极限存在准则,两个重要极限.doc

精品文档极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限1、1000个0相加，极限等于0。2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。3、，其中，极限不能确定。对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且.证： 取上两式同时成立, 当时，恒有 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于.准则 I和准则 I称为夹逼准则。【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1 求解： 由夹逼定理得：【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2. 单调有界准则准则 单调有界数列必有极限.如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在【分析】已知，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证：1、证明极限存在a) 证明有上界，设，则所以对任意的n，有b) 证明单调上升所以存在2、求极限设，则，解得（舍去）所以=2二、两个重要极限1.如右图所示， 例3 求下列极限（1）解：原极限 （2）解：原极限=1（）（3）解：原极限=；2. ，；“”型【说明】（1）上述三种形式也可统一为模型（2）第二个重要极限解决的对象是型未定式。例如，例4 求下列极限（1）解：原极限 （2）解：原极限=【补充】“”型计算公式：其中时，。证明：例5 求下列极限（1）【分析】是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式解：=1（2）【分析】是幂指函数，“”型，考虑用“”型计算公式。解：原极限。（3）【分析】是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。解：原极限=【思考题1】设有k个正数，令=，求 （“大数优先”准则）。解：而，所以由夹逼准则：【思考题2】设，求解：显然 。因为，所以数列有下界。又因为，所以数列单调下降，即存在。设=，则，解得，所以=【思考题3】求；解：原极限=【思考题4】求极限解： 【课堂练习】求 。解：而 ，所以 原极限【内容小结】1、 夹逼准则 当时，有，且=，则。2、单调有界准则 （1）单调上升有上界的数列，极限一定存在；（2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。3、两个重要极限 （1）