E 三角形外角平分线定理 三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比 三角形内角平分线定理 三角形两边之比等于其夹角的平分线内分对边之比 三角形内心性质 三角形内心 角平分线的交点 内切圆的圆心 1 角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一 三角形重心 三角形的三条边的中线交于一点 该点叫做三角形的重心 1 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 1 2 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小 三角形重心性质 3 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 4 重心的坐标是顶点坐标的算术平均 即 三角形旁心 三角形的旁切圆 与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆 的圆心 叫做三角形的旁心 1 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 该点即为三角形的旁心 2 每个三角形都有三个旁心 三角形旁心性质 3 旁心到三边的距离相等 A B C D E 三角形内角平分线定理 三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比 已知 如图8 4甲所示 AD是 ABC的内角 BAC的平分线 求证 BA AC BD DC 思路1 过C作角平分线AD的平行线 用平行线分线段成比例定理证明 证明1 过C作CE DA与BA的延长线交于E 则 BA AE BD DC BAD AEC 两线平行 同位角相等 CAD ACE 两线平行 内错角相等 BAD CAD 已知 AEC ACE 等量代换 AE AC BA AC BD DC 结论1 该证法具有普遍的意义 思路2 利用面积法来证明 已知 如图8 4乙所示 AD是 ABC的内角 BAC的平分线 求证 BA AC BD DC证明2 过D作DE AB于E DF AC于F BAD CAD 已知 DE DF BA AC S BAD S DAC 等高时 三角形面积之比等于底之比 BD DC S BAD S ABCDAC 同高时 三角形面积之比等于底之比 BA AC BD DC 结论2 遇到角平分线 首先要想到往角的两边作平行线 构造等腰三角形或菱形 其次要想到往角的两边作垂线 构造翻转的直角三角形全等 第三 要想到长截短补法 第四 你能想到用该定理解决问题吗 三角形外角平分线定理 三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比 三角形外角平分线定理 如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段 那么这两条线段和相邻的两边应成比例 已知 如图8 5甲所示 AD是 ABC中 BAC的外角 CAF的平分线 求证 BA AC BD DC思路1 作角平分线AD的平行线 用平行线分线段成比例定理证明 证明1 过C作CE DA与BA交于E 则 BA AE BD DC DAF CEA 两线平行 同位角相等 DAC ECA 两线平行 内错角相等 DAF DAC 已知 CEA ECA 等量代换 AE AC BA AC BD DC 结论1 该证法具有普遍的意义 角度看问题的方法了吗 思路2 利用面积法来证明 已知 如图8 5乙所示 AD是 ABC内角 BAC的外角 CAF的平分线 求证 BA AC BD DC 证明2 过D作DE AC于E DF BA的延长线于F DAC DAF 已知 DE DF BA AC S BAD DAC 等高时 三角形面积之比等于底之比 BD DC S BAD DAC 同高时 三角形面积之比等于底之比 BA AC BD DC 结论 使用面积法时 要善于从不同的角度去看三角形的底和高 在该证法中 我们看 BAD和 DAC的面积时 先以BA和AC作底 而以DF DE为等高 然后以BD和DC为底 而高是同高 图中并没有画出来 你学会这种变换