数学应用题复习1.doc

数学应用题复习应用题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构。数学应用题并不难，求解过程通常分三步：1、 阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本质,弄清题中出现的量及其数学含义。2、 根据各个量的关系,进行数学化设计,即建立目标函数,将实际问题转化为数学问题。（常用列表法，画图法等来帮助理解。）（常用列表法，画图法等来帮助理解。）3、进行标准化设计,即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决。（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的单调性等 ）4、将所得的结果反馈到原题，作答。函数模型（如指常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用函数的应用：可考虑一些与平面几何 与利润 与税率 与增长率 与产量、总量 与利率等有关的应用问题。现在具体讨论下列几个模型：一、 函数模型：在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定规律的，这些规律就是我们学过的函数。1、二次函数模型例、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.分析：利润=（零售价进货单价）销售量零售价50515253.50+x销售量50494847.50-x故有：设利润为 y元，零售价上涨x元y=（50+x-40）（50-x） （其中 0x50）=-x2+40x+500 当且仅当x=20时等号成立即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.2、指数函数模型例、 1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿解：设x年后我国人口总数为y，则有y=12（1+0.0125）x，依题意，得y14，即 12（1+0.0125）x14，即（1+0.0125）x两边取对数，得xlg1.0125lg14lg12.所以x12.4答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿二、方程模型许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组）就是最有效的工具。例、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算,批发价每购60支比零售60支少1元,现有班长小王来购买铅笔,若给全班每人买1支铅笔,则必须按零售价结算,需用m元(m为自然数),但若多买10支,则可按批发价结算恰好也用m元,问该班共有多少名学生?解：设全班共有x人，则零售价为元，批发价为元由题设得 解得又x,mN，所以x=50,m=5 所以该班共有50名同学。三、不等式模型数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决。例、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。 （1） 设AD=x(x10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式； （2） 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。分析要求y与x的函数关系式，就是找出DE与AD的等量关系。（1）三角形ADE中角A为600 故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。（2）解：（I）ABC的边长为20米，D在AB上，则10x20。则 在三角形ADE中，由余弦定理得：(2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值若DE做为参观线路，须求y的最大值。令 设当100t1t2200时，104t1t24104, t1t2-41040，又t1-t20,f(t1)f(t2)，则f(t)在100，200上是减函数。当200t1t2400时，4104t1t20，又t1-t20,f(t1)f(t2)， 则f(t)在200，400上是增函数。当t=200，即 当t=100或t=400即x=10或20时，故若DE是输水管道的位置，则需使 若DE是参观线路，则需使x=10或20思考：DE的几何意义是什么？四、数列模型如果数学应用题中涉及的量，其变化带有明显的离散性，那么所考查的很有可能就是数列模型。例、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的 。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润年份97（n=1）98（n=2）99（n=3）2000（n=4）（第n年）甲企业320320*1.5320*1.52320*1.53320*1.5n-1乙企业720720*1.5720*1.52720*1.53720*1.5n-1总利润320=720略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。y= +当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。（2）2005年时，n=9此时y= =8201.25+28.9即2005年底该乡能达到小康水平。五、几何模型把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几何知识解决。例5炮弹的运行轨道若不计空气阻力是抛物线，现测得我炮位A与目标B的水平距离为6000m时，而当射程是6000m时，炮弹运行轨道的最大高度是1200m，在A,B间距离A点500m处有一高度为350m的障碍物，试计算炮弹能否越过障碍物？Axy30030006000B1200解:建立如图坐标系 则C（3000，1200） 则为弹道运行的抛物线方程，又A(0,0)在抛物线上，所以p=3750,从而弹道方程为 故炮弹能越过障碍物。练习1：1某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（ ）A8 B112 C58 D182.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（ ）A多赚5.92元 B少赚5.92元 C多赚28.92元 D盈利相同3某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（ ）件(即生产多少件以上自产合算)A1000 B1200 C1400 D16004在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据 x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （ ）Ay=a+bX By=a+bx Cy=a+logbx Dy=a+b/x 5某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x0.1x2（0x0，t表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A）5.83元 （B）5.25元 （C）5.56元 （D）5.04元 8某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（ ）。 （A）多赚5.92元 （B）多赚28.92元 （C）少赚5.92元 （D）盈利不变 9有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管有（ ）。 （A）9根 （B）10根 （C）19根 （D）20根 10某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为（ ）。 （A）p （B）12p （C）(1+p)12 （D）(1+p)121 11甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地，已知甲骑自行车比乙骑自行车快，若每人离开甲地的距离s与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙两人的图像分别是（ ）。 （A）甲是(1), 乙是(2) （B）甲是(1), 乙是(4) （C）甲是(3), 乙是(2) （D）甲是(3), 乙是(4) 12某工厂在1990年底制订生产计划，要使得2000年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为（ ）。 （A）1 （B）1 （C）1 （D）1 二填空题： 131999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月1日存入人民币1万元，存期1年，年利率为2.25%，则到期可净得本金和利息总计 元。 14某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 。 15建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别是每平方米120元和80元，那么水池的最低造价是 。 16把一个小金属球表面涂漆，需要油漆0.15kg，将64个半径相同的小球熔化后，制成一个大金属球(设损耗为零)，若对这个大金属球表面涂漆，需要油漆 kg. 三解答题： 17某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q(单位：件)的函数，满足关系式：R=f(Q)=，求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？ 18在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/小时)需遵循的关系是d(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d，（1）当d=时，求机动车车速的变化范围； （2）设机动车每小时流量Q=，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大？ 19某地区原有森林木材存量为a，且每年的增长率为25%，因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区的森林木材存量， （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于，如果b=a，那么该地区今后会发生水体流失吗？若会要经过几年？(取lg2=0.30) 20设某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获纯利润分别为P和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是P=，Q=(a2)，若不管如何投入，经销这两种商品或经销其中一种商品，所获纯利润总不少于5万元，试问a的最小值应是多少？ 21某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100米，BP=150米，APB=60，请问怎样挖土才能最省工？ 22银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利，现在某企业进行技术改造，有两种方案；甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元。两种方案的贷款使用期都是10年，到期一次性还本付息，若银行贷款利率是按年息10%的复利计算，试比较两种方案的优劣(计算时精确到千元，并取1.1102.594，1.31013.79). 答案1.A ; 2. C ; 3. D ;4. A ;5. C ; 6. 神州行; 7. y= -10x+560,31, 6250; 8. 2500; 9. 大于34; 10. 600;11. (1)依题得，(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则,因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时（t310），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:3012.设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，y=kx+b，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=2，b=24，y=2x+24.由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W节车厢，则W=2xy=2x（2x+24）=4x2+48x=4（x6）2+144，当x=6时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运15840人13.解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%) b(1kx%)=kx2+100(1k)x+10000. (1)取k=，y=x2+50x+10000,x = 50