几何体外接球内切球相关知识汇总.pdf

1 特殊三角形边角关系 边边关系必须倒背如流 sinA cosB cosA sinB tanA tanB 3 a c b b 3a c c 2a b sinA cosB cosA sinB tanA 1 tanB 1 a b c c 2a 2b 2 海伦 秦九韶公式 设三角形三条边分别为 面积为 S 则 S 3 三角形的四心 设三角形三条边分别为 面积为 S 正三角形四心重合正三角形四心重合 外心 三角形外接圆的圆心 即三条边垂直平分线的交点 锐角三角形外心在三角形内部 钝角三角形外心在三角形外部 直角三角形外心即是斜边的中点 外接圆半径 R 内心 三角形内切圆的圆心 即三个内角角平分线的交点 所有三角形的内心均在三角形 的内部 内切圆半径 R 重心 三条边中线的交点 所有三角形的重心均位于三角形的内部 重心性质 a 重心到 顶点的距离与重心到对边中点的距离比是 2 1 b 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角 形面积相等 即重心到三条边的距离与三条边的长成反比 c 重心到三角形 3 个顶点的距 离的平方和最小 d 在平面直角坐标系中 如果表示三角形三个顶点的坐标为 x1 y1 x2 y2 x3 y3 则重心坐标为 垂心 三条高所在直线的交点 锐角三角形垂心位于三角形内部 钝角三角形垂心位于三 角形外部 直角三角形垂心即是直角顶点 垂心分每条高的两部分乘积相等 4 设正方体棱长为 则 其内切球 球与正方体每个面都相切 的直径等于棱长 其外接球 正方体 8 个顶点都在球面上 的直径等于 3 即正方体的体对角线长 其棱切球 球与正方体的每条棱都相切 的直径为 2 即正方体的面对角线 正方体内切球 正方体外接球 正方体棱切球 5 设长方体的棱长分别为 则其外接球直径为 即是长方体的体对角线长 这 一点与正方体相同 长方体没有内切球和棱切球 长方体外接球 6 圆柱外接球 圆柱的上下底面圆周线均在球面上 圆柱的轴线和球的直径所在直线重合 设 圆柱底面半径为 r 高为 h 外接球半径为 R 则有 R 圆柱内切球 球与圆柱的上下底面及侧面均相切 球与圆柱的上下底面相切于一点 即上下 底面的圆心 球与圆柱的侧面相切于一个圆 这个圆是圆柱的横切面圆 也是球的赤道圆 即 用平面切球体时能得到的最大的圆 只有轴切面是正方形的圆柱才有内切圆 即圆柱的高等于 它底面直径 设圆柱底面半径为 r 高为 h 内切球半径为 R 则有 R r 圆柱外接球 圆柱内切球 7 圆锥外接球 圆锥底面圆周线在球面上 圆锥顶点也在球面上 圆锥的轴线和球的直径所在 直线重合 所有圆锥均有外接球 设圆锥底面半径为 r 高为 h 其外接球半径为 R 则有 R 圆锥内切球 球与圆锥底面切于一点 底面的圆心 球与圆锥侧面相切于一个圆 此圆是 圆锥的一个横切面圆 圆锥轴切面三角形的内切圆即是球的赤道圆 所有圆锥都有内切球 设 圆锥底面半径为 r 高为 h 其内切球半径为 R 则有 R 圆锥外接球 圆锥内切球 8 直棱柱的外接球 棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 所有的直三棱柱都有外接球 直四棱及以上 棱柱未必有外接球 只有其底面各顶点共圆的直多棱柱才有外接球 顶底面为直角三角形的直三棱柱 其外接球的球心位于顶底面斜边中点连线的中点 外心连 线中点 用补形法可以很好理解并求出其外接球的球心 设直三棱柱底面两直角边分别为 直三棱柱高为 其外接球半径为 R 则 R 顶底面为正三角形的直三棱柱 其外接球的球心位于顶底面中心连线的中点 外心连线中点 设直三棱柱底面边长为 直三棱柱高为 其外接球半径为 R 则 R 顶底面为普通三角形的直三棱柱 其外接球的球心位于顶底面外心连线中点 直棱柱外接球半径统一公式 R 其 r 为直棱柱顶底面外接圆的半径 h 为直棱柱 的高 这个公式适用于所有直棱柱的外接球 如果存在的话 的半 径 如图 ABC A1B1C1为直三棱柱 BAC B1A1C1 90 E 和 E1分别是 上下底面斜边的中点 也即上下底面的外心 O 为 EE1的中点 也即 其外接球的球心 另外 如果拿一个完全一样的直三棱柱 则两个 完全一样的直三棱柱可组成一个长方体 底面两直角边及棱柱的高 可视为是此长方体的三条棱 其体对角线 AD1的中点也就是外接球的 球心 外接球半径 R 如图 ABC A1B1C1为直三棱柱 ABC 和 A1B1C1是正三角形 E 和 E1 分别是上下底面的中心点 同时也是外心 O 为 EE1的中点 也即其 外接球的球心 外接球半径 R OB 其中 实际上是底面三角形外接圆的半径 而 AA1就是直三棱柱的高 9 三棱锥 四面体 的外接球 所有的三棱锥均有外接球 当三棱锥的 4 个顶点都在球面上时 这个球就是此三棱锥的外接球 一个顶点的三个面相互垂直 这时这个顶点就叫做 墙角 可以把此三棱锥补形为长方体 包括正方体 则由此顶点出发的三条棱即为补形后的长方体的三条棱 由于过不共面的 四点有且仅有一个球 过不共面的 四点有且仅有一个球 所以补形后的长方体其余四个顶点也必在该三棱锥外接球的球面上 互为异面的两条棱分别垂直于一个底面 也可以补形为长方体 则三条两两垂直的棱即为补 形后长方体的三条棱 正四面体 即 6 条棱都相等 每个面都是正三角形 设正四面体的棱长为 则底面外接圆 半径为 底面积为 高为 体积为 外接球半径 R 正三棱锥 即底面是正三角形 侧面是三个全等的等腰三角形 显然 正四面体也是正三棱 锥的一种 设正三棱锥底面边长为 侧面腰长为 则此正三棱锥底面外接圆半径为 底面积为 高为 体积为 外接球半径 R 普通三棱锥的外接球 设一个面为底面 找出此面的外心 过外心做此底面的垂线 在此垂 线上找一点 使得此点到三棱锥的顶点和到任意一个底面顶点的距离相等 此垂线上任意一 点到底面三个顶点的距离都相等 则该距离就是外接球的半径 实际上这个方法适用于求 所有锥体 四棱锥 五棱锥等多棱锥 外接球的半径 如右图 已知在三棱锥 P ABC 中 平面 PAB 平面 PAC 平面 PAB 平面 ABC 平面 ABC 平面 PAC 或者这样描述 PA 平面 ABC CA 平面 PAB 也中以这样描述 PA AB PA AC AB AC 则 A 点就是一个 墙角 可以把此三棱锥补全为一个长方 体 从而可求得其外接球直径 如右图 已知在三棱锥 P ABC 中 平面 PAB 平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC 平面 PBC 平面 PAC 或者这样描述 PA 平 面 ABC BC 平面 PAC 也中以这样描述 PA AC BC AC PA BC 则也可以把此三棱锥补全为一个长方体 从而可求得其 外接球直径 如右图 已知在正四面体 P ABC 中 PA PB PC AB BC CA D 为 BC 边中点 连接 AD E 为 ABC 中心 外心 E 点必在 AD 上 连接 PE 在 PE 上找到一点 O 连接 OA 使得 OP OA R R 为此四面体外接球半径 PE 必垂直平面 ABC 易求得 R 如右图 已知在正三棱锥 P ABC 中 AB BC CA PA PB PC D 为 BC 边中点 连接 AD E 为 ABC 中心 外心 E 点必在 AD 上 连接 PE 在 PE 上找到一点 O 连接 OA 使得 OP OA R R 为此三棱锥外接球半径 PE 必垂直平面 ABC 易求得 R 10 正四棱锥外接球 正四棱锥的底面是正方形 侧面是四个全等的等腰三角形 设正四棱锥底面 边长为 侧面腰长为 则此正四棱锥底面积为 底面外接 圆半径为 高为 体积为 易求得 其外接球的半径 R 特别地 当 时 R 11 正棱锥内切球 球与棱锥每个面都相切于一点 所有的三棱锥 无论是否是正三棱锥 都有内 切球 而四棱或以上棱锥则未必有内切球 正四面体内切球 正四面体每条棱都相等 切点在每个面的中心 正三棱锥内切球 正三棱锥底面是正三角形 侧面是三个全等的等腰三角形 底面的切点在 底面的中心 侧面的切点在侧面底边的中线上 正四棱锥内切球 正四棱锥底面为正方形 侧面为 4 个全等的等腰三角形 底面的切点在底 面的中心 而侧面的切点在侧面的底边的中线上 已知正四面体 P ABC 中 每条棱长均为 其内切球半径为 R 右图为其棱切面 过一条棱 PA 和底面中线 AD 所在的平面 图 则由 对称性可知该切面必过内切球的球心 且球的切面圆必与底面的中心 及侧面的中心相切 图中 E 为底面中心 F 为侧面 PBC 的中心 PD 为侧面PBC边BC上的中线 则PE为正四面体的高 PE必过球心O OF OE R OF PD OE AD AD PD DE DF PE 易求得 R 已知正三棱锥 P ABC 中 底面三角形 ABC 为正三角形 其边长为 三个侧面为全等的等腰三角形 腰长为 其内切球半径为 R 右图 为其棱切面 过一条棱 PA 和底面中线 AD 所在的平面 图 则由对称性 可知该切面必过内切球的球心 且球的切面圆必与底面的中心及侧面中线 上的一点相切 图中 E 为底面中心 F 为侧面 PBC 的 BC 边上的中线上 的切点 PD 为侧面 PBC 边 BC 上的中线 则 PE 为正三棱锥的高 PE 必过球心 O OF OE R OF PD OE AD AD PD DE DF PF PE 易求得 R 已知正四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为正方 形 其边长为 四个侧面为全等的等腰三角形 腰长 为 其内切球半径为 R 右图为侧面中线切面 过相 对的两个侧面三角边形底边上的中线 PE 和 PF 所在的 平面 图 则由对称性可知该切面必过内切球的球心 且球的切面圆必与底面的中心及两侧面中线上的一点 相切 图中 M 为底面中心 E 为侧面 PBC