分形维数与表面粗糙度参数的关系.pdf

收稿日期 1997 年 6月 分形维数与表面粗糙度参数的关系 天津大学 300072 李成贵 张国雄 太原工业大学 030024 袁长良 摘要 将分形维数 D 与传统的表面粗糙度评定参数 Ra和 Kq作了比较 实验结果表明 D 与 Ra 的线性关系并不明显 而 D 与 Kq的相关性较好 三个参数各自反映了表面的不同特征 但不能相互替 代 关键词 表面粗糙度 分形维数 测量 T he Relationship between the Fractal Dimension and Surface Roughness Parameters Li Chenggui et al ABST RACT T he fractal dimension is compared with conventional surface rough ness parameters Raand Kq T he experiment results show that the linear relation between D and Rais not clear and D and Kqis well but anyone can t be replaced by another a mong them Keywords surface roughness fractal dimension measurement 近年来 国内外在表征和研究机加工表面 的微观结构 接触机理和表面粗糙度等方面越 来越多地使用了分形几何理论这一有力的数学 工具 1 3 研究表明 许多种机加工表面呈现出 随机性 多尺度性和自仿射性 即具有分形的基 本特征 因而采用分形几何理论来处理是合理 的 有效的 在机加工表面微观结构的分形表征 中 应用最多 最重要的参数是分形维数 同时 分形维数可以衡量表面的不规则性 能够提供 一些传统的表面粗糙度评定参数 如 Ra Ry和 Rq等 不能提供的信息 美国 Topo Metrix 公司 生产的扫描探针显微镜 SPM 软件体系中 已 将分形维数作为评价表面微观形貌的参数之 一 那么 分形维数与传统的表面粗糙度评定参 数之间有何关系 本文将分形维数与幅度参数 算术平均偏差 Ra和间距参数 均方根 波长 Kq进行了比较 一 分形维数及其计算方法 分形维数是由美籍法国数学家 B B Man delbrot 为表达曲线的复杂性和处处不可微性 而提出的 是一种纯粹的数学定义 但在评价许 多随机现象的 不规则 程度时却十分有用 分 形维数已突破一般拓扑集整数维的界限 引入 了分数维 这也正是分形几何理论的新颖之处 在机加工表面轮廓的表征中应用较多的是 Weierstrass Mandelbrot 分形函数 它具有连 续性 处处不可微性和自仿射性 是表征随机轮 廓的典型函数 经 B Bhushan 等修正的 适用于工程表面 轮廓的 W M 函数形式如下 2 Z x G D 1 2 n nl cos2PC nx C 2 D n 1 D 1 1 式中 Z x 表示表面轮廓 x 表示轮廓的扫描坐 标 D 为分形维数 G 为特征尺度系数 C 1 5 为大于 1 的合适参数 C n 为轮廓的空间频 率 n l与轮廓的最低截止频率相对应 其连续功率谱可近似表示为 2 P X G 2 D 1 2lnC 1 X 5 2D C nl X 2 式中 P X 为轮廓的功率谱 X 为空间频率 它 是轮廓空间波长的倒数 由此可知 连续功率谱 P X 服从幂定律 所 以幂定律状态是表面微观形貌分形表征的本质 分形维数 D 与表面微观形貌的幅值变化 36 工具技术 的剧烈程度有关 D 值大表明微观细节丰富 D 值小表面则相对 平缓 低频成分多 对于二维 截面轮廓而言 1 D 2 根据粗糙表面轮廓功率谱的幂定律性质 在双对数坐标系 logP X logX 中 用最小二乘 直线拟合其功率谱的斜率 B 即可求出轮廓的 分形维数 2 D 5 B 2 3 二 分维值 D 与算术平均 偏差 Ra的关系 3 用 Talysurf 10 型轮廓仪对精车 镗和平 磨加工的 45 钢试件表面进行测量 仪器垂直 放大倍数 2000 取样长度 0 8mm 评定长度 4mm 每次扫描均匀地采集 4096个数据 Ra由 轮廓仪测得 分形维数 D 用自行研制的软件计 算而得 测量结果列于表 1 表中数据是用多种样 块进行多次测量的平均结果 根据表 1 绘出的 D 与 Ra之间的关系曲线见图 1 表 1 D与Ra的关系 序号 精车加工镗加工平磨加工 Ra Lm DRa Lm DRa Lm D 12 511 601 251 740 531 88 22 761 521 591 680 611 83 33 381 431 831 610 851 86 43 841 412 061 491 081 78 54 471 382 371 441 201 76 图 1 D 与 Ra的关系曲线 车加工轮廓 镗加工轮廓 平面磨削轮廓 结果表明 D 与 Ra的线性关系并不十分明 显 但一般来说 Ra值小时 D 值则较大 这是 因为 Ra小时 表面的微观结构精细 短波长成 分较多 因此 D 值较大 从图 1 中还可看出 当 精车和镗加工轮廓的 Ra值同为 2 40Lm 时 两 者的 D 值并不相等 说明不同的加工方法对 D 值的影响也不同 三 分维值 D 与均方根 波长 Kq的关系 在同样的测量条件下 用 Talysurf 10 型 轮廓仪对精车 镗和平磨加工的 45 钢试件表 面进行测量 Kq由轮廓仪测得 多次测量的平均 结果列于表 2 D 与 Kq的关系曲线见图 2 表 2 D 与 Kq的关系 序号 精车加工镗加工平磨加工 Kq Lm DKq Lm DKq Lm D 1102 271 5848 331 7421 531 89 2117 561 5562 881 6830 141 85 3131 551 5378 111 6442 591 77 4173 191 4884 231 5860 851 68 5236 241 4191 141 6170 651 66 图 2 D 与 Kq的关系曲线 车加工轮廓 镗加工轮廓 平面磨削轮廓 结果表明 D 与 Kq的相关性较好 且 Kq值 大时 D 值小 根据 Kq 2P Rq q可知 Kq与均方根偏差 Rq成正比 与均方根斜率 q成反比 一般地说 当 R q小时 表面结构更精细 均方根斜率较大 由于 Rq和 q的双重作用 致使 Kq变小时 D 值 变大 因此 D 与 Kq的联系更为紧密 37 1997 年 第 31 卷 12 四 结 论 1 分形维数 D 是反映粗糙随机表面轮廓 的有用参数 可以表征粗糙表面结构的复杂 细 腻程度 2 D 与 Kq的线性关系并不十分明显 而 且一般来说 Ra小时 D 值较大 3 D 与 Kq的相关性较好 且 Kq大时 D 值 小 4 Ra Kq和 D 可以反映轮廓的不同特征 三个参数不能互相替代 参考文献 1 Ling F F Fractal engineering surfaces and tribol ogy Wear 1990 Vol 136 141 156 2 Majumdar A Tien C L Fractal characterization and simulation of rough surfaces Wear 1990 136 2 313 327 3 李成贵 分形理论在表面粗糙度表征和评定中的应 用研究 天津大学博士学位论文 1997 编辑 张 宪 测量内锥孔用综合量规 山东工模具厂 临沂 276006 刘光庚 崔 玮 我厂承揽制作的日本特种车辆配件中有一 如 图 1 所 示 零 件 该 零件 上 有 94 19 0 13mm 的内锥孔尺寸 要求在从端面向内 9 0 05mm 处测量 日方要求我厂测报实测数 据以验证我厂测试能力 由于该尺寸利用通用 量规或锥度塞规均无法测量 我厂专门设计 制 作了一套测量内锥孔的综合量规 见图 2 用 该量规测报的数据与日方测量数据基本一致 尺寸精度可控制在 0 01mm 范围内 达到了 设计要求 1 量规的结构 如图2所示 量规主要由定位体7 表头体 图 1 收稿日期 1997 年 4月 图 2 1 套管 2 表头体 3 百分表 4 测量爪 5 标准块 6 定位轴 7 定位体 8 弹簧 轴 9 弹簧 10 平端紧定螺钉 11 测量 头 12 定位套 13 对表环 2 测量爪 4 测量头11 和对表环 13 组成 定位 体和表头体由螺钉和销子连为一体 测量爪通 过定位轴装在表头