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第二章信号分析基础 2 1信号一 概述信号可以分为确定性信号和非确定性信号两大类 确定性信号是指可以用数学关系式或图表来明确描述其关系的信号 非确定性信号具有随机特点 每次观察的结果都不相同 无法用数学式或图表描述其关系 更不能确切预测 只能用概率统计方法由过去估计未来 因此也叫随机信号 确定性信号又可分为周期信号和非周期信号随机信号又可分平稳和非平稳的信号两种周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号 满足条件 x t x t Nt 式中 T 周期 T 2 0 0 基频N 0 十1 确定信号与随机信号 当信号是一确定的时间函数时 给定某一时间值 就可以确定一相应的函数值 这样的信号称为确定信号 随机信号不是确定的时间函数 只知道该信号取某一数值的概率 带有信息的信号往往具有不可预知的不确定性 是一种随机信号 除实验室发生的有规律的信号外 通常的信号都是随机的 因为确定信号对受信者不可能载有信息 连续信号与离散信号 如果在某一时间间隔内 对于一切时间值 除若干不连续点外 该函数都能给出确定的函数值 此信号称为连续信号 和连续信号相对应的是离散信号 代表离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值 一般而言 模拟信号是连续的 时间和幅值都是连续的 数字信号是离散的 连续信号 模拟信号 连续信号 离散信号 周期信号与非周期信号 用确定的时间函数表示的信号 可以分为周期信号和非周期信号 当且仅当则信号f t 是周期信号 式中常数T是信号的周期 换言之 周期信号是每隔固定的时间又重现本身的信号 该固定的时间间隔称为周期 非周期信号无此固定时间长度的循环周期 严格数学意义上的周期信号 是无始无终地重复着某一变化规律的信号 实际应用中 周期信号只是指在较长时间内按照某一规律重复变化的信号 实际上周期信号与非周期信号之间没有绝对的差别 当周期信号fT t 的周期T无限增大时 则此信号就转化为非周期信号f t 即 周期方波的描述 二 能量信号与功率信号1 能量信号在所分析的区间 内 能量为有限值的信号称为能量信号 满足条件 信号能量的解释 对于电信号 通常是电压或电流 电压和电流在己知区间 t1 t2 内消耗在电阻R上的能量为 R 1 时 上述两式具有相同形式 定义 当区间 t1 t2 为 时 能量为有限值的信号称为能量信号 或称为能量有限信号 2 功率信号有许多信号 如周期信号 随机信号等 它们在区间 内能量不是有限值在这种情况下 研究信号的平均功率更为合适 显而易见 一个能量信号具有0平均功率 而一个功率信号具有无限大能量 2 2信号的时域统计分折 一 均值 方差 2和均方值 2各态历经信号的均值 为 方差方差的正平方根叫标准差 是随机数据分析的重要参数 均方值 2描述随机信号的强度均方值的正平方根称为均方根值 可表示为xrms 均值 方差和均方值的相互关系是 二 概率密度函数随机信号的概率密度函数表示信号幅值落在指定区间内的概率 定义幅值概率密度函数 概率密度函数分析仪原理方框图 典型信号的概率密度函数 含正弦波随机信号的概率密度函效 2 3信号的相关分析 变量x和y之间的相关程度常用相关系数表示 式中 E 数学期望 x E x 随机变量x的均值 y E y 随机变量y的均值 x y 随机变量x y的标准差 可以证明 xy 1 当 xy 1时 则所有的点都落在y y m x x 的直线上 说明x y两变量是理想的线性相关 xy 1也是理想的线性相关 只是直线的斜率为负 xy 0表示x y两变量之间完全无关 用Rx 表示自相关函数 则 例1求正弦函数的自相关函数 作业 1 证明均值 方差和均方值的相互关系2 根据图2 4方框图设计一个概率密度函数分析仪电路 画出电路原理图 二 互相关函数对于各态历经过程 两个随机信号x t 和y t 的互相关函数及Rxy 定义为 互相关函数不是偶函数 四 相关函数的性质根据定义 相关函数有如下性质 1 自相关函数是偶函数 互相关函数不是偶函数 也不是奇函数 而满足下式 2 自相关函数在 0处取得最大值 这个性质极为重要 它是相关技术确定同名点的依据 两边取时间T的平均值并取极限 3 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号 但不具有原信号的相位信息 4 随机信号的自相关函数将随 值增大而很快趋于零 互相关函数具有以下性质 两周期信号具有相同的频率 才有互相关函数 即两个非同频的周期信号是不相关的 两个相同周期的信号的互相关函数仍是周期函数 其周期与原信号的周期相同 并不丢失相位信息 两信号错开一个时间间隔 0处相关程度有可能最高 它反映两信号x t y t 之间主传输通道的滞后时间 五 相关分析应用1 影像相关原理 影像相关是利用互相关函数 评价两块影像的相似性以确定同名点 示意图 互相关函数 相似程度 同名点 目标区 搜索区 影像匹配 同名点寻找 2 电子相关 电子相关就是采用电子线路构成的相关器来实现相关的功能 图5 1 1电子相关 3 光学相关 光的干涉和衍射 傅立叶变换特性 相干光学计算机 相干光学相关系统 三个傅立叶透镜L1 L2 L3及激光源与光电倍增管等器件组成 3 数字相关 二维相关 数字相关是利用计算机对数字影像进行数值计算的方式完成影像的相关 目标区 搜索区 相似性测度 4 工程应用 2 4信号的频域分析 确定信号的时间特性 表示信号的时间函数 包含了信号的全部信息量 信号的特性首先表现为它的时间特性 时间特性主要指信号随时间变化快慢 幅度变化的特性 同一形状的波形重复出现的周期长短信号波形本身变化的速率 如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度 以时间函数描述信号的图象称为时域图 在时域上分析信号称为时域分析 确定信号的频率特性 信号还具有频率特性 可用信号的频谱函数来表示 在频谱函数中 也包含了信号的全部信息量 频谱函数表征信号的各频率成分 以及各频率成分的振幅和相位 频谱 对于一个复杂信号 可用傅立叶分析将它分解为许多不同频率的正弦分量 而每一正弦分量则以它的振幅和相位来表征 将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低次序排列成频谱 频带 复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内 在工程应用上一般忽略高于某一频率的分量 频谱中该有效频率范围称为该信号的频带 以频谱描述信号的图象称为频域图 在频域上分析信号称为频域分析 时域和频域 时域特性与频域特性的联系 信号的频谱函数和信号的时间函数既然都包含了信号的全部信息量 都能表示出信号的特点 那么 信号的时间特性与频率特性必然具有密切联系 例 周期性脉冲信号的重复周期的倒数就是该信号的基波频率 周期的大或小分别对应着低的或高的基波和谐波频率 信号分析中将进一步揭示两者的关系 不同频率信号的时域图和频域图 信号分析时域分析信号时域分析 线性系统叠加原理 卷积积分的应用及其数学描述频域分析周期信号的频域分析 三角与指数傅立叶级数 非周期信号的频域分析 傅立叶积分 信号在频域与时域之间的变换 正反傅立叶变换式 频谱与时间函数的关系 时域分析的方法 式中h t 是单位冲激函数 t 对应的响应 称为单位冲激响应函数 单位冲激函数 t 也称狄拉克函数或 函数 其定义是 在t 0时 函数值均为0 在t 0处 函数值为无穷大 而脉冲面积为1 即当 t无限趋小而成为d 时 上式中不连续变量k t成了连续变量 对各项求和就成了求积分 于是有这种叠加积分称为卷积积分 频域分析 作为时间函数的激励和响应 可通过傅立叶变换将时间变量变换为频率变量去进行分析 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析法 频域是最常用的一种变换域 如同时域分析把信号始终看成是时间的函数一样 在频域分析中 任何信号又可看成是频率函数 频域分析的基本工具是傅立叶分析 包括傅立叶级数和傅立叶变换 周期信号的频域分析方法 考察信号式中 1 2 f1 1称为基波频率 简称基频 1的倍数称为谐波 该信号的波形图和其频谱图见下图 对于周期信号而言 其频谱由离散的频率成分 即基波与谐波构成 图中 每一条谱线代表一个正弦分量 谱线的位置代表这一正弦分量的角频率 谱线的高度代表该正弦分量的振幅 信号f t 的成分正好是角频率为 1 3 1 5 1和7 1的正弦波 复杂周期信号波形 数字信号的谐波 分解周期信号的条件 狄利希莱条件要将一周期信号分解为谐波分量 代表这一周期信号的函数f t 应当满足下列条件 在一周期内 函数是绝对可积的 即应为有限值 在一周期内 函数的极值数目为有限 在一周期内 函数f t 或者为连续的 或者具有有限个这样的间断点 即当t从较大的时间值和较小的时间值分别趋向间断点时 函数具有两个不同的有限的函数值 测试技术中的周期信号 大都满足该条件 周期信号的频域分析方法 根据傅立叶变换原理 通常任何信号都可表示成各种频率成分的正弦波之和 对于任何一个周期为T 且定义在区间 T 2 T 2 内的周期信号f t 都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示 a0是频率为零的直流分量 如图 式中系数值为傅立叶级数的这种形式称为三角函数展开式或称正弦 余弦表示 是用正交函数集来表示周期信号的一种常用方法 傅立叶级数还可以改写成 An n 分别称为幅值谱和相位谱 统称为频谱 带有直流分量的信号 指数傅立叶级数 用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法是傅立叶级数的指数表示法 称为指数傅立叶级数 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类型的级数 而只是同一级数的两种不同的表示方法 指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计算 根据欧拉公式 当n取 和 之间包括0在内的所有整数 则函数集ejn t 其中n 0 1 2 为一完备的正交函数集 任意周期信号f t 可在时间区间 T 2 T 2 内用此函数集表示为求出Cn 信号分解的任务就完成了 非周期信号的频域分析方法 对于定义于区间 上的非周期函数 也能分解成许多正弦波的叠加 也要满足狄利希莱条件 如果在表示周期信号f t 的傅立叶级数中令周期T 则在整个时间内表示f t 的傅立叶级数也能在整个时间内表示非周期信号 f t 的指数傅立叶级数可写为式中Fn是复数振幅 将其代入f t 得到 非周期信号的频域分析方法 当T增加时 基频 1变小 频谱线变密 且各分量的振幅也减小 但频谱的形状不变 在T 的极限情况下 每个频率分量的幅度变为无穷小 而频率分量有无穷多个 离散频谱变成了连续频谱 这时 f t 已不是n 1的离散函数 而是 的连续函数 以上过程可以用计算式说明 由于相邻频率分量间隔为 n 1 1 n 1 1周期T可写为于是 有 非周期信号的频域分析方法 当T 时 求和变成了取积分 变成d n 1用 表示 因此有式中方括号是原函数f t 的频谱密度函数 简称频谱函数 它具有单位频带振幅的量纲 记作F 即将原函数写成这就是非周期信号f t 的傅立叶积分表示式 它与周期信号的傅立叶级数相当 和傅立叶级数中的复数振幅相当 是无穷小量 频谱密度函数反映了各分量振幅间的相对比例关系 傅立叶变换 通过非周期信号的频谱分析得知 时域上的原函数中含有包含全部信息量的频谱函数 而频谱函数中也含有原函数 因此我们可以在时域与频域之间对信号进行相互变换 这种变换通过称之为傅立叶变换式的公式来实现 即我们前面已经推导出的一对傅立叶积分表示式 前者称为傅立叶正变换式 它将时域内t的函数变换为频域内 的函数 后者称为傅立叶逆变换式或反变换式 可把 的函数变换为t的函数 傅立叶变换式简记为 傅立叶变换的应用 傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域运算 作为时域上卷积积分例子的函数r t 对应的频域函数为上式即卷积定理 激励s t 通过频率特性为H 的系统时 响应r t 的频谱函数R 等于s t 的频谱函数S 和H 的乘积运算 频谱与时间函数的关系 通过时域与频谱分析的讨论 可总结为两个关系式R S H r t s t h t 其中两个关系式的意义是 两个频谱相乘 其乘积的时间函数就是相应的两个时间函数相卷积 反之 两个时间函数相卷积 其频谱就是相应的两个频谱相乘 从滤波角度看 该两关系式的意义是 滤波可以两种方式实现 一是在频域上实现 将频谱H 与S 相乘得到R 再由R 作傅立叶反变换得到r t 二是在时域上直接实现 将时间函数h t 与s t 相卷积得到r t 几种典型信号的傅立叶变换 数字信号中典型的波形是矩形窗函数 矩形脉冲函数 矩形脉冲g t 及其对应的频域函数为G 分别如图和下面两式 当 0时 G A 2k 时 G 0 t 函数的性质 1 抽样性 2 单位脉冲函数的积分等于阶跃函数 函数与其他函数的卷积 4 函数的频谱 功率谱密度和带宽 对于一个矩形脉冲信号 其能量主要集中在频谱中零频率到第一个过零点之间 所含能量达到信号全部能量的90 以上 故可将其定义为矩形脉冲信号的有效带宽 一般而言 任何一个有限时间的信号之频谱宽度是无限的 然而 信号的大部分功率实际上只集中在某个有限的频谱宽度内 所谓信