浅谈多元函数的连续.doc

精品文档目录1引言 .12 多元函数的连续、偏导数及可微. . .1 2.1 多元函数的连续性.12.2 多元函数的偏导数.32.3 多元函数的可微性.42.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系. 72.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系.72.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系. 82.4.3 二元函数的连续性与可微性间的关系.103 小结. .11参考文献.12致谢辞.1318欢迎下载18欢迎下载。1 引言对于一元函数而言，函数在极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的，即可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续.简单表示为：可微连续极限存在(且不可逆)对于二元函数而言，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，可以证明，若二元函数在点(,)可微，则函数在点（，） 连续，偏导存在；若二元函数的两个偏导数（x,y）与(x,y)在点（，）连续，则函数在（，）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续可微(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些.下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性，进而到它们之间的关系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1 多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数来说，即使它在某点既存在关于x的偏导数，又存在关于y的偏导数，也未必在连续.甚至，即使在的某邻域存在偏导数（或），而且（或）在点连续，也不能保证在连续.如函数关于具体验算步骤不难得出.不过，我们却有如下的定理.定理1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为y的一元函数在点y=连续，在内有界，则在点连续.证明 任取 ，则 （1）由于在存在，故对于取定的，作为x的一元函数在以和为端点的闭区间上可导，从而据一元函数微分学中的Lagrange中值定理，存在，使= 将它代入（1）式得 （2）由于 ，故有界，因而当时，有 又，据定理的条件知，在连续，故当时，又有所以，由（2）知，有 =0这说明在连续.同理可证如下的定理定理2 设函数在点的某邻域有定义，在内有界，作为x的一元函数在点连续，则在点连续.定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.定理 35 设函数在点的某邻域内有定义，在有界作为的n-1元函数在点连续，则 在点连续.证明 任取，则=由于在内存在，故对于固定的作为的一元函数在以和为端点的闭区间上可导，从而据一元微分学中的Lagrange中值定理，存在，使-=由于故有界因而，当时，.又，据定理的条件知，作为的元函数在点连续，故当时，有所以，由（3）知，当时，有这说明在点连续. 证毕.2.2多元函数的偏导数 我们知道高等数学及数学分析教材中有：此式成立的条件为：偏导数和在都连续.下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件.定理4 若函数在的某邻域内偏导数，及存在，且在对y连续，则偏导数在存在，且 证明 不妨设的邻域为 ：又设x在有增量，y在有增量，则要证极限 （1） 存在且值为.因为在存在，所以及 都存在，将其代入（1）式右端得（2）作辅助函数 因为在存在，所以在存在，故对函数，在以和为端点的区间上应用Lagrange中值定理，得 而由的构造可知，上式即 将其代入（2）式右端得 又因为在存在，所以 （在对y连续）定理得证.2.3 多元函数的可微性考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断.熟知函数在点可微的必要条件是各个偏导数在处存在.如果函数在处的全增量可表示为：z=Ax+By+则常数A与B一定为A=() B=() 且函数在处可微.于是验证函数可微性的一个方法是检验极限：是否等于零,然而这先要求偏导数A=和B=.有无可能不求偏导数，而设法判断可微性？例1 考虑函数Z=在（0，0）处的可微性.由 =知 能否判定此函数在（0，0）可微？事实上，上式极限等价于或写成由全微分定义即知此函数在（0,0）可微，且=0这个例子启示我们有可能通过考察极限判断某些函数的可微性.我们可以证明如下的定理定理52 设n元函数在的某个邻域内有定义，且极限存在，记为(1) 若，则函数在处不可微；(2) 若=0，则函数在处可微且，其中.我们以二元函数为例证明.证明（1）反证.设函数在处可微，则 由及上式可得 考察等式两边的极限.令，则左= 极限不存在 （）右= 矛盾.故函数在处不可微.（2）若 即 则有 故z=f(x,y)在处可微.且 这时有需要说明的是，不存在时，函数在点的可微性不确定. 我们熟知如果一个多元函数的所有偏导数在某一点都存在并连续，则它一定在该点可微.那么是不是非得满足这一条件才可微呢？以下我们介绍一个较弱条件小关于多元函数可微的定理.定理63 若n+1元函数关于y的偏导数对n+1个变量连续，关于可微（即把中的y看成常数后可微），则n+1元函数可微.证明 因为关于可微，所以 = （1）其中有因为关于y有连续的偏导数，有Lagrange 中值定理，在b与b+之间存在满足=由连续性有其中，所以 = （2）（1）+（2）得=因为，所以，即可微.推论 若n(n2)元函数的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则可微.证明 对n作数学归纳.当n=2时，不妨设连续，而由一元函数可导与可微的关系知关于可微，由定理可微.设n=k时结论成立，则当n=k+1时，不妨设关于有连续偏导数，此时仍最多有一个不连续，由假设关于可微.所以可微.2.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系.2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系(1) 函数在点连续，但偏导不一定存在.例 2证明函数在点连续偏导数不存在.证明：因为 ， 故函数在点连续.由偏导数定义： 故不存在.同理可证也不存在.(2)函数在点偏导存在，但不一定连续.例 3 函数在点处，存在，但不连续证明 由偏导数定义： 同理可求得因为故函数在点处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系.2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系(1) 可微与偏导存在定理7 （可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导都存在，且注1 定理1的逆命题不成立，及二元函数在点处的偏导即使存在，也不一定可微.例4 证明函数在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：同理可求得下面利用可微的定义来证明其不可微性.用反证法.若函数f在原点可微，则应是较的高阶无穷小量，为此考察极限当动点沿直线趋于时，则这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f在原点不可微.(2) 偏导连续与可微定理8 （可微的充分条件）若二元函数的偏导在点的某邻域内存在，且与在点处连续，则函数在点可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.例5 证明函数在点（0，0）处可微，但，在（0，0）点却间断.证明 ，有（1）当y=x时，极限不存在，则在（0，0）点间断.同理可证在（0，0）点间断.（2）因 则从而即函数在点（0，0）可微.2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系类似于一元函数的连续性与可微性间的关系，即二元函数在可微则必然连续，反之不然.例6 证明函数在点（0，0）连续，但它在点（0，0）不可微.证明 （1）因为故函数在点连续.（2）因为 所以当动点沿着线 趋于时，有即，故在原点不可微.综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示： 偏导连续可微连续偏导存在3 小结对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系的研究，是多元微分学中的一个难点.本文在分别给出了一系列关于多元函数可微、可偏导，可连续的定理之后，主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些探讨.和一元微分学相比，尽管多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但一元函数到多元函数确有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技巧上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要紧紧抓住这两个特点，既看到它们的相同之处，又要注意不同之点.参考文献： 1 同济大学应用数学系，高等数学.（第五版，下册）M 北京：高等教育出版社，2002，6. 2 刘波,李晓楠 .关于多元函数可微性的一个注记J高等数学研究，2008.3：3638. 3 汪明瑾 . 一个关于多元函数可微的定理 J 高等数学研究，2001.3：8. 4 李晓芬 . 关于混合偏导求导次序无关的条件J 山西师大学报（自然科学版）1996.6：12.5 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论 J 韶关学院学报（自然科学版）2002.6:14. 6 华东师范大学数学系.数学分析（三版）M北京：高等教育出版社，2004，5. 7 张鸿,门艳红 . 讨论二元函数连续性、偏导存在性、及可微性间关系J 哈尔滨师范大学自然科学学报，2006.1：3234. 8 周良金,王爱国 .偏导数存在、函数连续及可微间的关系J高等函授学报（自然科学版）， 2005，10：3440. 9 刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义（三版）M北京：高等教育出版社，2001，2. 10 刘玉琏，等数学分析讲义学习辅导书（二版）M北京：高等教育出版社，2004，7.谢辞经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的论文指导老师张璐老师.张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导.除了敬佩张老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样