高一数学压轴题选析.doc

高一上学期数学考试压轴题选析1. 设函数定义域为 （1）若，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围解：（1）因为，所以在上恒成立. 当时，由，得，不成立，舍去， 当时，由，得， 综上所述，实数的取值范围是. （2）依题有在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则由，得， 记，由于在上单调递增， 所以， 因此 。 2. 若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间. （1）已知是上的正函数，求的等域区间； （2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）因为是上的正函数，且在上单调递增， 所以当时， 即， 解锝，故的等域区间为 。（2）因为函数是上的减函数， 所以当时， 即 两式相减得，即， 代入得， 由，且得， 故关于的方程在区间内有实数解， 记，则 解锝. 3. 已知函数，. （1）若，求实数的取值范围； （2）求的最小值解：（1）若，则 故，得 。 （2）当时， ， 当时，。 综上 。 4.已知函数，（，且）（1）求函数的定义域；（2）求使函数的值为正数的的取值范围解：（1）由题意可知， 由，函数的定义域是。 （2）由，得，即。当时由可得，解得。又，所以;当时，由可得，解得。又，所以;综上所述：当时，的取值范围是（1,2）；当时，的取值范围是（-1,1）.5.二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得线段长为8，（1）求函数的解析式；（2）令，若在区间上的最大值是5，求实数的值.解：（1）由题意知，设， 图像在轴上截得线段长为8， 图像与轴的交点为和 代入解得， （2）由上知，即：其图象的对称轴为，分以下三种情形： 当时，函数在区间上是增函数，解得 当时，由于， 只有，不合舍去。 当时，函数在区间上是减函数，而，不合题意舍去. 综上所述， 6.设函数f(x)x22tx2，其中tR(1)若t1，求函数f(x)在区间0，4上的取值范围；(2)若t1，且对任意的xa，a2，都有f(x)5，求实数a的取值范围(3)若对任意的x1，x20，4，都有|f(x1)f(x2)|8，求t的取值范围解： 因为f(x)x22tx2(xt)22t2，所以f(x)在区间(，t上单调减，在区间t，)上单调增，且对任意的xR，都有f(tx)f(tx)，(1)若t1，则f(x)(x1)21当x0，1时f(x)单调减，从而最大值f(0)2，最小值f(1)1所以f(x)的取值范围为1，2；当x1，4时f(x)单调增，从而最大值f(4)10，最小值f(1)1所以f(x)的取值范围为1，10；所以f(x)在区间0，4上的取值范围为1，10 (2)“对任意的xa，a2，都有f(x)5”等价于“在区间a，a2上，f(x)max5”若t1，则f(x)(x1)21，所以，f(x)在区间(，1上单调减，在区间1，)上单调增当1a1，即a0时，由f(x)maxf(a2)(a1)215，得3a1，从而 0a1当1a1，即a0时，由f(x)maxf(a)(a1)215，得1a3，从而 1a0综上，a的取值范围为区间1，1 (3)设函数f(x)在区间0，4上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x20，4，都有|f(x1)f(x2)|8”等价于“Mm8”当t0时，Mf(4)188t，mf(0)2由Mm188t2168t8，得t1 从而 t当0t2时，Mf(4)188t，mf(t)2t2由Mm188t(2t2)t28t16(t4)28，得42t42从而 42t2当2t4时，Mf(0)2，mf(t)2t2由Mm2(2t2)t28，得2t2从而 2t2当t4时，Mf(0)2，mf(4)188t由Mm2(188t)8t168，得t3从而 t综上，a的取值范围为区间42，2 7.某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆.本年度为节能减排，对产品进行升级换代.若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为, 同时预计年销售量增加的比例为.（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）当投入成本增加的比例为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？解：（1）由题可知,本年度每辆车的利润为本年度的销售量是,故年利润. （2）设本年度比上年度利润增加为，则， 因为，在区间上为增函数，所以当时，函数有最大值为.故当时，本年度比上年度利润增加最多，最多为亿元 . 8.已知函数（1）若函数是偶函数，求出的实数的值；（2）若方程有两解，求出实数的取值范围；（3）若，记，试求函数在区间上的最大值.解：（1）因为函数为偶函数，所以，即，所以或恒成立，故 （2）方法一：当时，有两解，等价于方程在上有两解，即在上有两解， 令，因为，所以故； 同理，当时，得到； 当时，不合题意，舍去综上可知实数的取值范围是。 方法二：有两解，即和各有一解分别为，和， 若，则且，即； 若，则且，即；若时，不合题意，舍去综上可知实数的取值范围是 方法三：可用图象，视叙述的完整性酌情给分（3）令当时，则，对称轴，函数在上是增函数，所以此时函数的最大值为当时，对称轴，所以函数在上是减函数，在上是增函数， ，1)若，即，此时函数的最大值为；2)若，即，此时函数的最大值为当时，对称轴，此时，当时，对称轴，此时综上可知，函数在区间上的最大值9已知函数（，且，）是奇函数判断函数在上的单调性，并给出证明；当函数定义在区间上时，函数的值域是，求实数与的值；令函数，当时，存在最大实数，使得对于任意，有恒成立，请写出与的关系式10.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数与时间x(小时)的关系为2a，其中a为与气象有关的参数，且若将每天中的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M(a) ()令t，求t的取值范围； () 求函数M(a)的解析式；() 为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？解：()：因为，所以，所以，故()因为,所以，当时，；当，而，当，;当，所以，()由()知的最大值为，它小于2，所以目前市中心的综合污染指数没有超标11.已知函数x24xa3，g(x)mx52m()若yf(x)在1，1上存在零点，求实数a的取值范围；()当a0时，若对任意的x11，4，总存在x21，4，使f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围；()若函数yf(x)（xt，4）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为72t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间p，q的长度为qp）解：()：因为函数x24xa3的对称轴是x2，所以在区间1，1上是减函数，因为函数在区间1，1上存在零点，则必有：即，解得，故所求实数a的取值范围为8，0 ()若对任意的x11，4，总存在x21，4，使f(x1)g(x2)成立，只需函数yf(x)的值域为函数yg(x)的值域的子集x24x3，x1，4的值域为1，3，下求g(x)mx52m的值域当m0时，g(x)52m为常数，不符合题意舍去；当m0时，g(x)的值域为5m，52m，要使1，3 5m，52m，需，解得m6；当m0时，g(x)的值域为52m，5m，要使1，3 52m，5m，需，解得m3；综上，m的取值范围为()由题意知，可得当t0时，在区间t，4上，f(t)最大，f(2)最小，所以f(t)f(2)72 t即t22t30，解得t1或t3（舍去）；当0t2时，在区间t，4上，f(4)最大，f(2)最小，所以f(4)f(2)72 t即472t，解得t；当2t时，在区间t，4上，f(4)最大，f(t)最小