2019年河南省开封市高考数学一模试卷(理科).doc

2019年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A（y|y2x，x0，Bx|ylog2（x2），则A（RB）（）A0，1）B（1，2）C（1，2D2，+）2（5分）已知复数z满足（1+i）z1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知函数f（x）sin4xcos4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的最大值为2Cf（x）的图象关于y轴对称Df（x）在区间，上单调递减4（5分）已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，其前n项和为Sn，且b7a7，则S13（）A26B52C78D1045（5分）已知直线m，n和平面，n，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A16B164C322D6447（5分）已知函数f（x），若f（a）1则a的取值范围是（）A1，2）B1，+）C2，+）D（，21，+）8（5分）若x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A，1B，1，+）C0，1D，19（5分）已知数列an中，a1，an+11，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）An2012Bn2015Cn2017Dn201810（5分）已知ABC的内角A，AB6，AC4，O为ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC，设m+n，则m+n的值为（）AB1CD211（5分）已知P是双曲线1（a0，b0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，直线PF2的斜率为4，PF1F2的面积为24，则双曲线的离心率为（）A3B2CD12（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A（0，B（0，C（0，D（0，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（1x）10的展开式中，x3的系数等于 14（5分）已知向量（1，），（3，m），则在方向上的投影为3，则向量与的夹角为 15（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn满足a12，3Sn（n+m）an，（mR），且anbnn，若存在nN*，使得+TnT2n成立，则实数的最小值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知cacosB+bsinA（）求A（）若a2，求ABC面积的最大值18（12分）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE平面BCE，且AE1（）求证：平面ABCD平面ABE；（）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥ABFE所成角的余弦值为？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点F与椭圆+1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M（）求抛物线的标准方程；（）求的最小值20（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如表所示：分数a95a10085a9575a8560a75a60人数25501005025参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.40.3（）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K2，其中na+b+c+d21（12分）已知函数f（x）（）当ab1时，求函数f（x）的极值；（）若f（1）1，且方程f（x）1在区间（0，1）内有解，求实数a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l和曲线C的极坐标方程；（）已知射线OP：1（其中0）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：2与直线l交于Q点，若OPQ的面积为1，求的值和弦长|OP|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+a|，g（x）|x1|（）若f（x）+2g（x）的最小值为1，求实数a的值；（）若关于x的不等式f（x）+g（x）1的解集包含，1，求实数a的取值范围2019年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A（y|y2x，x0，Bx|ylog2（x2），则A（RB）（）A0，1）B（1，2）C（1，2D2，+）【解答】解：集合A（y|y2x，x0y|y1（1，+），Bx|ylog2（x2）x|x20x|x2，则RBx|x2（，2，A（RB）（，2故选：C2（5分）已知复数z满足（1+i）z1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：由（1+i）z1+i，得z，复平面内与复数z对应的点的坐标为（），在第四象限角故选：D3（5分）已知函数f（x）sin4xcos4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的最大值为2Cf（x）的图象关于y轴对称Df（x）在区间，上单调递减【解答】解：f（x）sin4xcos4xsin2xcos2xcos2x，函数的最小正周期T，f（x）cos（2x）cos2xf（x），f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，f（x）cos2x在，上单调递减，故f（x）cos2x在，上单调递增故选：C4（5分）已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，其前n项和为Sn，且b7a7，则S13（）A26B52C78D104【解答】解：等比数列an中，a3a114a7，可得a724a7，解得a74，数列bn是等差数列中b7a74，则S1313（b1+b13）13b713452故选：B5（5分）已知直线m，n和平面，n，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：直线m，n和平面，n，则“mn”与“m”相互推不出“mn”是“m”的既不充分也不必要条件故选：D6（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A16B164C322D644【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为2，宽为4高为2的长方体，挖去一个半径为1，高为4的圆柱构成，故：V2，16故选：A7（5分）已知函数f（x），若f（a）1则a的取值范围是（）A1，2）B1，+）C2，+）D（，21，+）【解答】解：函数f（x），若f（a）1，可得：或，解：，可得：1a2；解得a2综上a1故选：B8（5分）若x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A，1B，1，+）C0，1D，1【解答】解：作出x，y满足约束条件的可行域如图：ABC，表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1则的取值范围：，1故选：A9（5分）已知数列an中，a1，an+11，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）An2012Bn2015Cn2017Dn2018【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n1；第1次循环，A121，n1+12；第2次循环，A1+12，n2+13；第3次循环，A1，n3+14；所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A2时，n能被3整除，此时不满足循环条件分析选项中的条件，满足题意的C故选：C10（5分）已知ABC的内角A，AB6，AC4，O为ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC，设m+n，则m+n的值为（）AB1CD2【解答】解：由OAOBOC，得：点O是ABC的外心，又外心是中垂线的交点，则有：，即，又AB6，AC4，12，所以，解得：，即m+n+，故选：A11（5分）已知P是双曲线1（a0，b0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，直线PF2的斜率为4，PF1F2的面积为24，则双曲线的离心率为（）A3B2CD【解答】解：P是双曲线1（a0，b0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，c6，PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y4直线PF2的斜率为4，所以P的横坐标x满足：，解得x5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a137，a3，所以双曲线的离心率为：e2故选：B12（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A（0，B（0，C（0，D（0，【解答】解：如图，ABCDa，ACADBCBD2过A作AECD于E，连结BE，则AEBE，又ABa，令，则f（a）16a33a50，解得当a2时，（VABCD）max此三棱锥体积的取值范围是（0，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（1x）10的展开式中，x3的系数等于120【解答】解：（1x）10的展开式中，Tr+1（x）r，令r3，则T4x3，则x3的系数120故答案为：12014（5分）已知向量（1，），（3，m），则在方向上的投影为3，则向量与的夹角为【解答】解：根据题意，设向量与夹角为，向量（1，），（3，m），则|2，3+m，若在上的投影为3，则有3，解可得：m3，则（3，3），则|6，则cos，又由0，则，故答案为：15（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是【解答】解：由题意，设DF2AF2a，且a0，由DFE，AFC；DEF的面积为SDEF2a2asina2，AFC的面积为SAFCa3asina2，在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P故答案为：16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn满足a12，3Sn（n+m）an，（mR），且anbnn，若存在nN*，使得+TnT2n成立，则实数的最小值为【解答】解：3Sn（n+m）an，3S13a1（1+m）a1，解得m2，3Sn（n+2）an，当n2时，3Sn1（n+1）an1，由可得3an（n+2）an（n+1）an1，即（n1）an（n+1）an1，累乘可得ann（n+1），经检验a12符合题意，ann（n+1），nN*，anbnn，bn，令BnT2nTn+，则Bn+1Bn0，数列Bn为递增数列，BnB1，存在nN*，使得+TnT2n成立，B1，故实数的最小值为，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知cacosB+bsinA（）求A（）若a2，求ABC面积的最大值【解答】解：（）由已知及正弦定理得sinCsinAcosB+sinBsinA又A+B+C，故有sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB由 得sinAcosA即tanA1，又；（）ABC的面积为，又已知及余弦定理可得，当且仅当bc时，等号成立，即面积最大值为18（12分）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE平面BCE，且AE1（）求证：平面ABCD平面ABE；（）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥ABFE所成角的余弦值为？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（）证明：AE平面BCE，AEBE，AEBC，又BCAB，BC平面ABE，平面ABCD平面ABE；（）以A为原点建立空间坐标系如图，AE1，AB2，AEBE，BE，设AFh，则F（0，0，h），E（），B（0，2，0），设平面BEF的一个法向量为，则，取y1，得，易知，为平面ABF的一个法向量，由题意得：，解得：h1，故当F为AD中点时，满足题意19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点F与椭圆+1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M（）求抛物线的标准方程；（）求的最小值【解答】解：（）由椭圆+1知，其右焦点为（1，0），即抛物线的焦点为F（1，0），1，解得p2；抛物线C的标准方程为y24x；（）当动弦AB所在的直线斜率不存在时，易得|AB|2p4，2；当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0，设AB所在直线方程为yk（x1），且A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y得k2x22（k2+2）x+k20；x1+x2，x1x21，且16（k2+1）0；|AB|x1x2|；FM所在的直线方程为y（x1），联立方程组，求得点M（1，），|MF|2，22；综上所述，的最小值为220（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如表所示：分数a95a10085a9575a8560a75a60人数25501005025参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.40.3（）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K2，其中na+b+c+d【解答】解：（）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50200250没有学习大学先修课程1009001000总列联表可得K218.9396.635在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系（）（i）由题意得所求概率为：p0.9+（ii）设获得高校自主招生通过的人数为X，则XX（4，），P（X4）k0，1，2，3，4，X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数为1509021（12分）已知函数f（x）（）当ab1时，求函数f（x）的极值；（）若f（1）1，且方程f（x）1在区间（0，1）内有解，求实数a的取值范围【解答】解：（）当ab1时，则，解不等式f（x）0，得0x1，所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增；解不等式f（x）0，得x0或x1，所以，函数f（x）在（，0）和（1，+）上单调递减，因此，函数f（x）的极小值为f（0）1，极大值为f（1）；（）由f（1）1得be1a，由f（x）1，得exax2+bx+1，设g（x）exax2bx1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0为g（x）在（0，1）内的一个零点，由g（0）g（1）0知，g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不单调，设h（x）g（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上均存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点g（x）ex2axb，h（x）ex2a当时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）不可能有两个及以上的零点；当时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）不可能有两个及以上的零点；当时，令h（x）0，得xln（2a）（0，1），所以，h（x）在（0，ln（2a）上单调递减，在（ln（2a），1）上单调递增，h（x）在（0，1）上存在极小值h（ln（2a），若h（x）有