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精品文档 “对数平均数不等式”应用举隅江苏省姜堰中学 张圣官（225500）已知为两不等的正实数，我们称为的“对数平均数”它与的“几何平均数”及“算术平均数”之间有如下不等关系：证明：不妨设先证，即证， 令，设， 则，所以在递减，而，因此当时，恒成立，即成立 再证，即证， 令， 则，所以在递增，而，因此当时，恒成立，即成立 该不等式本身的证明乃通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析 例1 已知函数（1）当时，求过点的曲线的切线方程；（2）当存在两个不同零点时，求证： 分析：第（1）题易得切线方程为；第（2）题中我们先要探究：当存在两个不同零点时，需要具备什么条件，又能推得什么结论？转化为研究曲线和直线，当直线与曲线相切时，设切点为，则切线方程为，因此这样当存在两个不同零点时，必有进一步思考，要证明，可转化为证明，或等思路 方法一：即要证，令，由于，所以，为方程的两根由于，所以在递增，在递减 设，则，在递增， 从而，当时，即， 所以，因此，即原不等式成立 方法二：即要证，由于，因而， 令，则， 在递增，在递减 设，其在递减，所以， 所以，从而， 由此得，即 本题是近年来流传甚广的一道题，其条件结论非常优美以上两种方法散见于各种资料上，它们的特点均是通过构造辅助函数来帮助论证的总的来说，解题过程较为繁琐，而且要经过两次构造函数才行现在让我们换一种思路，将指数关系转化为对数关系，这样刚才的对数平均数不等式或许就能够帮得上忙以下解法令人拍案叫绝，真的是“大道至简”！ 方法三：由于，因而，由对数平均数不等式知， 从而，即 例2（2010年天津高考理科21题）已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函数y=的图象与函数y=的图象关于直线对称，证明：当时，；（）如果，且，证明： 分析：（）、（）略（）由前知，是函数的极值点，不妨设，则根据，有，即 ，按照常规思路，一般设，则，然后通过构造函数来解决但如此需要两次构造函数过程繁琐，而且还要用到像罗必塔法则这样高等数学的知识还是让我们调整一下思路，利用对数平均数不等式试试看将两边取自然对数得，故，由对数平均数不等式知，即 例3 (2014年江苏省南通二模试题)设函数，其图像与轴交于两点，且（）求实数的取值范围；（）求证：解：（）由，当时，单调递增，不合题意；当时在递减，在递增，则根据条件有两个零点得，从而实数的取值范围为（）由，两式相减得，从而， 在以上的对数平均数不等式中，将分别赋值为，则得 ，即，又是单调增函数，且，故例4（2011年辽宁高考理科压轴题）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：当时 ，；（3）若函数的图象与轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：分析：（1）、（2）略；（3）由（1）知时在单调递减且已知函数的图象与轴交于A、B两点，设，由得，故，所以故要证，即证，即证，也即只需证由对数平均数
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