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机械产品生产计划 机械产品生产计划问题摘要该问题属于线性单目标整数规划问题，本文从问题的提出到问题假设与分析，然后得到模型，最后用lingo求解，得出最优的生产、库存、销售方案，然后又进行了灵敏度分析，找到在不改变原计划的情况下，如何提高利润的办法。 本文还从设备的角度分析了提高了利润的办法，并对设备检修计划建立了模型，并用lingo求解，解出了最优的设备检修计划，在该方案下得到的最大利润。 关键字单目标整数规划最优生产方案设备检修计划 一、问题的提出机械加工厂生产7种产品。 该厂有以下设备:四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。 每种产品的利润(单位:元/件,在这里,利润定义为销售价格与原料成本之差)以及生产单位产品需要的各种设备的工时(小时/件)如表1所示，其中短划线表示这种产品不需要相应的设备加工。 表1产品的利润和需要的设备工时产品单位产品利润10.006.00磨床立钻水平钻镗床刨床12345673.004.001.009.000.200.6-3.000.500.500.70-0.300.102.00-0.30-0.206.000.80-0.050.03-0.070.10-0.01-0.600.080.050.05-从一月份至月份,每个月中需要检修设备见表2所示(在检修月份,被检修设备全月不能用于生产)。 每个月各种产品的市场销售量上限如表3所示。 每种产品的最大库存量为100件,库存费用为每件每月0.5元,在一月初,所有产品都没有库存；而要求在六月底,每种产品都至少要有50件库存。 工厂每天开两班,每班8小时,为简单计,假定每月都工作24天。 表2设备检修计划月份计划检修设备及台数月份一月一台磨床二月二台立式钻床三月一台镗床计划检修设备及台数一台立式钻床一台磨床和一台立式钻床一台刨床和一台水平钻床四月五月六月表3产品的市场销售量上限(件/月)产品一月二月三月四月五月六月15001000300600500300600xx00010050050023430000500100100030011005800400500xxxx00400030050071001501001000602000400500100生产过程中,各种工序没有先后次序的要求。 (1)制定六个月的生产、库存、销售计划,使六个月的总利润最大。 (2)在不改变以上计划的前提下,哪几个月中哪些产品的售价可以提高以达到增加利润的目的。 价格提高的幅度是多大? (3)哪些设备的能力应该增加?请列出购置新设备的优先顺序。 (4)是否可以通过调整现有的设备检修计划来提高利润?提出一个新的设备检修计划,使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能的增加。 (5)构造一个最优设备检修计划模型,使在这半年中各设备的检修台数满足案例中的要求且使利润为最大。 二、问题的假设和符号的说明 1、问题的假设 （1）成本不会随着检修方案的改变而改变。 （2）产品的生产不会随检修方案的改变而受影响。 (3)产品的生产和库存还有销售必须是整数 2、符号的说明 （1）假设Xij为第i种产品在第j个月的产量,i=1,27，j=1,26。 （2）假设Yij为第i种产品在第j个月的库存量，i=1,27，j=1,26。 （3）假设Sij为第i种产品在第j个月的库销售量，i=1,27，j=1,26。 三、问题的分析工厂每天开两班,每班8小时,为简单计,假定每月都工作24天。 则一个月的总工作时间为2482=384小时。 由设备检修计划表，我们可得设备每个月可以供工作的时间（单位小时）为表4月份磨床立钻水平钻镗床刨床123456384338423843384138413844384038433841384138443842384338403841384438413843384138413843384138433841384138443842384238413840我们先把上述表4和表1等数据化为数学符号X11X12X13X14X15X160.500.700.000.000.300.200.50X21X22X23X24X25X260.102.000.000.300.000.600.00X31X32X33X34X35X360.206.000.800.000.000.000.60X41X42X43X44X45X460.050.030.000.070.100.000.08X51X52X53X54X55X560.000.000.010.000.050.000.05X61X62X63X64X65X66X71X72X73X74X75X76=(aij)56假设该矩阵为A，aij为第i种设备在第i个月被使用的时间。 384338443844384438433844384238403842384138413842384338433843384338433842384138413840384138413841384138413841384138413840=(bij)56假设该矩阵为B，bij为第i种设备在第i个月可以供使用的时间。 则得到30个约束条件为aij=bij(i=1,25,j=1,26)。 每种产品的最大库存量为100件，则得42个约束条件为Yij=100（i=1,27，j=1,26）。 由生产量和库存量，可以得到每种产品每个月的销售量（单位件）为Si1=Xi1-Yi1;Sij=Xij+Yi,j-1-Yij;i=1,27，j=2,36将上述表3的相关销售量上限数据化为数学符号得500600300200050010005006003001005003002000400500100=(Cij)76，假设设该矩阵为C，Cij为30000500100300800400500xx0001100xx004000300500100150100100060第i种产品在第j个月的销售上限,其中i=1,27，j=1,26。 则得到42个约束条件Sij=50(i=1，27)。 我们把单位产品的利润化为数学符号得I=（10，6，3，4，1，9，3）。 X=（x1j,x2j,x3j,x4j,x5j,x6j,x7j）（i=1,26）；则Xij=xij是指第i种产品六个月的总生产量。 S=（s1j,s2j,s3j,s4j,s5j,s6j,s7j）=(X1j-Y16,X2j-Y26,X3j-Y36,X4j-Y46,X5j-Y56,X6j-Y66,X7j-Y76)（j=1,26）；则Si=sij是指第i种产品六个月的总销售量。 其中Si=Xij-Yi6是因为产品的总销售量等于总的生产量减去最后的库存量。 T=（Yi1,Yi2,Yi3,Yi4,Yi5,Yi6）(i=1,27)；则Tj=Yij是指第j个月这七种产品的总库存量。 通过以上的分析，我们最终可得出利润为Z=SI-0.5Yij。 四、模型的建立和问题的求解 1、制定六个月的生产、库存、销售计划,使六个月的总利润最大通过问题的分析，我们可能得到模型如下Max z=(X1j-Y16)10+（X2j-Y26）6+（X3j-Y36）3+（X4j-Y46）4+（X5j-Y56）1+（X6j-Y66）9+（X7j-Y76)3-0.5Yij；（i=1,27，j=1,26）S.t.0.50X11+0.70X21+0.00X31+0.00X41+0.30X51+0.20X61+0.50X71=38430.10X11+2.00X21+0.00X31+0.30X41+0.00X51+0.60X61+0.00X71=38420.20X11+6.00X21+0.80X31+0.00X41+0.00X51+0.00X61+0.60X71=38430.05X11+0.03X21+0.00X31+0.07X41+0.10X51+0.00X61+0.08X71=38410.00X11+0.00X21+0.01X31+0.00X41+0.05X51+0.00X61+0.05X71=38410.50X12+0.70X22+0.00X32+0.00X42+0.30X52+0.20X62+0.50X72=38440.10X12+2.00X22+0.00X32+0.30X42+0.00X52+0.60X62+0.00X72=38400.20X12+6.00X22+0.80X32+0.00X42+0.00X52+0.00X62+0.60X72=38430.05X12+0.03X22+0.00X32+0.07X42+0.10X52+0.00X62+0.08X72=38410.00X12+0.00X22+0.01X32+0.00X42+0.05X52+0.00X62+0.05X72=38410.50X13+0.70X23+0.00X33+0.00X43+0.30X53+0.30X63+0.50X73=38440.10X13+3.00X23+0.00X33+0.30X43+0.00X53+0.60X63+0.00X73=38420.30X13+6.00X23+0.80X33+0.00X43+0.00X53+0.00X63+0.60X73=38430.05X13+0.03X23+0.00X33+0.07X43+0.10X53+0.00X63+0.08X73=38400.00X13+0.00X23+0.01X33+0.00X43+0.05X53+0.00X63+0.05X73=38410.50X14+0.70X24+0.00X34+0.00X44+0.40X54+0.40X64+0.50X74=38440.10X14+4.00X24+0.00X34+0.40X44+0.00X54+0.60X64+0.00X74=38410.40X14+6.00X24+0.80X34+0.00X44+0.00X54+0.00X64+0.60X74=38430.05X14+0.04X24+0.00X34+0.07X44+0.10X54+0.00X64+0.08X74=38410.00X14+0.00X24+0.01X34+0.00X44+0.05X54+0.00X64+0.05X74=38410.50X15+0.70X25+0.00X35+0.00X45+0.50X55+0.50X65+0.50X75=38430.10X15+5.00X25+0.00X35+0.50X45+0.00X55+0.60X65+0.00X75=38410.50X15+6.00X25+0.80X35+0.00X45+0.00X55+0.00X65+0.60X75=38430.05X15+0.05X25+0.00X35+0.07X45+0.10X55+0.00X65+0.08X75=38410.00X15+0.00X25+0.01X35+0.00X45+0.05X55+0.00X65+0.05X75=38410.60X16+0.70X26+0.00X36+0.00X46+0.60X56+0.60X66+0.60X76=38440.10X16+6.00X26+0.00X36+0.60X46+0.00X56+0.60X66+0.00X76=38420.60X16+6.00X26+0.80X36+0.00X46+0.00X56+0.00X66+0.60X76=38420.06X16+0.06X26+0.00X36+0.07X46+0.10X56+0.00X66+0.08X76=38410.00X16+0.00X26+0.01X36+0.00X46+0.06X56+0.00X66+0.06X76=3840Yij=100,i=1,27，j=1,26X11-Y11=500X21-Y21=1000X31-Y31=300X41-Y41=300X51-Y51=800X51-Y61=200X71-Y71=100X12+Y11-Y12=600X22+Y21-Y22=500X32+Y31-Y32=200X42+Y41-Y42=0X52+Y51-Y52=400X62+Y61-Y62=300X72+Y71-Y72=150X13+Y12-Y13=300X23+Y22-Y23=600X33+Y32-Y33=0X43+Y42-Y43=0X53+Y52-Y53=500X63+Y62-Y63=400X73+Y72-Y73=100X14+Y13-Y14=200X24+Y23-Y24=300X34+Y33-Y34=400X44+Y43-Y44=500X54+Y53-Y54=200X64+Y63-Y64=0X74+Y73-Y74=100X15+Y14-Y15=0X25+Y24-Y25=100X35+Y34-Y35=500X45+Y44-Y45=100X55+Y54-Y55=1000X65+Y64-Y65=300X75+Y74-Y75=0X16+Y15-Y16=0X26+Y25-Y26=100X36+Y35-Y36=500X46+Y45-Y46=100X56+Y55-Y56=1000X66+Y65-Y66=300X76+Y75-Y76=50,i=1，27Xij,Yij=0且都为整数,i=1,27，j=1,26根据模型，下面用lingo求解，程序如下model:!机械产品生产计划问题;sets:machine/ma1.ma5/:need;goods/g1.g7/:interest;month/1.6/;links1(machine,goods):A;links2(goods,month):X,C,Y;alltimes(machine,month):B;endsets!目标函数;max=sum(goods(I):(sum(month(J):X(I,J)-Y(I,6)*interest(I)-0.5*sum(links2(I,J):Y(I,J);!整数约束;for(links2(I,J):gin(X(I,J);for(links2(I,J):gin(Y(I,J);!设备使用时间约束;for(alltimes(I,K):sum(goods(J):A(I,J)*X(J,K)=B(I,K);!库存量约束;for(links2(I,J):Y(I,J)=50);!销售量约束;for(goods(I):X(I,1)-Y(I,1)=C(I,1);for(links2(I,J)|J#NE#1:X(I,J)+Y(I,J-1)-Y(I,J)镗床立钻水平钻,而磨床则无须购买了。 4、是否可以通过调整现有的设备检修计划来提高利润?提出一个新的设备检修计划,使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能的增加。 可以通过调整现有的检修计划来提高利润。 （1）把放在二月份检修的2台立钻1台放在一月份，1台放在三月份检修；把在六月份检修的水平钻在三月份检修；把在三月份检修的镗床放在六月份检修；把在六月份检修的刨床在三月份检修。 则时间限制表11521536153615361152153676807683843847681152115211521152115276838438403843843843843843843843840;转变为1152153615361536115215363847683843843847681152115276811521152115238438438438438403843840384384384;得到目标函数值46024.00。 对应检修表月份计划检修设备及台数月份计划检修设备及台数一月一台立钻和一台磨床四月一台立式钻床二月无检修五月一台磨床和一台立式钻床三月一台刨床和一台立钻和一台水平钻床六月一台镗床 （2）把放在二月份检修的2台立钻1台放在一月份，1台放在三月份检修；把在六月份检修的水平钻在三月份检修；其它的不变，则时间限制表转变为1152153615361536115215363847683843843847681152115276811521152115238438403843843843843843843843840;得到目标函数值为49890.50。 对应检修表月份计划检修设备及台数月份计划检修设备及台数一月一台磨床和一台立钻四月一台立式钻床二月无检修五月一台磨床和一台立式钻床三月一台镗床和一台立钻和一台水平钻床六月一台刨床和一台水平钻床上面的两个方案我都是根据影子价格和剩余量改进而得的。 （3）把需要检修的2台/次磨床都放在三月份检修；需要检修的四台/次立钻各放在一月、二月、四月、五月；把需要检修的1台/次水平钻放在五月份检修；把需要检修的1台/次镗床放在五月份检修；把需要检修的刨床放在三月份检修；则时间限制表转变为1536153611521536153615363843847683843847681152115211521152768115238438438438403843843840384384384;得到目标函数值为52500.50。 此时该方案为最优方案，因为这个方案我是根据在第五个问题建立的模型而得的。 5、构造一个最优设备检修计划模型,使在这半年中各设备的检修台数满足案例中的要求且使利润为最大。 增加变量Mij为第i种设备在第j个月可以使用的台数，其中设备以表1给的顺序来排序。 (i=1,25，j=1,26。 )下面我将构造最优设备检修计划模型为Max z=(X1j-Y16)10+（X2j-Y26）6+（X3j-Y36）3+（X4j-Y46）4+（X5j-Y56）1+（X6j-Y66）9+（X7j-Y76)3-0.5Yij；（i=1,27，j=1,26）S.t.M1j=4;j=1,26M2j=2;j=1,26M3j=3;j=1,26M4j=1;j=1,26M5j=1;j=1,26M1j=22;j=1,26M2j=8;j=1,26M3j=17;j=1,26M4j=5;j=1,26M5j=5;j=1,260.50X1j+0.70X2j+0.00X3j+0.00X4j+0.30X5j+0.20X6j+0.50X7j-M1j384=00.j0X1j+2.00X2j+0.00X3j+0.30X4j+0.00X5j+0.60X6j+0.00X7j-M2j384=00.20X1j+6.00X2j+0.80X3j+0.00X4j+0.00X5j+0.00X6j+0.60X7j-M3j384=00.05X1j+0.03X2j+0.00X3j+0.07X4j+0.j0X5j+0.00X6j+0.08X7j-M4j384=00.00X1j+0.00X2j+0.0j X3j+0.00X4j+0.05X5j+0.00X6j+0.05X7j-M5j384=0j=1,26.Yij=100,i=1,27，j=1,26X11-Y11=500X21-Y21=1000X31-Y31=300X41-Y41=300X51-Y51=800X51-Y61=200X71-Y71=100X12+Y11-Y12=600X22+Y21-Y22=500X32+Y31-Y32=200X42+Y41-Y42=0X52+Y51-Y52=400X62+Y61-Y62=300X72+Y71-Y72=150X13+Y12-Y13=300X23+Y22-Y23=600X33+Y32-Y33=0X43+Y42-Y43=0X53+Y52-Y53=500X63+Y62-Y63=400X73+Y72-Y73=100X14+Y13-Y14=200X24+Y23-Y24=300X34+Y33-Y34=400X44+Y43-Y44=500X54+Y53-Y54=200X64+Y63-Y64=0X74+Y73-Y74=100X15+Y14-Y15=0X25+Y24-Y25=100X35+Y34-Y35=500X45+Y44-Y45=100X55+Y54-Y55=1000X65+Y64-Y65=300X75+Y74-Y75=0X16+Y15-Y16=0X26+Y25-Y26=100X36+Y35-Y36=500X46+Y45-Y46=100X56+Y55-Y56=1000X66+Y65-Y66=300X76+Y75-Y76=50,i=1，27Xij,Yij,Mkj=0且都为整数,i=1,27，j=1,26,k=1,25.根据模型，下面用lingo求解，程序如下model:!机械产品生产计划问题;model:!机械产品生产计划问题;sets:machine/ma1.ma5/:need;goods/g1.g7/:interest;month/1.6/;links1(machine,goods):A;links2(goods,month):X,C,Y;alltimes(machine,month):B;endsets!目标函数;max=sum(goods(I):(sum(month(J):X(I,J)-Y(I,6)*interest(I)-0.5*sum(links2(I,J):Y(I,J);!整数约束;for(links2(I,J):gin(X(I,J);for(links2(I,J):gin(Y(I,J);for(alltimes(I,J):gin(B(I,J);for(alltimes(I,J):(B(I,J)=0);for(month(J):B(1,J)=4);f