心理学统计 第四章 离散量.ppt

第四章离散量 主讲 任杰 2020 3 15 第四章离散量 2 离散量 离散量 反映一组数据离散趋势或离散程度的统计量 用来表示一组数据的分散情况 次数分布的两个基本特征 中心位置与离散性 2020 3 15 第四章离散量 3 图例 2020 3 15 第四章离散量 4 离散量 方差与标准差 标准分数 全距 平均差 差异系数 离散量的种类 相对差异量 绝对差异量 百分位差 2020 3 15 第四章离散量 5 第一节全距与百分位差 一 全距全距 即一组数据中最大值与最小值的差 常用大写字母R表示 Range Max Min 2020 3 15 第四章离散量 6 第一节全距与百分位差 一 全距全距 即一组数据中最大值与最小值的差 常用大写字母R表示 Range Max Min 用全距表示一组数据的离散程度是非常粗略和不准确的 2020 3 15 第四章离散量 7 二 百分位数与百分等级 一 百分位数把一个次数分布排序之后 分为100个单位 则某个特定百分点对应的原始分数即为百分位数 它表明在次数分布中有该特定百分数的数据低于该分数 通常用P加下标p 代表某个特定百分点 表示 如 P75 78代表有75 的数据小于78 2020 3 15 第四章离散量 8 二 百分位数与百分等级 一 百分位数计算公式 2020 3 15 第四章离散量 9 二 百分位数与百分等级 一 百分位数 2020 3 15 第四章离散量 10 二 百分位数与百分等级 一 百分位数例 在上表中 假设老师要对全班的前15 的学生进行奖励 请问至少要多少分才能获得奖励 2020 3 15 第四章离散量 11 二 百分位数与百分等级 二 百分等级分数某个已知原始分数在其所处分布中的相对位置叫百分等级分数 通常用PR表示 2020 3 15 第四章离散量 12 二 百分位分数与百分等级 二 百分等级分数计算公式 2020 3 15 第四章离散量 13 二 百分位数与百分等级 例 在上表中 假设某位学生考了76分 请问全班有多少人排在他的前面 2020 3 15 第四章离散量 14 二 百分位数与百分等级 百分位数与百分等级的关系 二者都是用来表示个体在团体中的相对地位 计算过程相反 一个是由百分数计算原始分数 另一个是由原始分数计算百分数 2020 3 15 第四章离散量 15 三 百分位差与四分位差 一些常用的百分位数Q1 P25 即第25 点对应的原始分数 是第一个四分位数Q2 第二个四分位数Q3 第三个四分位数例 2020 3 15 第四章离散量 16 三 百分位差与四分位差 百分位差 例 用P10和P90之间的距离作为差异量数 即百分位差 作用 比全距更精确 更稳定 不易受两极端数据的影响 2020 3 15 第四章离散量 17 三 百分位差与四分位差 四分位差 例 百分位差的一种 通常用符号Q表示 指在一个次数分布中 中间50 的次数的距离的一半 Q Q3 Q1 2 2020 3 15 第四章离散量 18 第二节平均差 方差与标准差 一 平均差 每一个观测值与平均数的距离的和的平均 用A D averagedeviation 表示 xi 叫做离均差 2020 3 15 第四章离散量 19 平均差的应用 平均差是用来表示一组数据离散程度的较好的差异量数 反应灵敏 确定严密 缺点是在计算时要取绝对值 不利于代数方法的运算 也不利于进一步的统计分析 2020 3 15 第四章离散量 20 二 方差与标准差 1 基本定义方差 Variance 也叫变异数 均方 是每个观测值与该组数据的平均数之差平方后和的均值 即离均差平方和的平均数 样本方差和总体方差的计算方法和含义是一致的 但符号不同 前者用S2表示 后者用 2表示 标准差 Standarddeviation 即方差的平方根 样本方差常用符号S或SD表示 总体方差则用 表示 2020 3 15 第四章离散量 21 2 方差与标准差的计算公式 2020 3 15 第四章离散量 22 练习 试推导用原始数据计算方差和标准差的公式 2020 3 15 第四章离散量 23 次数分布表 2020 3 15 第四章离散量 24 计算并思考 计算下列四组数据的平均数 并找出每组数据的最大值和最小值 A 7 7 8 8 8 9 9B 4 5 7 8 9 11 12C 1 4 7 8 9 12 15D 1 8 8 8 8 8 15思考 这四组数据有什么不同 仅仅用平均数能不能反映这组数据的所有特性 为什么 2020 3 15 第四章离散量 25 3 标准差的性质 一组数据的每一个观测值都加上一个常数C 其标准差不变 一组数据的每一个观测值都乘以一个常数C 其标准差为原标准差乘以常数C 2020 3 15 第四章离散量 26 证明并思考 试证明上述标准差的性质并思考在每种情况下数据分布形态的变化 2020 3 15 第四章离散量 27 4 方差与标准差的意义 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标 具有以下优点 反应灵敏 每个数据取值的变化 方差与标准差都会随之变化 有一定的计算公式严密确定 容易计算并适合代数运算 2020 3 15 第四章离散量 28 4 方差与标准差的意义 受抽样变动的影响小 具有可加性 因此可以分解并确定出属于不同来源的变异性 并可进一步说明每种变异对总结果的影响 是以后统计推论部分常用的统计特征数 2020 3 15 第四章离散量 29 三 标准分数及其应用 1 标准分数 StandardScore 又称基分数或Z分数 是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数 2020 3 15 第四章离散量 30 2 标准分数的计算 其中 Xi代表原始分数为一组数据的平均数S为标准差 2020 3 15 第四章离散量 31 例子 计算B组各数据的Z分数及其和 2020 3 15 第四章离散量 32 3 Z分数的性质 在一组数据中 所有由原分数转换得出的Z分数之和为0 其Z分数的平均数也为0 一组数据中各Z分数的标准差为1 2020 3 15 第四章离散量 33 4 Z分数的应用 Z分数可用于比较一组数据中的观测值在该组数据中的相对位置 并可根据Z分数的大小判断该数据距离中心位置的远近 2020 3 15 第四章离散量 34 4 Z分数的应用 Z分数可用于比较性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低 例 我市3岁幼儿的平均身高为90公分 标准差为20公分 平均体重为10公斤 标准差为5公斤 现有一3岁幼童身高100公分 体重15公斤 问该儿童是身高偏高 还是体重更偏重 2020 3 15 第四章离散量 35 4 Z分数的应用 当已知同一样本或对象各不同质的观测值的次数分布为正态时 可用Z分数求不同的观测值的总和或平均值 例 甲 乙 丙三生的某四门功课的成绩如下表 试问三生的总体学习成绩孰优孰劣 2020 3 15 第四章离散量 36 2020 3 15 第四章离散量 37 4 Z分数的应用 Z分数可用来表示标准测验的分数 经过标准化的心理与教育测验 如果其常模分数分布接近正态分布 常常转换成正态标准分数 能更清楚地表明某一分数在相应团体中的位置 2020 3 15 第四章离散量 38 其转换公式为 Z aZ b其中 Z 为正态标准分数a b为常数 通常为该测验总的标准差和总平均数 有时也用经验分数 X为原分数为某团体 或年龄组 的平均分数S为该团体或年龄组的标准差 2020 3 15 第四章离散量 39 一些测验的常模 2020 3 15 第四章离散量 40 练习并证明 例一 某校大二学生分属三个学院 全部参加了某次英语四级考试 其成绩见下表 试计算该校大二学生CET 4平均成绩和总的标准差 并找出计算总标准差的通用公式 2020 3 15 第四章离散量 41 方差的可加性证明 2020 3 15 第四章离散量 42 方差的可加性证明 在上式中 总的方差 变异 被分成两部分 前一部分可看作是组内方差或由组内原因引起的变异 如被试内的差异 后一部分可看作是组间的方差或由不同的组引起的变异 如实验中不同的变量 2020 3 15 第四章离散量 43 方差的可加性证明 因此 标准差是反映一组数据离散程度的高效差异量 对于两组同质的数据来说 要比较它们之间的离散程度 就要用标准差的大小来衡量 标准差大 说明该组数据较分散 标准差小 说明该组数据较集中 2020 3 15 第四章离散量 44 例二 试分析例一中三个学院CET 4成绩分布的分散程度 例三 已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤 体重的标准差为3 7公斤 平均身高为110厘米 身高标准差为6 2厘米 问身高与体重的离散程度哪一个大 2020 3 15 第四章离散量 45 利用标准差进行比较是有严格条件的 即进行比较的数据组是对同一特质用同一种测量工具进行测量而获得的 并且样本的总体之间差异不大 即样本平均数差异不大 这是一个绝对差异量 2020 3 15 第四章离散量 46 四 差异系数 这样 如果两个样本水平相差较大 就要借助相对差异量来进行比较 最常用的相对差异量就是差异系数 1 差异系数 又叫变异系数 相对标准差等 通常用符号CV表示 其计算公式如下 2020 3 15 第四章离散量 47 2 差异系数的应用条件 同一团体不同特质观测值离散程度的比较 进行的是同一种观测 但水平相差较大的各种团体 进行观测值离散程度的比较 此外 适用于用差异系数进行比较的测量值最好是比率变量 如重量 长度 时间和编制得好的测验量表 2020 3 15 第四章离散量 48 例四 今有一画线实验 标准线分别为5厘米及10厘米 实验结果5厘米组的误差平均数为1 3厘米 标准差为0 7厘米 10厘米组的误差平均数为4 3厘米 标准差为1 2厘米 请问 如何比较其离散程度的大小 2020 3 15 第四章离散量 49 3 差异系数的缺点 差异系数的缺点主要在于它只能用于一般的相对差异量的描述上 至今尚无有效的假设检验方法 因此对差异系数不能进行统计推论 2020 3 15 第四章离散量 50 次数分布的分布形态 正态分布与偏态分布正态分布 normaldistribution 以平均数为中心位置的对称分布 偏态分布 skeweddistribution 非对称分布 正偏态分布 positiveskewed 次数分布中低分数偏多 尾部在高分端 右端 也叫右偏分布 负偏态分布 negativeskewed 次数分布中高分数偏多 尾部在低分端 左端 也叫左偏分布 2020 3 15 第四章离散量 51 图例 2020 3 15 第四章离散量 52 图例 2020 3 15 第四章离散量 53 次数分布的分布形态 不同分布中平均数 中数及众数之间的关系 2020 3 15 第四章离散量 54 动差体系 动差 用来反映数据离散情况的统计指标 计算原理 是把次数分布中各组的次数当作力学上的力 各数值 或组中值 与原点之差作为距离来计算 其中