机器人学基础_第2章_数学基础.ppt

1 中南大学蔡自兴 谢斌zxcai xiebin 2010 机器人学基础第二章数学基础 1 Ch 2MathematicalBasis FundamentalsofRobotics FundamentalsofRobotics 2 Review 2 CourseSchedule Top10RoboticsNewsof2008 DevelopmentofRobotics Structure Feature andClassificationofRobots RoboticsandAI FundamentalsofRobotics 3 Contents RepresentationofPositionandAttitude CoordinateTransformation HomogeneousTransformation TransformationofObject GeneralRotationTransformation 3 Ch 2MathematicalFoundations 4 4 Ch 2MathematicBasis 2 1RepresentationofPositionandAttitude位置和姿态的表示DescriptionofPosition 2 1RepresentationofPositionandAttitude 5 5 2 1RepresentationofPositionandAttitude DescriptionofOrientation 2 1RepresentationofPositionandAttitude 6 6 DescriptionofFrames相对参考系 A 坐标系 B 的原点位置和坐标轴的方位 分别由位置矢量 PositionVector 和旋转矩阵 RotationMatrix 描述 这样 刚体的位姿 位置和姿态 可由坐标系 B 来描述 即 2 1RepresentationofPositionandAttitude 2 1RepresentationofPositionandAttitude 7 Contents RepresentationofPositionandAttitude CoordinateTransformation HomogeneousTransformation TransformationofObject GeneralRotationTransformation 7 Ch 2MathematicalFoundations 8 8 2 2CoordinateTransformation坐标变换 平移坐标变换 TranslationTransform 2 2CoordinateTransformation 9 9 旋转坐标变换 RotationTransform 2 2CoordinateTransformation 2 2CoordinateTransformation 10 10 Rotationaboutanaxis 2 2CoordinateTransformation 2 2CoordinateTransformation 11 11 2 2CoordinateTransformation Rotationaboutanaxis 2 2CoordinateTransformation 12 12 复合变换 CompositeTransform 2 2CoordinateTransformation 2 2CoordinateTransformation 13 例2 1已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于坐标系 A 的zA轴转30 再沿 A 的xA轴移动12单位 并沿 A 的yA轴移动6单位 求位置矢量ApB0和旋转矩阵 假设点p在坐标系 B 的描述为Bp 3 7 0 T 求它在坐标系 A 中的描述Ap 13 2 2CoordinateTransformation 解 2 2CoordinateTransformation 14 例2 1已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于坐标系 A 的zA轴转30 再沿 A 的xA轴移动12单位 并沿 A 的yA轴移动6单位 求位置矢量ApB0和旋转矩阵 假设点p在坐标系 B 的描述为Bp 3 7 0 T 求它在坐标系 A 中的描述Ap 14 2 2CoordinateTransformation 解 2 2CoordinateTransformation 15 例2 1已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于坐标系 A 的zA轴转30 再沿 A 的xA轴移动12单位 并沿 A 的yA轴移动6单位 求位置矢量ApB0和旋转矩阵 假设点p在坐标系 B 的描述为Bp 3 7 0 T 求它在坐标系 A 中的描述Ap 15 2 2CoordinateTransformation 解 2 2CoordinateTransformation 16 Contents RepresentationofPositionandAttitude CoordinateTransformation HomogeneousTransformation TransformationofObject GeneralRotationTransformation 16 Ch 2MathematicalFoundations 17 已知一直角坐标系中的某点坐标 则该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得 所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n 1维向量来表示 一个向量的齐次表示是不唯一的 比如齐次坐标 8 4 2 4 2 1 表示的都是二维点 2 1 齐次坐标提供了用矩阵运算把二维 三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames齐次坐标变换 17 2 3HomogeneousTransformation 18 18 HomogeneousTransformationMatrixForm 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 19 例2 2已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于坐标系 A 的zA轴转30 再沿 A 的xA轴移动12单位 并沿 A 的yA轴移动6单位 假设点p在坐标系 B 的描述为Bp 3 7 0 T 用齐次变换方法求它在坐标系 A 中的描述Ap 19 解 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 20 例2 2已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于坐标系 A 的zA轴转30 再沿 A 的xA轴移动12单位 并沿 A 的yA轴移动6单位 假设点p在坐标系 B 的描述为Bp 3 7 0 T 用齐次变换方法求它在坐标系 A 中的描述Ap 20 解 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 21 21 HomogeneousTransformationofTranslation空间中的某点用矢量ai bj ck描述 该点也可表示为 对已知矢量u x y z w T进行平移变换所得的矢量v为 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 22 22 HomogeneousTransformationofRotation 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 23 23 例2 3已知点u 7i 3j 2k 将u绕z轴旋转90 得到点v 再将点v绕y轴旋转90 得到点w 求点v w的坐标 解 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 24 24 例2 3已知点u 7i 3j 2k 将u绕z轴旋转90 得到点v 再将点v绕y轴旋转90 得到点w 求点v w的坐标 解 如果把上述两变换组合在一起 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 25 25 若改变旋转次序 首先使u绕y轴旋转90 再绕z轴旋转90 会使u变换至与w不同的位置w1 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 26 26 例2 4已知点u 7i 3j 2k 将u绕z轴旋转90 得到点v 再将点v绕y轴旋转90 得到点w 最后进行平移变换4i 3j 7k 求最终的坐标 解 把上述三变换组合在一起 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 27 27 例2 4已知点u 7i 3j 2k 将u绕z轴旋转90 得到点v 再将点v绕y轴旋转90 得到点w 最后进行平移变换4i 3j 7k 求最终的坐标 解 则 2 3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames 2 3HomogeneousTransformation 28 28 Wearegivenasingleframe A andapositionvectorAPdescribedinthisframe WethentransformAPbyfirstrotatingitaboutbyanangle thenrotatingaboutbyanangle Determinethe3 3rotationmatrixoperator whichdescribesthistransformation 例2 5 Example2 5 2 3HomogeneousTransformation Solution SupposethefirstrotationconvertsAP AP andthesecondrotationconvertsAP AP Thenwehave 29 29 Wearegivenasingleframe A andapositionvectorAPdescribedinthisframe WethentransformAPbyfirstrotatingitaboutbyanangle thenrotatingaboutbyanangle Determinethe3 3rotationmatrixoperator whichdescribesthistransformation Example2 5 2 3HomogeneousTransformation Solution 30 Contents RepresentationofPositionandAttitude CoordinateTransformation HomogeneousTransformation TransformationofObject GeneralRotationTransformation 30 Ch 2MathematicalFoundations 31 31 2 4TransformationandInverseOneofObject物体的变换及逆变换 Descriptionofpositionofanobject我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在空间的位置和方向 例如 下图所示物体可由坐标系内固定该物体的六个点来表示 2 4TransformationofObjects 32 32 2 4TransformationandInverseTransformationofObject物体的变换及逆变换 Descriptionofpositionofanobject如果首先让物体绕z轴旋转90 接着绕y轴旋转90 再沿x轴方向平移4个单位 则该变换可描述为 2 4TransformationofObjects 33 33 2 4TransformationandInverseTransformationofObject物体的变换及逆变换 Descriptionofpositionofanobject上述楔形物体的六个点变换如下 2 4TransformationofObjects 34 34 CompoundTransformation给定坐标系 A B 和 C 若已知 B 相对 A 的描述为 C 相对 B 的描述为 则 2 4TransformationandInverseTransformationofObject 定义复合变换 2 4TransformationofObjects 35 35 InverseTransformation从坐标系 B 相对 A 的描述 求得坐标系 A 相对 B 的描述 是齐次变换求逆问题 对于给定的 求解 等价于给定和计算和 2 4TransformationandInverseTransformationofObject 2 4TransformationofObjects 36 36 InverseTransformation对于给定的 求解 等价于给定和计算和 2 4TransformationandInverseTransformationofObject 2 4TransformationofObjects 37 37 Givenatransformationmatrix Find 例2 6 Example2 6 2 3HomogeneousTransformation Solution 38 38 TransformEquations 2 4TransformationandInverseTransformationofObject 2 4TransformationofObjects 39 Contents RepresentationofPositionandAttitude CoordinateTransformation HomogeneousTransformation TransformationofObject GeneralRotationTransformation 39 Ch 2MathematicalFoundations 40 40 设想f为坐标系 C 的z轴上的单位矢量 2 5GeneralRotationTransformation 2 5GeneralRotationTransformation通用旋转变换 绕矢量f旋转等价于绕坐标系 C 的z轴旋转 41 41 如果已知以参考坐标描述的坐标系 T 那么能够求得以坐标系 C 描述的另一坐标系 S 因为T绕f旋转等价于绕坐标系 C 的z轴旋转 2 5GeneralRotati