04薛定谔方程及其简单应用.ppt

1 薛定谔方程及其简单应用 2 经典力学中 已知力F及x0 v0 可由牛顿方程求质点任意时刻状态 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时 以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程 它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程 在量子力学中 微观粒子的运动状态由波函数来描写 状态随时间的变化遵循着一定的规律 1926年 薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上 提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律 3 动量为P 质量为m 能量为E的自由粒子 沿x轴运动的波函数为 1 自由粒子的薛定谔方程 这个方程还应满足以下两个条件 1 方程是线性的 即如果 1和 2都是这方程的解 那么 1和 2的线性迭加 a 1 b 2 也应是方程的解 这是由态迭加原理决定的 2 这个方程的系数不应包含状态的参量 如动量 能量等 否则方程只能被粒子的部分状态所满足 不能被各种可能的状态所满足 对时间求微商 得到 4 对x求二阶偏导 当粒子速度远小于光速c时 v c 自由粒子的动量和能量满足以下关系 比较以上三式 可得 5 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程 此时的薛定谔方程为 若粒子不是自由的 而是在某力场中运动 其势能函数为EP x t 则粒子的总能量应为 2 薛定谔方程的一般形式 6 为书写方便 我们引入拉普拉斯算符 若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场中运动 则其薛定谔方程为 则上式可写为 7 写成式子 由此可知 粒子能量E和动量P与下列作用在波函数上的算符相当 引入哈密顿算符 则 式可写为 这就是薛定谔方程的一般形式 8 1 找出粒子总能E与动量P的关系式 3 把经算符后的关系式分别作用在 上 即可得到所需的薛定谔方程 如果粒子的势能并不随时间而变化 即U U x y z 它不包含时间 在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况 在这种情况下 可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积 即 3 建立薛定谔方程的一般方法 4 定态薛定谔方程 2 把关系式中的E和P算符化 定态 势函数不显含时间 其几率分布也不随时间变化的状态 9 代入 很明显 上式右边只是矢径的函数 而左边只是时间t的函数 为了使上式成立 必须两边恒等于某一个常数 设以E表示 则有 两边除以 可得 10 方程 1 的解为 1 2 c为任一常数 将代入 并把常数包含在中 这样就得到薛定谔方程的特解为 定态波函数 定态薛定谔方程 11 定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定状态 并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度与时间无关 定态波函数所描述的状态称为定态 方程称为定态薛定谔方程 12 常数E其实就是微观粒子的总能量 所以定态也就是微观粒子能量不随时间变化的状态 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数和在这些态中的能量E 由于定态波函数和函数以公式 联系起来 所以问题就归结于解定态薛定谔方程求出能量E的可能值和波函数 5 应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤 1 找出问题中势能函数的具体形式 代入相应的薛定谔方程 2 用分离变量法求解波函数 13 3 由波函数归一化条件和标准条件 确定积分常数 4 求概率密度并讨论其物理意义 1 一维无限深势阱 考虑在一维空间中运动的粒子 它的势能在一定区域内 x 0到x a 为零 而在此区域外势能为无限大 粒子只能在宽为a的两个无限高势壁间运动 这种势称为一维无限深方势阱 14 1 薛定谔方程的建立 由于势能与时间无关 所以本题是定态问题 在阱外 定态薛定谔方程为 根据波函数应满足连续性和有限性的条件 只有当 0时 方程才有意义 所以有 式中 在阱内粒子势能为零 定态薛定谔方程 15 它是一个二阶齐次常数微分方程 其通解为 令 方程可化为 根据波函数的标准化条件 在边界上 阱内定态薛定谔方程 代入方程 得 由此可得 若取A 0 则 0 表示粒子不在势阱出现 这违反粒子在势阱内运动的已知条件 16 再由归一化条件确定常数A 一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数 所以 有 n不能取零 否则无意义 17 1 能级和能级差 结果说明粒子被束缚在势阱中 能量只能取一系列分立值 即它的能量是量子化的 称为量子数 为本征态 为本征能量 零点能的存在称为基态能量 讨论 能级间隔 18 当能级分布可视为连续的 对宏观物体 由于其质量很大 运动范围也大 E很小 故其能量可看作是连续变化的 对微观粒子 若在宏观范围内运动 则 E很小 其能量量子化不显著 如果是在原子尺寸大小的范围内运动 则 E很大 能量量子化就很明显 相邻能级间的差值 随量子数n的增加而增加 随粒子质量m和势阱宽度a的增大而减小 能级间隔 19 一维无限深方势阱中粒子的能级 波函数 稳定的驻波能级 n 1个节点 2 波函数 粒子在势阱中的波函数很象两端固定弦的驻波波形 波的波长随能级的增高而缩短 n很大时 相邻波腹靠得很近 接近经典力学各处概率相同 3 几率密度 粒子在势阱中的概率密度 20 一维无限深方势阱中粒子的能级 波函数和几率密度 对于不同的量子数 在阱内某一特定的点 粒子出现的几率是不同的 21 经典理论中 处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值 粒子在阱内运动不受限制 各处概率相等 随着能级的升高 几率密度的峰值增多 当时 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子力学的结果过滤到经典力学的情况 从以上分析可知 对于无限深势阱来说 粒子只能在势阱U 0的区域能运动 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 22 例 求电子在原子尺度a 10 10m和普通尺度a 10 2m势阱宽度范围的相邻能级 解 电子能量 相邻能级间隔 当n 1时 能量相对间隔 量子化不显著 23 粒子在xa的区域 2 势垒贯穿 隧道效应 设一个质量为m的粒子 沿x轴正方向运动 其势能为 这种势能分布称为一维势垒 在量子力学中 情况又如果呢 为讨论方便 我们把整个空间分成三个区域 在各个区域的波函数分别表示为 1 2 3 24 令 三个区间的薛定谔方程简化为 25 方程的通解为 将上面的三个式子乘以因子 可知 三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波 第二项为沿x负方向传播的平面波 1右边的第一项表示射向势垒的入射波 第二项表示被 界面 x 0 反射的反射波 2右边的第一项表示穿入势垒的透射波 第二项表示被 界面 x a 反射的反射波 3右边的第一项表示穿出势垒的透射波 3的第二项为零 因为在x a区域不可能存在反射波 C 0 26 利用波函数 单值 有限 连续 的标准条件 可得 求出解的形式画于图中 讨论 1 E U0 按照经典力学观点 在E U0情况下 粒子应畅通无阻地全部通过势垒 而不会在势垒壁上发生反射 而在微观粒子的情形 却会发生反射 27 2 E U0 从解薛定谔方程的结果来看 在势垒内部存在波函数 2 即在势垒内部找出粒子的概率不为零 同时 在x a区域也存在波函数 所以粒子还可能穿过势垒进入x a区域 粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应 定义粒子穿过势垒的贯穿系数 透射波的概率密度与入射波概率密度的比值 28 结果表明 势垒高度U0越低 势垒宽a度越小 则粒子穿过势垒的概率就越大 如果a或m为宏观大小时 粒子实际上将不能穿过势垒 隧道效应是一种微观效应 当时 势垒的宽度约50nm以上时 贯穿系数会小六个数量级以上 隧道效应在实际上已经没有意义了 量子概念过渡到经典了 隧道效应是经典力学所无法解释的 因为按经典力学计算结果 在势垒区 粒子的动能小于零 动量是虚数 隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性 由于微观粒子的波动性 微观粒子遵守 不确定关系 粒子的坐标x和动量P不可能同时具有确定的值 自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值 因此 对微观粒子而言 总能量等于势能和动能之和 这一概念不再具有明确的意义 29 隧道效应和扫描隧道显微镜STM 由于电子的隧道效应 金属中的电子并不完全局限于表面边界之内 电子密度并不在表面边界处突变为零 而是在表面以外呈指数形式衰减 衰减长度越为1nm 只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极 当样品与针尖的距离非常接近时 它们的表面电子云就可能重叠 若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感 若控制隧道电流不变 则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏 Scanningtunnelingmicroscopy 30 因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感 若控制针尖高度不变 通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布 使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有