线性赋范空间泛函有界性.doc

目目 录录 1 引言引言 1 2 线性赋范空间线性赋范空间 1 2 1 预备知识预备知识 2 2 2 线性赋范空间的一些性质线性赋范空间的一些性质 3 3 3 线性有界泛函线性有界泛函 4 3 1 线性有界泛函有关概念线性有界泛函有关概念 4 3 2 线性有界泛函与线性连续泛函线性有界泛函与线性连续泛函 6 3 3 共轭空间共轭空间 7 4 4 线性有界算子线性有界算子 10 4 1 线性有界算子有关概念线性有界算子有关概念 10 4 2 线性有界算子与线性连续算子线性有界算子与线性连续算子 12 4 3 线性有界算子空间线性有界算子空间 12 参考文献参考文献 14 致致 谢谢 15 i 线性赋范空间泛函有界性研究线性赋范空间泛函有界性研究 数学系本数学系本 1104 班班 薛菊峰薛菊峰 指导教师 指导教师 何瑞强何瑞强 摘 要 本文主要研究线性赋范空间泛函有界性 从三个方面进行探讨 首先 阐述线性赋范空间泛函有界性 泛函连续性以及相关的概念 然后 研 究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系 根据两者的等价性给出相关泛函 理论的推导及应用 最后 将线性有界泛函理论推广到线性有界算子空间 关键词 线性赋范空间 线性有界泛函 线性连续泛函 线性有界算子 The Study of the Functional Boundedness in Linear Normed Space Xue JuFeng Class 1104 Mathematics Department Tutor He RuiQiang Abstract This paper mainly studies the functional boundedness in linear normed space Carries on the discussion from three aspects First of all this paper expounds the linear normed space functional boundedness functional continuity and related concepts Then researching the relationship of the linear normed space functional boundedness and continuity giving derivation and application of the relevant functional theory according to the equivalence of them Finally the bounded linear functional theory are generalized to space of bounded linear operator Keywords linear normed space bounded linear functional linear continuous functionals bounded linear operator 0 1 引言 有学者在这方面已经做了一定的研究如 李宗铎在 线性赋范空间中几个 概念的探讨 证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑 与线性拓扑空间体 系下所定义的线性赋范空间 有界集 线性算子的有界性等概念是等效的 同 时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性 王艳博 张云峰在 关于 泛函分析中定理的推广 对于赋范空间和 从到的全体线性有界算子XYXY 关于算子范数亦成为赋范空间 且知当是完备空间时 也是 YXB Y YXB 完备的 在更广泛的空间类 赋准范数空间中 推广了上述的结果 李晓爱在P 线性赋范空间上泛函列的一致连续性定理 定义了在线性赋范空间上泛函X 序列强一致连续 弱一致连续和一致收敛的概念 得出了泛函序列强 n f n f 一致连续必弱一致连续 并证明了定义在线性赋范空间上的泛函序列弱X n f 一致连续且又是一致收敛序列时 在上必强一致连续 定义在线性赋范空间X 的有界子集上的强一致连续泛函序列 若满足 则XD n f nffn0 序列是一致收敛的 但总的说来讨论得还不够系统也不够透彻 本课题在原有 研究的基础上进行了更多方面的研究 更加系统地对线性赋范空间泛函有界性 进行阐述 本文主要探讨了线性赋范空间泛函有界性的一些性质以及泛函有界性在相 关泛函理论方面的推导 全文共分为四个部分 第 1 章介绍了线性赋范空间泛 函有界性问题提出的背景 以及本论文所要研究的主要内容 第 2 章阐述了线 性赋范空间泛函有界性概念以及其它与有界性相关的性质 第 3 章研究了线性 赋范空间泛函有界性与泛函连续性之间的等价关系 并给出相关的例题进行两 者之间的等价变换 第 4 章讨论线性赋范空间泛函有界性推广到线性有界算子 空间的结论 2 线性赋范空间 在距离空间中我们引入了点列的极限 点列的极限是微积分学中数列极限 在抽象空间中的推广 但是只有距离结构没有代数结构的空间在应用时受到许 多的限制 事实上 应用最多的空间如 等等 这些空间中的元 p l baCRn 1 素不仅可以定义距离还可以定义某些代数运算 本部分主要介绍线性赋范空间 它较距离空间有明显的优越性 2 1 预备知识预备知识 命题 2 1 1 线性赋范空间 如果是实数域 或复数域 上的线性空XK 间 在上定义映射 如果满足以下三条 X 1 xRX KXyx 正定性 100 0 xxx 正齐性 2xx 三角不等式 3yxyx 那么我们称为的范数 称为线性赋范空间 简记为 一般我们称xx xX 定义中的条件 为范数公理 1 2 3 例 1 是线性赋范空间 1 21 i p in p xxxxxxl 分析 p lyx 21 n xxxx 1 2 n yy yy K 加法 1122 xyxy xy 数乘 12 n xxxx 从而 是线性空间 p l 定义满足范数公理 1 1 p p i i xx 故 是线性赋范空间 p l 例 2 在通常加法 数乘意义下构成线性空间 在上定义范 C a b C a b 数可以验证满足范数公理 所以是线性赋 max ta b xx t max ta b xx t C a b 范空间 例 3 设为上方可积函数的全体 其中几乎处处相 1 p La bp a b pL 等的函数视为同一函数 几乎处处为零的函数看作零元 对通常的加法 数乘 构成线性空间 在中定义范数 1 p La bp 1 p La bp 2 容易验证是范数 故是线性赋范空间 1 bp p a xx tdt x 1 p La bp 引理 2 1 1 线性赋范空间中的极限 依范数收敛等价于依距离收敛 若 是线性赋范空间 是中的点列 若 就称依X n xX xX lim0 n n xx n x 范数收敛于 简称收敛于 记为 或x n xxlim n n xx n xx n 2 2 线性赋范空间的一些性质线性赋范空间的一些性质 引理 2 2 1 如果是线性赋范空间 X nn xyX 有界性 如果则有界 1 n xx n n x 线性运算的连续性 如果 2 nn xx yy n 则其中为常数 nnn xyxyxx n 范数的连续性 范数是的连续函数 3xx 证明 1 因为 取 nnn xxxxxxx 0 n xxn 由故当时有 所以 当时有1 0 nxxn N nN 1 n xx nN 取对每个 有1 n xx 12 max 1 N Mxxxx n 即有界 nn d xxM n x 由于 则我们就有 2 nn xx yy n lim0 n n xx 从而有 等价于 lim0 n n yy lim nn n xyxy nn xyxy n 等价于limlim0 nn nn xxxx n xx n 定理 2 2 1 如果是线性赋范空间 是由范数导致的距离 那么Xd 有 0 x y zXk 平移不变性 1 00 d xzyzd x y 绝对齐次性 2 dxyd x y 证明 1 0000 d xzyzxzyzxyd x y 3 2 dxyxyxyd x y 3 线性有界泛函 线性赋范空间泛函有界性在不少问题的研究中常常起着重要的作用 又因 其与连续泛函有着密切的联系 所以对其进行系统的归纳 总结是十分必要的 3 1 线性有界泛函线性有界泛函有关概念有关概念 命题 3 1 1 线性泛函 如果是实 或复 数域上的赋范空间 是XKD 上的线性子空间 若满足 X fDK f 有K Dyx fxyf xfy 那么就称是上的一个线性泛函 称为的定义域 fDDf 为的值域 f Df x xD f 若 那么称 是实线性泛函 1 KR f 若 那么称是复线性泛函 CK f 若 那么称是上的线性泛函 XD fX 命题 3 1 2 线性有界 如果是线性泛函 若存在 1 fDXR 0M 对任何 有 那么称是上的线性有界泛函 xD f xM x fD 例 1 区别线性有界与微积分中的有界概念的不同 解 在上是无界函数 但是作为到的线性泛函都是线性有 f xx 1 R 1 R 1 R 界泛函 事实上 11 R x yR fxyxyf xfy 那么所以是上的线性有界泛函 1 1 MxR f xxM xM x f x 1 R 例 2 求实 n 维欧氏空间上的线性有界泛函 n R 解 设是中的固定向量 令 12 n aa aa n R 12 n n xx xxR 则是上的线性有界泛函 1 n ii i f xa x f n R 4 证明 1f 1n RR 2 1 n n iii i K x yRfxyxy a 11 nn iiii ii a xa yf xfy 3 11 22 22 1111 nnnn iiiiii iiii f xa xa xax a x 取 使线性有界泛函 Ma n xRMa f xM x 由 可知 是上的线性有界泛函 1 2 3 f x n R 例 3 在上定义泛函 在上连续 证明 baC baCtx ty0 ba 和是线性有界的 dttytxxf b a 0 bxaxxg 不全为零 证明 baCyxknm 1 dttytyndttytxmdttytnymxnymxf b a b a b a 000 所以 是线性的 ynfxmf xf 则 那么 baCx txx bta max dttytxdttytxxf b a b a 00 令 则从而 dttyxdttytx b a b abta 00 max dttyM b a 0 xMxf 是有界的 xf 2 bnybmxanyamxnymxg bxaxm 所以 是线性的 byayn yngxmg xg bxaxbxaxxg txtx btabta maxmax 令 则 从而 maxxtx bta M xMxg 是有界的 xg 例 4 证明通过 定义上为线性泛函 问 lxxnxxf jn 固定 l 5 是有界的吗 xf 证明 是泛函 1 1 Rlf 则 2 lyxk nn yxyxf yfxf 所以是线性的 xf 即 使 3 lx xxxxf i i n 1 sup01 M xMxf 所以是有界的 xf 命题 3 1 3 线性连续 如果 或复数域 是线性泛函 1 fDXR C 且在上连续 那么就称是上的线性连续泛函 f xD f xD 定理 3 1 1 若是的线性子空间 那么 在DX 1 fDXR f x D 上连续等价于在某一点处连续 f x 0 xD 证明 必要性 在上连续 明显的我们有 在连续 f xD f x 0 xD 充分性 设则 xD x nn xDx n 00n xxxx 在连续 于是有 n f x 0 xD 00nn f xxxf xf xf x 那么有即在点连续 因此在上连 n n f xf xn f xx f xD 续 特别提醒 线性泛函在 0 连续 那么就有 在上连续 f xx f xD 3 2 线性有界泛函与线性连续泛函线性有界泛函与线性连续泛函 定理 3 2 1 如果是上的线性泛函 则在上连续等价于 f xD f xD 在上有界 f xD 证明 必要性 用反证法 假设在上无界 使 f xD0 n nxD 令 那么 而 nn f xn x n n n x x n x 1 0 n x n n n n n f x f x n x 6 这与在上连续相矛盾 所以有在 11 1 nn nn f xn x n xn x f xD f x 上有界 D 充分性 设在上有界 则 有 f xD0 n MxD 0 n xn 从而有在点连续 由定理 3 1 1 可知 0 nn f xM xn 0 0 x 在上连续 f xD 例 1 定义 则是上的线性连续泛函 称为零泛函 xX 0 x X 例 2 对令 则 有 a bxC b a f xx t dt x yC a b fxy 所以 是 bbb aaa x ty tdtx t dty t dtf xfy f x 上的线性泛函 C a b 又由于所以 f x max bbb aaaa t b x t dtx t dtx tdtbax 是上的线性有界泛函 f x C a b 例 3 设 证明 如果有界 则是闭集 yxT T XxTxxTN 0 请问反之如何 证明 如果有界 那么连续 则 使 所TT TNx0 TNxn 0 xxn 以有 即 所以 是闭集 0 lim 0 n n TxTx TNx 0 XxTxxTN 0 反之不真 例如 取 则连续 若 baCX baCY txTx YXT 0 Tx 则 是闭集 但是无界算子 ctx 1 RctxxTN T 例 4 设是线性赋范空间 是线性有界算子 21 X X 3 2 1 21 nxxTn 证明 如果 则对任何给定闭球中的一切 存在 当时 有 TTn xNNn TxxTn 证明 设 M 是给定的闭球并置于球之中 由于 那么对 RxxB TTn 7 于 存在 当时有 所以有 0 NNn R TTn Bx 即命题得证 R R xTTTxxT nn 3 3 共轭空间共轭空间 命题 3 3 1 泛函范数 如果定义的范数为可fX f x 0 sup x f x f x 以验证 满足范数的三条公理 事实上有 f 正定性 有 1 f x 0 f x 0 f xf x 正齐性 对 有 2K sup x f x f x x sup x f x f x x 三角不等式性 3 12 ffX 12 12 sup x ffx ffx x 12 sup x fxfx x 12 12 supsup xx fxfx ff xx 所以是赋范空间 我们称为的共轭空间 X XX 结论 当时 有 1 fX xX f xfx 证明 因为 所以 是 的上界 所以 sup x f x f x f x f x x x 有 从而 f f x x x f xfx 如果是线性有界泛函 那么的范数有如下的等价形式 2 f x f x 或f 1 sup x f x 1 sup x ff x 证明 supsup xx f x x ff xx 1111 supsupsupsup yyyy fyfyfxfyf 8 定理 3 3 1 的完备性 如果是线性赋范空间 那么其共轭空间是X XX Banach 空间 证明 设是的基本列 要证收敛于 由基本列的定义可 n fX n ff X 知 当时 有 于是 有0 N m nN mn ff xX mnmn fxfxffxx 1 由此可知是中的基本列 由的完备性知 在中收敛 设 n f 1 R 1 R n f 1 R 可以验证是线性有界泛函 n fx f xxX f x limlimlim nnn nnn fxyfxyfxfy f xfy 取 当时 则 有 1 N 1 mnN 1 mn ff 1 mn ff xX mm fxfx 让固定 令 有 这就证明了 xfn1 Nn m xfxf n 1 是上的线性有界泛函即 fX Xf 下面证明 依范数收敛于 在 1 式中令 固定 n f f x mNn 得 由范数定义可知 当时 即 xxfxf n Nn n ff nffn 命题 3 3 2 几个具体空间上的的共轭空间 实维欧氏空间的共轭空间是自身 1n n R n R 的共轭空间为 互为共轭指数 2 p l q l1 11 1 qp ppq 的共轭空间是 3 P L ba P1 baLq 1 q 1 p 1 的共轭空间是 4 ba C 0 V ba 定理 3 3 2 Hahn Banach 延拓定理 如果是线性赋范空间 是XG 的线性子空间 是上的任一线性有界泛函 那么可以作出 上线性有XfGX 9 界泛函 满足 当时 F 1G x xfxF 2 GX fF 其中表示作为上的线性泛函的范数 表示上线性泛函的范数 X FFX G fG 特别指出 泛恩 巴拿赫定理既保证了最小范数延拓的存在性又指出了这个 最佳延拓的范数就是的范数f 推论 3 3 1 有界线性泛函足够多定理 如果是一线性赋范空间 对任何 X 那么必存在上的线性连续泛函满足 Xx 0 0 0 xXf 1 00 xxf 21 f 证明 若 则 G 是由张成的子空间 其中 kttxG 00 xXx 0 那么在上定义泛函如下 显然有0 0 xG 0 xtx Gtxx 0 从而有 根据 00 xx xtxxtx 00 Gtxx 0 1 G 定理 3 3 2 可以把上的线性有界泛函延拓到上得到 且有G x Xf X f 1 G 推论 3 3 2 如果是线性赋范空间 是上的子空间 XGXXx 0 Gxd 0 那么必存在上的有界线性泛函 满足 0inf 0 dyx Gy Xf 1 0 xfGx 2 0 dxf 3 1 f 证明 设 由于 故中的元素可唯一地表示为 01 xGspanG Gx 01 Gy 在上作泛函 0 txxy Gx 1 G tdtxxy 0 1 R 11 Gyx 0011 txxtxxyx 0 txx 10 因此是线性泛函且 11 yxtdtdtd x ddxx 110 00 00 0 xxxGx 0 txxy 1 G 因为 1 RtGx x t xttxxy 1 00 dt 于是是有界的 且 0 ydttdtxxy x 1 1 G 另一方面 由的定义 则可取一列 使于是有 d Gxn 0 lim n n dxx 当 时 有 000 1 xxdxxxxx n G nn n 从而有 所以 由 Hahn Banach 定理 把泛函延 d 1 G d1 1 G 1 1 G 拓到全空间得 则满足 Xff 1 0 xxfGx 2 00 dxxf 3 1 1 GX f 命题 3 3 3 延拓定理的两点应用 定理 若那么存在唯一的使 1ieszR 1 0 Cf 1 0 0 Vg 有 且有 baCx tdgtxxf 1 0 gVf 1 0 推广的刘维尔定理 如果是复的巴拿赫空间 是有界整函 2XXCx 数 那么 为常数 zxCz 证明 由于是有界的 那么有 XCx Cz zxf zxf Mf 所以是有界的整函数 由刘维尔定理可知 有 xf 0 Cz Cz 即由定理 3 3 2 可知 即 0 zxfzxf 0 0 zxzxf 0 0 zxzx 0 zxzx 4 线性有界算子 4 1 线性有界算子线性有界算子有关概念有关概念 11 命题 4 1 1 算子 若是同一数域 K 上的两个线性赋范空间 21 XX 为某一子集 若存在一种对应的法则 使对任何有唯一的 1 XD TDx 与之对应 那么就称是中到的算子 或者称为映射 2 XTxy T 1 XD 2 X 命题 4 1 2 线性算子 如果是同一数域上的两个线性赋范空间 21 XX K 是的线性子空间 设 若对于任何 有D 1 X 2 XDT 21 XX D K 那么称为上的线性算子 为上的线性算 2121 xTxTxxT TDDT 子 记为 是的值域 TD TDxTxyyTR T 那么称为零空间 或核 1 ker TTxDxTTNT 注 是的线性子空间 是的线性子空间 1 TRY TNX 如果 那么 2 TDdim TRdim TDdim 命题 4 1 3 算子有界 如果是线性算子 那么称在 21 XXDT T 上有界是指 使得对任何有 D0 MDx xMTx 例 1 定义为 baCbaCT baCx dxTx t a 证明 是线性有界算子 bat T 证明 为实数 那么有 1 baCxx 21 21 xxT dxx t a 21 dxdx t a t a 2121 TxTx 2 dxdxTx t abat t abat maxmax xabdx b a 由 可知 是线性有界算子 1 2T 例 2 证明矩阵是线性有界算子 nm ij aA 证明 设 定义 的 n n Rxxxx 2 1 m m Ryyyy 21 mn RR 算子 那么是线性有界算子 由矩阵定义易知 是线性算子 AAA 下面我们证明是有界的 取中的范数为 用分量表示A n R 2 1 1 2 n i i xxAxy 12 为 应用柯西不等式 mixay j n j iji 2 1 1 2 11 22 m i n j jijx ayAx 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 m i n j j n j ij xa 2 11 2 xa m i n j ij 让 可知 是线性有界算子 m i n j ij aM 11 2 A 例 3 证明 通过定义的算 2 1 21 21 n xxx yxxxx n n 子 是线性有界的 llT 证明 显然关于一般定义上的加法和数乘是线性的 下面我们证明是TT 有界的 由于 取 则我们有 xx n x yTx n n n n 11 supsup1 MxTx 1 从而是线性有界算子 T 命题 4 1 4 算子连续 如果 若对任意 21 XXDD Dx 0 0 存在 使得当时 有 那么称在点连续 如果0 0 xx 0 TxTxT 0 x 在上的每一点处都是连续的 那么我们就称在上是连续的 TDTD 4 2 线性有界算子与线性连续算子线性有界算子与线性连续算子 定理 4 2 1 线性有界与线性连续 如果是同一数域上的线性赋范 21 XX K 空间 是线性子空间 的线性算子 那么在上连续等价 1 XD 2 XDT TD 于在上有界 这就是说在研究线性赋范空间有界性时可以研究其上的连续TD 性 例 1 如果是线性赋范空间 是某一常数 令 证X Xx axTx 明 是的线性连续算子 TXX 证明 有 KXyx yxayxT ayax 即为线性算子 又因为 所以 是线性有界TyTx TxaaxTx T 13 算子 由定理 4 2 1 可知 是线性连续算子 T 例 2 用表示上的连续可微函数的全体 那么是的 1 C 10 10 1 C 10 C 10 线性子空间定义如下 证明 T 1 C ba C 10 x 1 C 10 txTx 是 线性无界算子 T 证明 取 那么 但是 所以是 n n ttx 1max 1 0 n t n txnntTx n n 1 T 线性无界算子 4 3 线性有界算子空间线性有界算子空间 命题 4 3 1 线性算子空间 如果是同一数域上的线性赋范空间 21 XX K 那么把的一切线性算子构