(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法-练习及答案.doc

精品文档 1欢迎下载 高中数列知识点总结高中数列知识点总结 1 等差数列的定义与性质 定义 1nn aad d为常数 1 1 n aand 等差中项 xAy 成等差数列2Axy 前n项和 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质 1 若mnpq 则 mnpq aaaa 2 n a为等差数列 2 n Sanbn ab 为常数 是关于n的常数项为常数项为 0 0 的二次函数 2 等比数列的定义与性质 定义 1n n a q a q为常数 0q 1 1 n n aa q 等比中项 xGy 成等比数列 2 Gxy 或Gxy 前n项和 1 1 1 1 1 1 n n na q Saq q q 要注意公比 q 性质 n a是等比数列 1 若mnpq 则 mnpq aaaa 3 求数列通项公式的常用方法 一 公式法一 公式法 例例 1 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解 两边除以 得 则 故数列是以 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 2 n n a 为首项 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 所以1 2 2 2 a 1 1 2 33 1 1 22 n n a n 数列的通项公式为 n a 31 2 22 n n an 二 累加法二 累加法 1 nfaa nn 例例 2 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 精品文档 2欢迎下载 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 例例 3 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 32 313 n nn aaa n a 解 两边除以 得 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 1 11 21 3333 nn nnn aa 三 累乘法三 累乘法 1 nf a a n n 例例 4 4 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 例例 5 5 2004 年全国 I 第 15 题 原题是填空题 已知数列满足 n a 求的通项公式 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 精品文档 3欢迎下载 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得 1 nnn aana 则 1 1 2 nn ana n 故 1 1 2 n n a nn a 四 待定系数法 重点 四 待定系数法 重点 例例 6 6 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将代入 式 得 等式两边消去 得 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 2 n a 两边除以 得代入 式得 1 3 5525 nnn xx 5n352 1 xxx 则 1 1 52 5 nn nn aa 例例 7 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 解 设 1 1 23 2 nn nn axyaxy 将代入 式 得 1 35 24 n nn aa 1 35 2423 2 nnn nn axyaxy 整理得 52 24323 nn xyxy 令 则 代入 式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 例例 8 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 精品文档 4欢迎下载 解 设 22 1 1 1 2 nn ax ny nzaxnynz 将代入 式 得 2 1 2345 nn aann 则 222 2345 1 1 2 nn annx ny nzaxnynz 22 2 3 24 5 2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去 得 2 n a 22 3 24 5 222x nxynxyzxnynz 解方程组 则 代入 式 得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 五 对数变换法五 对数变换法 例例 9 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解 因为 所以 在式两边取常用对 5 11 2 37 n nn aaa 1 00 nn aa 5 1 2 3n nn aa 数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设 1 lg 1 5 lg nn ax nyaxny 11 六 迭代法六 迭代法 例例 1010 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 解 因为 所以 3 1 2 1 n n nn aa 121 323 1 232 12 nnn nnn nnn aaa 七 数学归纳法七 数学归纳法 例例 1111 已知 求数列的通项公式 其他方法呢 其他方法呢 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 精品文档 5欢迎下载 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 8 1 21 23 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 21 18 1 21 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2 1 1 1 2 1 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知 当时等式也成立 1nk 根据 1 2 可知 等式对任何都成立 nN 八 换元法八 换元法 例例 1212 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 精品文档 6欢迎下载 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 故 代入得 2 11 1 1 24 nn ab 1 1 14124 16 nnn aaa 22 1 111 1 14 1 241624 nnn bbb 即 22 1 4 3 nn bb 因为 故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则 即 可化为 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 1 1 3 3 2 nn bb 九 不动点法九 不动点法 例例 1313 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数的两个 2124 41 x x x 2 420240 xx 12 23xx 2124 41 x f x x 不动点 因为 1 1 2124 2 24121242 41 1326213 2124 321243 41 92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 十 倒数法十 倒数法 11 2 1 2 n n n a aa a 求 n a 4 求数列前 n 项和的常用方法 一 公式法一 公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 精品文档 7欢迎下载 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例 1 1 求的前 n 项和 n xxxx 32 例例 2 2 设 Sn 1 2 3 n n N 求的最大值 1 32 n n Sn S nf 二 错位相减法 等差乘等比 二 错位相减法 等差乘等比 例例 3 3 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 例例 4 4 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 的通项之积 n n 2 2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 设制错位 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 得 错位相减 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 三 倒序相加法三 倒序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再 把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 例例 5 5 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 证明 设 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 反序 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 精品文档 8欢迎下载 又由可得 mn n m n CC n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 反序相加 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 n n nS2 1 例例 6 6 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式右边反序得 反 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 序 又因为 1cossin 90cos sin 22 xxxx 得 反序相加 89 89cos89 sin 2cos2 sin 1cos1 sin2 222222 S S 44 5 四 分组法求和四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例例 7 7 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 例例 8 8 求数列 n n 1 2n 1 的前 n 项和 解 设kkkkkkak 23 32 12 1 n k n kkkS 1 12 1 32 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn 分组 kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 精品文档 9欢迎下载 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分 解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 例例 9 9 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 例例 10 10 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 n 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 项的和 例例 11 11 求证 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 解 设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 裂项 nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 裂项求和 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 88tan89 tan 2tan3 tan 1tan2 tan 0tan1 tan 1sin 1 0tan89 tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 原等式成立 六 合并法求和六 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列的和时 精品文档 10欢迎下载 可将这些项放在一起先求和 然后再求 Sn 例例 12 12 求 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 的值 解 设 Sn cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 找特殊性质项 180cos cos nn Sn cos1 cos179 cos2 cos178 cos3 cos177 cos89 cos91 cos90 合并求和 0 例例 13 13 数列 an 求 S2002 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 解 设 S2002 2002321 aaaa 由可得 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 2 3 1 654 aaa 2 3 1 2 3 1 121110987 aaaaaa 2 3 1 2 3 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 找特殊性质项 0 665646362616 kkkkkk aaaaaa S2002 合并求和 2002321 aaaa 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 46362616 kkkk aaaa 5 例例 14 14 在各项均为正数的等比数列中 若的值 103231365 logloglog 9aaaaa 求 解 设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 找特殊性质项 qpnm aaaaqpnm 精品文档 11欢迎下载 和对数的运算性质 得NMNM aaa logloglog 合并求和 log log log log log log 6353932310313 aaaaaaSn log log log 6539231013 aaaaaa 9log9log9log 333 10 七 利用数列的通项求和七 利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项及其特征 然后再利用数列的通项揭示 的规律来求数列的前 n 项和 是一个重要的方法 例例 15 15 求之和 1 1111111111 个n 解 由于 找通项及特 110 9 1 9999 9 1 1111 11 k kk 个个 征 1 1111111111 个n 分组求和 110 9 1 110 9 1 110 9 1 110 9 1 321 n 1111 9 1 10101010 9 1 1 321 个n n 9110 110 10 9 1n n 91010 81 1 1 n n 例例 16 16 已知数列 an 的值 1 1 1 3 1 8 n nnn aan nn a求 数列练习数列练习 一 选择题一 选择题 精品文档 12欢迎下载 1 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 2 已知为等差数列 则等于 A 1 B 1 C 3 D 7 3 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比中项 8 32S 则 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 4 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 5 已知 n a为等差数列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 则公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 6 等差数列 n a 的公差不为零 首项 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比中项 则数列的前 10 项之和 A 90 B 100 C 145 D 190 7 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 则m A 38 B 20 C 10 D 9 8 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 9 等差数列 n a 的公差不为零 首项 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比中项 则数列的前 10 项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 二 填空题二 填空题 精品文档 13欢迎下载 1 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 2 设等差数列 n a的前n项和为 n S 则 4 S 84 SS 128 SS 1612 SS 成等差数 列 类比以上结论有 设等比数列 n b的前n项积为 n T 则 4 T 16 12 T T 成等比数列 3 在等差数列 n a中 6 7 253 aaa 则 6 a 4 等比数列 n a 的公比0q 已知 2 a 1 21 6 nnn aaa 则 n a 的前 4 项和 4 S 数列练习参考答案数列练习参考答案 一 选择题 1 答案 B 解析 设公比为q 由已知得 2 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 又因为等比数列 n a的公比为正数 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 选 B 2 解析 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 204 1aad 选 B 答案 B 3 答案 C 解析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adadad 得 1 230ad 再由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 则 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 故选 C 4 解 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故选 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故选 C 5 解析 a7 2a4 a3 4d 2 a3 d 2d 1 d 1 2 答案 B 6 6 答案答案 B B 解析解析 设公差为d 则 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 7 答案 C 解析 因为 n a是等差数列 所以 11 2 mmm aaa 由 2 11 0 mmm aaa 精品文档 14欢迎下载 得 2 m a 2 m a 0 所以 m a 2 又 21 38 m S 即 2 12 121 m aam 38 即 2m 1 2 38 解得 m 10 故选 C 8 答案 A 解析设数列 n a的公差为d 则根据题意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以数列 n a的前n项和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 9 9 答案答案 B B 解析解析 设公差为d 则 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 二 填空题 1 命题意图 此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式 通过对数列知识点的考查 充分体现了通项公式和前n项和的知识联