土体极限分析理论（complete）.ppt

1 土体极限分析理论 高等土力学 2020年3月15日 乔世范中南大学土木建筑学院 2 主要内容 概论滑移线场理论极限分析法 3 第1章概论 土力学问题 稳定问题与弹性问题 弹性问题 研究未破坏土体的应力或变形 稳定问题 土压力 承载力及边坡稳定 渐进性破坏问题 由弹性与塑流极限状态的过渡状态 4 屈服区的扩展 5 应力和应变的基本方程 固体力学问题解法中各种变量的相互关系 6 应力和应变的基本方程 运动方程与平衡方程 几何方程与连续方程 本构方程 对于静力问题 或 边界条件和初始条件 应力 位移 7 基本概念 定义 屈服 弹性进入塑性屈服条件 屈服满足的应力或应变条件屈服面 屈服条件的几何曲面 8 基本概念 初始屈服函数的表达式 均质各向同性 不考虑应力主轴旋转时 或 略去时间与温度的影响 并考虑应力与应变的一一对应关系 则有 9 基本概念 屈服曲线与屈服面 10 基本概念 理想塑性 屈服面内F ij 0 不可能 11 基本概念 塑性力学中的破坏 某单元体进入无限塑性 流动 状态 破坏条件 真正破坏 整个物体不能承载 某单元进入流动状态不等于物体破坏 破坏不是针对一个单元的 塑性力学某单元处于流动状态 并非某单元破坏 如理想塑性状态 破坏面上各点应变都超过极限应变 物体才真正破坏 12 1 形式 1 3 莫尔 库仑条件 莫尔 库仑屈服条件 岩土材料的破坏条件 13 德鲁克塑性公设 1928年 米赛斯提出塑性位势函数梯度方向是塑性流动方向 并以屈服函数作为势函数 此后引用德鲁克公设加以证明 稳定材料的定义 稳定材料 不稳定材料 附加应力对附加应变作功为非负 非必要条件 14 德鲁克塑性公设 两个重要不等式 屈服面的外凸性 塑性应变增量的正交性 两个重要结论 1 屈服面的外凸性 2 塑性应变增量方向与屈服面的法向平行 正交流动法则 15 滑移线法 滑移线就是破裂面的迹线 滑移线法就是按照滑移线理论和边界条件 在岩土受力体中构造相应的滑移线网 然后利用移线的性质和边界条件 求出塑性区的应力与位移速度场的分布 最后求出极限荷载 16 滑移线法评论 由滑移线方程得到的一种部分应力场不一定是正确解 也不能确知它是一个上限解还是下限解 如果通过一个给定的应力 应变关系能把一个相容的位移场或速度场与部分应力场联系起来 则滑移线解便是一个上限解 同时 如果塑性的部分应力分布可以扩延整个物体 且满足平衡方程 屈服准则和应力边界条件 则滑移线解又是一个下限解 因而也是正确解 17 极限平衡法 由所谓极限平衡法 就是传统上一直用来近似求解土力学稳定问题的方法 运用时 通常要给出各种简单形状的假想破坏面 如平面 柱面或对数螺旋面等 根据这一假设 每个稳定问题就可简化为 从选定的破坏面形状中寻找最危险的破坏面 或滑动面 的位置 运用这一方法时 还需要假设破坏面的应力分布 据此才能以合力的形式列出所给问题的总体平衡方程 因此 这一简化方法使得可以用简单的静力学求解各种问题 18 极限分析法 下限定理仅仅由满足条件 a 平衡方程 b 应力边界条件 c 处处都不违背屈服条件的应力分布所确定的荷载 不会大于实际破坏荷载 满足 a b 和 c 项条件的应力分布 叫做所论问题的静力许可应力场 上限定理在一个假设的 且满足 a 速度边界条件及 b 应变与速度相容条件的变形模式 或速度场 中 由外功率等于所消耗的内功率而得到的荷载 不会小于实际破坏荷载 19 第2章平面应变问题极限荷载的滑移线场解 基本假设 应力场的滑移线解及其性质 极限荷载应满足的条件 速度滑移线解及其性质 应力间断与速度间断 滑移线场的应用 20 基本假设 材料为理想刚塑性或弹塑性材料 可以证明 只有理想塑性材料才有唯一的极限荷载 小变形 因为在证明极限荷载的唯一性或推求极限荷载时 需要利用虚功原理 而虚功原理只有在小变形条件下才能成立 屈服面必须处处外凸 而且材料必须符合相关联流动法则 否则 不能保证Drucker公设成立 亦不可能存在唯一的极限荷载 21 极限荷载应满足的条件 材料为理想刚塑性或弹塑性材料 可以证明 只有理想塑性材料才有唯一的极限荷载 小变形 因为在证明极限荷载的唯一性或推求极限荷载时 需要利用虚功原理 而虚功原理只有在小变形条件下才能成立 屈服面必须处处外凸 而且材料必须符合相关联流动法则 否则 不能保证Drucker公设成立 亦不可能存在唯一的极限荷载 22 极限荷载应满足的条件 本构方程 在弹性区域 应力和应变满足弹性本构系 在塑性区域 应力和应变增量或应变率应当满足增量塑性本构关系 或者在整个塑性区 外力所做的塑性功率不为负 屈服条件 在弹性或刚性区 应力不违背屈服条件 在塑性区中应力满足屈服条件 23 应力场的滑移线解 基本方程式 基本坐标系与滑移线方程 沿 线 沿 线 1 线 线 2 24 应力场的滑移线解 基本方程式 平衡方程 3 屈服条件 4 式中 P R分别为平均应力和应力圆半径 c ccot 为粘聚力 C M屈服条件 T M屈服条件 2 5 6 25 应力场的滑移线解 基本方程式 极限平衡方程 7 将式 4 代入式 3 26 极限平衡微分方程组的一般解法 极限平衡方程组的特征线族 8 式 7 为双曲线型的一阶拟线性偏微分方程组 与其相伴随的是两族实的特征线族 其方程为 对比式 2 与式 8 可知 数学上的特征线就是塑性力学中的滑移线 特征线解亦即滑移线解 27 极限平衡微分方程组的一般解法 沿滑移线的方向导数 取沿 及 滑移线的曲线坐标如图所示 沿滑移线S 与S 方向导数为 9 28 极限平衡微分方程组的一般解法 沿滑移线的方向导数 由式 8 可得 9 29 极限平衡微分方程组的一般解法 沿滑移线的极限平衡微分方程 由式 9 代入式 7 并利用式 6 可得 10 由于p 分别沿 和 线积分 因此有 30 极限平衡微分方程组的一般解法 沿滑移线的差分方程解法 将 等关系 式代入式 10 得 11 这就是有重的型岩土材料沿 及 族滑移线的平均应力p和与Y轴夹角 的差分方程 利用差分法 就可以求解有重岩土各种边值问题的滑移线场分布和极限荷载 特殊情况下的滑移线解 有重的纯粘土 故式 11 简化为 12 令 有重土计算点的平均应力 则可得 13 特殊情况下的滑移线解 无重的 c型材料 0 由式 11 可得 15 直接积分可得 16a 16b 特殊情况下的滑移线解 无重的C型材料 0 0 c 0 由式 12 可得 17 直接积分可得 18 应力边界条件 19 20 应力边界条件 两种应力边界条件 应力滑移线的性质 滑移线上的剪应力等于抗剪强度 故滑移线就是破裂线的迹线 两族滑移线的夹角与屈服准则有关 对 c型岩土材料来说 粘聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角 对所有岩土材料 重力的存在不影响两族滑移线间的夹角 但对其形状有影响 沿一条滑移线上的积分常数相同 沿一条线上平均应力的变化与 角的变化呈比例变化 21 应力滑移线的性质 若滑移线上某一段为直线 则在该线段上的p 以及各应力分量均为常量 若已知滑移线网分布 则只要知道两条不同族滑移线中一个交点的平均应力 就可以求出该应力区中各点的P值 应力滑移线的性质 如果由一条滑移线 1 或 1 转到另一条滑移线 2 或 2 则沿任何一条 或 族的滑移线 线 或 线 的方向与x轴的夹角的变化值保待常量 应力滑移线的性质 证明 由式 16 所以 应力滑移线的性质 如果 族 或 族 滑移线的某一曲线段 例如AB 是直线 则 族 或 族 滑移线所截的所有线 或线 的相应曲线段均为直线 两种简单的应力场 均匀应力场 简单应力场 果没有应力间断线存在 两个均匀应力场之间必然夹着一个简单应力场或扇形场 速度场 基本方程 速度场 基本方程 速度场 基本方程 11 9 5 速度场 基本方程 速度场 基本方程 速度场 基本方程 速度场 基本方程 直线滑移线上的塑性应变率为零 或位移速度不变 应力间断线 应力间断线 一个薄层过渡区 在这薄层过渡区内 应力发生急剧的变化 造成间断线两侧应力发生间断现象 沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件 现分析位于间断线上一微单元的应力状况 如图所示应力间断线l l把应力场分成I区和II区 间断线法线N与x轴夹角记为 在间断线上取一单元 其应力状态 I区部分应力分量为 n1 l1和 l1 II区部分应力分量为 n2 l2和 l2 它们应满足平衡条件和屈服条件 显然 两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等 两个区内的剪应力相等 即 11 10 1 11 10 2 应力间断线 间断线两侧的应力状态都应满足Mohr Coulomb屈服条件 11 10 3 11 10 4 将上式代入式11 10 1和式11 10 2 可得 11 10 5 11 10 6 由上两式可得 11 10 7 即 11 10 8 应力间断线 对于Tresca材料 0 C K 由式11 10 5 式11 10 6和式11 10 8得 将式11 10 11可得 由式11 10 9和式11 10 10可得平均应力p1和p2的关系式应为 应力间断线不可能同时是滑移线 当滑移线通过应力间断线时 滑移线发生弯折 应力间断线的速度问题 间断线上速度是连续的 两个塑性区的应力间断线可以认为是它们之间存在的弹性区域的极限位置 应力间断线可以用一薄层的弹性层代替 因为在弹性层内 不允许出现裂缝或体积膨胀 所以应力间断线两侧的法向速度分量肯定是连续的 应力间断线两侧的切向速度分量认也是连续的 在这个弹性层内 对某一元索 法向应力和剪应力几差不多是常数 而切向应力沿薄层厚度方向发生很迅速的变化 对于刚塑性体 弹性阶段变形为零 因此 应力间断线必须视作不可伸长的 应力间断线既然是不可伸长的 因而也就不允许间断线两侧的切向速度分量发生间断 速度间断线 速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况 可以证明 速度间断线或者是滑移线 或者是滑移线的包络线 11 10 15 由式11 9 7可得 可以认为从一个速度区越过间断线进人另一个速度区时 质点速度改变与间断线成 角 对Tresca材料 0 因此 速度改变方向与间断线方向一致 即速度间断线两侧法向速度连续 只有切向速度有跳跃性改变 对Coulomb材料 0 间断线两侧不仅切向速度不连续 法向速度也不连续 虽然两侧法向速度不连续 但物体仍保持连续 不产生裂缝 因为材料体积应变率不等于零 即材料体积将发生变化 刚性区与塑性区的交界线一定是速度间断线 也一定是滑移线 钝角楔体单边压力作用时的极限荷载 ODC区的应力状态可表示为 11 11 1 OC线为 线 值和 已知 OB线上 由忽略自重作用 应力滑移线方程可得 钝角楔体单边压力作用时的极限荷载 钝角楔体单边压力作用时的极限荷载 极限荷载qf的表达式很容易从右图中得到 其表达式为 11 11 5 57 第3章极限分析法 概述 上限定理极限分析法的应用 极限荷载的上下限定理 下限定理极限分析法的应用 极限平衡法 滑移线场法和极限分析法的讨论 概述 第二章中我们已经知道 理想塑性材料存在着唯一的极限荷载 但是极限荷载必须满足静力平衡条件机动条件以及本构关系和屈服条件等约束条件 由于数学上的困难 除少数简单的平面应变或轴对称问题外 对于大多数工程实际问题 一般难以求得极限荷载的情确解 这就需要寻求其近似解 极限分析的上 下限定理就是采取放松极限荷载的某些约束条件 来寻求极限荷载的上限值或下限值的一种理论 由于岩土类材料一般并非理想塑性材料 没有唯一的极限荷载 这就需要借助于理想塑性材料的上 下限定理 并考虑岩土材料的摩擦屈服特性及非关联流动特性 推求其极限荷载的近似值 以满足工程需要 在提出极限分析的上 下限定理之前 需要定义静力许可的应力场及运动许可的速度场 并介绍塑性最大塑性功原理与虚功率原理 塑性应变率分量之间的关系可表示为 式中F屈服函数 对Tresca材料 屈服函数可表示为 概述 对Tresca材料 屈服函数可表示为 将上式代入式12 1 1得 对Coulomb材料屈服函数可表示为 将式12 1 4代入式12 1 1得 对Tresca材料 屈服函数可表示为 将式12 1 4代入式12 1 1得 极限荷载的上 下限定理 静力场 在体积V内满足平衡方程 即 在体积V内不违反屈服条件 即 在边界AT上满足边界条件 即 由以上定义可知 物体处于极限状态时 其真实的应力场必定是静力容许的应力场 然而静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场 极限荷载的上 下限定理 机动允许的位移速率场子 在体积V内满足几何方程 即 在边界Av上满足位移边界条件或位移速率边界条件并使外力做正功 由以上定义可知 在极限状态时的真实位移速率场必定是机动容许的位移速率场 而机动容许的位移速率场并不一定是极限状态时的真实位移速率场 极限荷载的上 下限定理 虚功和虚功率方程 虚功原理表明 对于一个连续的变形体 静力容许的应力场在机动容许的位移场上所作的外 虚 功等于内 虚 功 虚功方程可表示为 虚功率方程可表示为 极限荷载的上 下限定理 存在应力间断面的虚功率方程 设物体中存在若干个应力间断面SK K 1 2 3 将物体分成有限个部分 在每一部分 应力是连续变化的 设在间断面SK面的一边作用有表面力Tni 而另一边作用着Tni 根据任一间断面上元素的平衡条件得到 对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程式12 2 9 相应的面积分别按每一部分的表面完成 把各部分的虚功率方程加在一起 可以发现沿着应力间断面的全部积分相互抵消 因此 应力间断面的存在 并不影响虚功率方程的形式 极限荷载的上 下限定理 存在速度间断面的虚功率方程 设物体中存在若干个速度间断面Sl l 1 2 3 将物体分成有限个部分 在每一部分 速度是连续变化的 设在间断面两侧的位移速度分别为vi 1 和vi 2 它们沿间断面切线方向和法线方向的分量分别vil 1 和vin 1 vil 2 和vin 2 Tresca材料在塑性变形过程中体积应变等于零 间断面两侧的法线速度分量必须是连续的 间断面两侧的相对速度可表示为 Coulomb材料在塑性变形过程中体积应变不等于零 间断面两侧的法线速度分量和切线速度分量均不连续 它们应满足 极限荷载的上 下限定理 间断面上的塑性能消散 Tresca材料单位体积塑性变形能消散率可用应力和相应的应变率的乘积得出 即 速度间断面可以认为是一个薄层变形区 位移速度在层内急剧而连续地变化 两侧相对速度为 v 如图所示 长度为l的间断面内的能量消散率为 Tresca材料沿速度间断面Si的能量消散率 极限荷载的上 下限定理 间断面上的塑性能消散 Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D 12 2 16 根据相关流动法则 有 将上式代入12 2 16 得 长度为l的间断面内的能量消散率为 极限荷载的上 下限定理 间断面上的塑性能消散 Coulomb材料 vcos 间断面两侧相对速度在切线方向的分量 可记为 vi 所以Coulomb材料沿速度间断面的能量消散率为 当 0 式12 2 20蜕化成式12 2 15 式12 2 15是式12 2 20的一种特殊情况 可以用式1 2 20统一表达 极限荷载的上 下限定理 间断面上的塑性能消散 Coulomb材料当速度间断面上的应力为屈服应力时 式12 2 15和式12 2 20可分别写成 12 2 21 计算所有速度间断面上的能量消散率 结合虚功率方程式12 2 9可以得到存在速度间断面的虚功率方程表达式 极限荷载的上 下限定理 下限定理 在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中 极限荷载最大 根据下限定理可以计算极限荷载下限 通常称为极限荷载的下限解 也称为静力法 上限定理 在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中 极限荷载最小 根据上限定理可以计算极限荷载上限 通常称为极限荷载的上限解 也称为机动法 上 下限定理的推论 推论1 如果几何形状不改变 初始应力和初始变形不会改变极限荷载的大小 推论2 提高物体某些部分材料的屈服极限 不会降低其极限荷载 反之 降低物体某些部分材料的屈服极限 不会提高其极限荷载 推论3 在物体上增加一部分材料 如增加部分重量可忽略不计 而不改变荷载的作用位置 不会降低其极限荷载 推论4 由外接真实屈服而的屈服而计算得到的极限荷载将不小于真实的极限荷载 由内切真实屈服面的屈服面计算得到的极限荷载将不大于真实的极限荷载 推论5 任何一组使服从相关联流动规则的材料产生破坏的荷载将使服从不相关联流动规则的同样屈服面的材料产生破坏 上限定理极限分析法的应用 薄变形层上的刚体滑动 Tresca材料 12 3 1 薄变形层形成一个速度间断面 单位面积速度间断面上的能量消散率等于纯剪时的屈服应力与两块刚体间相对速度的乘积 平移 12 3 2 转动 上限定理极限分析法的应用 例题 求不排水条件下饱和粘上地基上条形基础极限承载力 饱和粘土地基在不排水条件下 土体内摩擦角 0 可认为是Tresca材料 建立的机动场如图所示 在机动场中 只发生刚性块体沿圆弧速度间断面AB弧上的滑动 圆心在O 点 半径为R 转动角速度为 外力功率为 外力功率等于内能消散率 得 机动场中圆弧位置由半径R和角 确定 由式12 3 2可得内能消散率为 上限定理极限分析法的应用 例题 求不排水条件下饱和粘上地基上条形基础极限承载力 饱和粘土地基在不排水条件下 土体内摩擦角 0 可认为是Tresca材料 建立的机动场如图所示 在机动场中 只发生刚性块体沿圆弧速度间断面AB弧上的滑动 圆心在O 点 半径为R 转动角速度为 相应的极限承载力的上限解为 上限定理极限分析法的应用 薄变形层上的刚体滑动 Coulomb材料 12 3 11 平移 转动 如果半径矢量R0转动一个角度 1过 那末半径矢量的长度变为R1 R0exp 1tan 如果速度v从螺旋线一端面的v0转动一个角度 1后 速度变为v1 v0exp 1tan 元素dl的长度为Rd cos 12 3 13 上限定理极限分析法的应用 例题 求竖直陡坡的临界高度 取机动场如所示 土的容重为r 滑动面与竖直方向成 角 滑动体的运动速度为v 与滑动面成 角 由式12 3 1可得沿滑动面的内能消散率为 12 3 14 塑性流动时 外力 重力 所做功率为 12 3 15 12 3 16 12 3 17 12 3 18 上限定理极限分析法的应用 刚体滑动与均匀压缩相结合 Tresca材料 12 3 19 矩形单元的能量消散率为 单位体积的能量消散率为 12 3 20 下面分析沿AB界面上的能量消散情况 对称轴点O点相对速度为0 设A和B点的界面两侧相对速度为V0 沿OB和OA各点速度成线性分布 于是V V0 沿AB界面的能量消散率为 12 3 21 上限定理极限分析法的应用 刚体滑动与均匀压缩相结合 Coulomb材料 塑性流动时