计算机在材料科学与工程中的应用ch03 数值计算初步.ppt

第三章数值计算初步 主要内容 1 泰勒级数展开近似 2 差分和差商 3 拉格朗日插值 解决计算机处理函数的问题 两个有用的概念 把复杂函数或离散数据表示为多项式 泰勒级数展开近似 数学基础 求解f x 如果已知f x 在x0的值和导数值 则 称为泰勒级数 用来处理函数问题 一般计算精度 取前几项就够了 例 计算e0 5使得误差 10 4 考虑 程序exp1 cpp include stdio h include math h voidmain void doublex eps term y intn x 0 5 eps 1 0e 4 term 1 0 y 1 0 n 0 do n term term x n y y term while fabs term eps 0 0 printf y f texp f f n y x exp x 说明 1 对于C语言来说 该程序已经包括在 math h 中 2 使用方法 在程序中加 include math h 格式为doubleexp doublex 差分和差商 设函数f x 在各等距节点xk x0 k h k 0 1 2 n 上的值已知 h称为步长 定义 把函数f x 在每个小区间 xk xk 1 上的变化量fk 1 fk称为f x 在xk的一阶向前差分 记为 思考 f x 在xk点的导数可以近似用差分表示吗 定义 对一阶向前差分再取一次差分称为二阶向前差分 记为 向后差分 记为 一阶 二阶 向前差分与向后差分的关系 中心差分 记为 一阶 二阶 其中 差商 又称均差 函数f x 对于自变量x的一系列不等的值x0 x1 xn 当i j时有xi xj 定义 一阶差商 定义 二阶差商 有关说明 1 对称性 交换自变量 差商不变 2 与导数的关系 或 3 与差分的关系 如果是x0 x1 xn等距的 步长为h 即xk x0 k h 则 拉格朗日插值 问题的提出1 观测实验结果 一系列的点或者数据表格不易分析 2 函数形式给定 有时不易进行处理 考虑把离散的数据或者复杂的函数用简单形式表示出来 什么是插值法 设f x 是 a b 上有一定光滑性的函数 x0 x1 xn是 a b 上的n 1个互异的点 在上面取值y0 y1 yn 有关概念 插值点 也叫插值基点 插值原则 y f x 的插值函数 插值区间 习惯上x0 x1 xn上的取值范围也称为插值区间 插值样点 插值函数的形式a 代数多项式 三角多项式 有理分式 等等b 任意光滑函数 分段光滑函数 利用代数多项式表示插值函数的一种方法 即为拉格朗日插值 一 插值基函数 二 Lagrange插值多项式 三截断误差 四 一些说明 1 唯一性定理 满足插值条件而次数不超过n次的插值多项式是唯一的 证略 2 Ln x 不超过n次 但可以小于n次 例 三个样点A 0 1 B 1 2 C 2 3 3 除拉格朗日插值外 还有分段插值 埃尔米特插值 三次样条插值等方法 4 常用的数据拟合为函数的方法还有 最小二乘法 通常在较多样点 且样点存在误差的情况下使用 本章小