01 第1章部分习题答案(学生).pdf

线性代数 线性代数 陈维新陈维新 习题答案习题答案 第第 1 章章 行列式行列式 习题习题 1 1 P51 1 P5 1 证明 1 首先证明 3 Q是数域 因为 3 QQ 所以 3 Q中至少含有两个复数 任给两个复数 3 3 3 2211 Qbaba 我们有 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 212121212211 21212211 21212211 baabbbaababa bbaababa bbaababa 因为Q是数域 所以有理数的和 差 积仍然为有理数 所以 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 212121212211 21212211 21212211 Qbaabbbaababa Qbbaababa Qbbaababa 如果03 22 ba 则必有 22 b a不同时为零 从而03 22 ba 又因为有理数的和 差 积 商仍为有理数 所以 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2121 2 2 2 2 2121 2222 2211 22 11 Q ba baab ba bbaa baba baba ba ba 综上所述 我们有 3 Q是数域 2 类似可证明 pQ是数域 这儿p是一个素数 3 下面证明 若qp 为互异素数 则 qQpQ 反证法 如果 qQpQ 则qbapQba 从而有 qabqbapp2 222 由于上式左端是有理数 而q是无理数 所以必有02 qab 2 所以有0 a或0 b 如果0 a 则 2 qbp 这与qp 是互异素数矛盾 如果0 b 则有ap 从而有 有理数 无理数 成立 此为矛盾 所以假设不成立 从而有 qQpQ 同样可得 pQqQ 4 因为有无数个互异的素数 所以由 3 可知在Q和 之间存在无穷多个不同的 数域 2 解 1 1 P是数域 证明略 与上面类似 2 1 Q就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合 而 1 1 C复数域 3 1 Z不是数域 这是因为他关于除法不封闭 例如 1 2 1 Z 3 证明 1 因为KF 都是数域 所以KQFQ 从而KFQ 故KF 含 有两个以上的复数 任给三个数KFcKFba 0 则有Fcba 且Kcba 因 为KF 是 数域 所以有F c a abba 且K c a abba 所以KF c a abba 所以KF 是数域 2 KF 一般不是数域 例如 3 2 QKQF 我们有KF 3 2 但是KF 326 4 写出 4 个数码 1 2 3 4 的所有 4 阶排列 分析分析 4 阶排列是指由 1 2 3 4 构成的有序的数组 共有 4 个 每个数字必须出现 且只能出现一次 具体做法可以是先确定排在第一位的数 比如为 1 然后排第二位的数 分别为 2 3 4 接着排第三位 第四位的数 解解 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 3 5 计算以下各个排列的逆序数 并指出它们的奇偶性 1 314265 2 314265789 3 542391786 4 987654321 5 246813579 解解 1 314265 2 1 14 偶排列 2 314265789 2 1 14 偶排列 3 542391786 43 1 14 1 115 奇排列 4 987654321 8765432 136 偶排列 5 246813579 123410 偶排列 7 在由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 组成的下述 9 阶排列中 选择ij与使得 1 2147 95 8ij 为偶排列 2 1 25 4896ij为奇排列 3 412 5769ij偶排列 3 3142 786ij奇排列 均要求说明理由 分析分析 排列1 25 4896ij中的两个未知数ij与根据排列的定义只能取 3 或 7 因而只有两 种情况 1 132574896 与2 172534896 然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果 因为1 与2 是3和7作一次对换得到的 而作一次对换必改变排列的奇偶性 也就是说若1 为偶排列 则2 必为奇排列 其余题解法也类似 解解 1 取3 6ij 有 214739568 1 1226 为偶排列 符合题目要求 2 取3 7ij 有 132574896 1 12 1 16 为 偶 排 列 故 取 7 3ij 时 172534896 为奇排列 符合题目要求 3 取3 8ij 有 412357698 3 1 15 为偶排列 符合题目要求 4 取5 9ij 有 531429786 42 1 3 1 112 为偶排列 故取 9 5ij 时 931425786 为奇排列 符合题目要求 8 写出全体形如522 5 3 及的 5 阶排列 总结一下 有k个位置数码给定的 n nk 4 阶排列有多少个 分析分析 形如52 的 5 阶排列中 5 和 2 的位置已经确定 3 个 位置只能取数字 1 3 4 中的某一个 解解 形如52 的 5 阶排列中第一个 可取 1 3 4 中的任何一个 故有 3 种取法 第二个 可取剩下数字当中的任一个 有两种取法 最后一个 只能取余下的那一个数 据 乘法原理共有3 2 13 种取法 即形如52 的阶排列有 5 2 个 同理形如 2 5 3 的阶排列共有 5 3 个 因 而 有k个位置数码给定的 n nk 阶排列有 nk 个 9 如果排列 1 2 的逆序数为 问排列 1 1的逆序数是多少 为什么 解解 因 1 2 中任意两个数码 组成的有序对有 2 1 2 个 这 2 1 2 个有序对 中有些是顺序 其余是逆序 也就是所有顺序的有序对个数与所有逆序的有序对个数的和为 2 1 2 现所有逆序的有序对个数为 1 2 则所有顺序的有序对个数 1 2 为 故 1 1 1 2 10 证明 个不同的 阶排列中奇偶排列各占一半 解解 设奇排列为 个 偶排列为 个 则 对 个奇排列作一次固定的对换 比如说 第 1 和第 2 两个数对换 得到 个偶排列 注意 对换后得到的 个偶排列是互不相同的 现 偶排列总数为 个 故 同理可证 从而 即 1 2 习题习题 1 2 P51 2 P5 1 按行列式定义 计算下列行列式 要求写出过程 1 cos sin sin cos 2 1log log1 b a a b 3 00 0 00 d cb a 4 ed b a 0 00 00 5 12 1 320 0 11 6 111 111 111 分析分析 计算 2 阶行列式和 3 阶行列式可用对角线法则 解解 1 cos sin sin cos cos2 sin2 1 5 2 1log log1 b a a b 1a b logb a log1 10 3 00 0 00 d cb a 0 0 0000 0 0000acbdabcd 4 00 0 0 a bc de 0 0000 000abecdbcdaeabeacd 5 12 1 320 0 11 1 2 1 3 1 1 1 2 3 2 3 6 1 6 111 111 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 14 2 在 6 阶行列式 ij a中 下列项应该取什么符号 为什么 1 233142561465 a a a a a a 2 324354116625 a a a a a a 解解 1 因 234516 312645 448 所以取正号 另一种方法是 233142561465 a a a a a a 142331425665 a a a a a a 因 431265 6 所以取正号 2 3 4 也可这样做 不再列出 2 因 345162 234165 7411 所以取负号 3 当i k 时 13242553ik a a a a a成为 5 阶行列式 ij a中一个取负号的项 为什么 解解 i和k只能取 1 4 或者 4 1 不妨先假设1 4ik 则 13242553ik a a a a a 1132442553 a a a a a 这个项的符号就是 13425 12453 4 1 1 1 不符合要求 那么当4 1ik 时 13242553ik a a a a a 1432412553 a a a a a 它和 1132442553 a a a a a相比就是交换了列指标 1 和 4 的位置 因 12453 与 42153 相比改变了奇偶性 所以 1432412553 a a a a a的符号为负 故应填 4 1ik 6 4 写出 4 阶行列式 ij a中包含因子 4223 a a的项 并指出正负号 解解 参照习题 1 1 的第 8 题知 4 阶行列式 ij a中包含因子 4223 a a的项有 11233442 a a a a和 14233142 a a a a 由于 1342 2 故 11233442 a a a a取正号 4312 5 故 14233142 a a a a取 负号 5 写出 4 阶行列式 ij a中所有取负号且包含因子 23 a的项 解解 类似于第 4 题可推知 4 阶行列式中包含 23 a的项为 11233244 a a a a 1324 1 取负号 11233442 a a a a 1342 2 取正号 也可由 1 取负号推知 2 取正号 12233441 a a a a 2341 3 取负号 12233144 a a a a 2314 2 取正号 也可由 3 取负号推知 4 取正号 14233142 a a a a 4312 5 取负号 14233241 a a a a 4321 6 取正号 也可由 5 取负号推知 6 取正号 所以所求的项为 11233244 a a a a 12233441 a a a a 14233142 a a a a 6 按行列式定义 计算下列行列式 4 中1n 并均要求写出计算过程 1 12345 12345 12 12 12 000 000 000 aaaaa bbbbb cc dd ee 2 000 000 000 000 a b c d 3 11121 11 21222 1 1 11 2 1 0 00 000 nn n nn n aaaa aaa aa a 解解 1 根据定义 5 5 ij a 1 2 3 4 5 12345 1 2 3 4 5 12345 1 j j j j j jjjjj j j j j j a aaaa 7 在行列式 12345 12345 12 12 12 000 000 000 aaaaa bbbbb cc dd ee 的通项中每一个项 12345 12345jjjjj a aaaa中最后三个因子 345 345 jjj aaa分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数 而行列式最后三行中均只有 二个数不为零 所以这三个因子中至少一个取零 这样行列式的每一项中都含有因子零 所以每项都为零 从而行列式为零 2 根据定义 4 4 ij a 1 2 3 4 1234 1 2 3 4 1234 1 j j j j jjjj j j j j a aaa 在行列式 000 000 000 000 a b c d 的通项中 只有 11233244 a a a a这一项的因子中不含零 所以 原式 1324 11233244 1 a a a a 11233244 a a a a abcd 3 根据定义 ij n n a 1 2 12 1 2 12 1 n n n j jj jjnj j jj a aa 该展开式通项 12 12 n jjnj a aa 中 n nj a取自 11121 11 21222 1 1 11 2 1 0 00 000 nn n nn n aaaa aaa aa a 的第n行 现在第n行中除了 1n a外其余元素都为 零 故若1 n j 则对应的行列式展开式中的那一项一定为零 求和时可不考虑 因此只 要考虑1 n j 的项 同样对于行列式的第1n 行中除了 1 1n a 和 1 2n a 外其余元素都为零 且因1 n j 从而 1n j 只能取2了 依次类推 行列式展开式的所有项中除去列指标 12 1 1 n j jjn n 对应的项外都为零 又因为 1 1 1 1 2 n nn n 所以原式 1 1 2 12 11 21 1 n n nnnn a aaa 7 若n阶行列式 ij Da 中元素 ij a 1 2 i jn 均为整数 则D必为整数 这结论对 不对 为什么 解解 对 行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘积的代数和 而整数经加 8 减 乘之后仍然为整数 9 证明 d d 11 12 1 21 22 2 1 2 11 d d 1 1 21 d d 2 2 1 d d 1 证证 左端 d d 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 d d 1 1 2 2 1 1 2 1 2 d d 1 1 2 2 1 1 d d 2 2 1 1 2 2 d d 右端 10 问 1114 2223 3233 4144 00 00 00 00 aa aa aa aa 1122334414233241 a a a aa a a a 为什么错 正确答案是什么 解解 错 原因在于没有搞清楚 4 阶行列式定义而把 2 3 阶行列式的对角线法则误认为对 4 阶行列式也成立 4 阶和 4 阶以上的行列式没有对角线法则 正确答案为 11223344142332411123324414223341 a a a aa a a aa a a aa a a a 9 习题习题 1 31 3 P20P20 1 证明 根据行列式的定义 1 11 1 11 1 11 1 2 12 1 2 12 1 n n n j jj jjnj j jj a aa 1 ij a 1 2 1 2 1 n n j jj j jj 0 所以上式中 1 的个数和 1 的个数一样多 1 是由奇排列产生的 而 1 是由偶排 列产生的 同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列 故可以得到全体n阶排 列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多 各占一半 2 用行列式性质计算下列行列式 解解 1 199819992000 200120022003 200420052006 32 CC 199819991 200120021 200420051 21 CC 19981 1 2001 1 1 20041 1 0 2 1001 0220 0330 4004 32 41 CC CC 1000 0200 0360 4008 下三角形 1 2 6 8 96 3 1110 1101 1011 0111 21 31 RR RR 1110 0011 0101 0111 24 R 1110 0111 0101 0011 32 RR 1110 0111 0012 0011 43 RR 1110 0111 0012 0003 上三角形 1 1 1 3 3 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 10 提取公因子 111 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 111 0 0 00 3 5 72222 27222 22722 22272 22227 5 1 2 i i CC 152222 157222 152722 152272 152227 1 2 3 4 5 i RR i 152222 05000 00500 00050 00005 上三角形 5 1 55 5 5 53 5 3 解 1 111213 212223 313233 x yx yx y x yx yx y x yx yx y 提取每行的公因子 123 123123 123 yyy x x x yyy yyy 性质4 0 2 左端 1 4 3 2 ii CC i 2 2 2 2 212325 212325 212325 212325 aaaa bbbb cccc dddd 43 32 CC CC 2 2 2 2 2122 2122 2122 2122 aa bb cc dd 0 右端 3 121 1121 1221 1211 1 1 1 1 n n n nn aaa abaa aaba aaab 1 2 i RR in 121 1 2 1 1 000 000 000 n n aaa b b b 上三角形 1 21n bbb 4 原式 先依次 12211 CCCCCC nnnn 2 2 nif nif 与教材稍有不同 11 5 原式 先依次 12211 RRRRRR nnnn 2 2 nif nif 4 解 设展开后的正项个数为x 则由行列式的定义有 2 nxxnxD 又因为 D 利用niRRi 3 2 1 221 021 001 下三角行列式 1 2 n 所以有 2 2 22 1 1 n xnx n n 5 证明 1 左端 123 CCC 提取公因子 1111111 2222222 3333333 2 abccaab abccaab abccaab 21 31 CC CC 11111 22222 33333 2 abcbc abcbc abcbc 123 3 C 1 C CCC 2 1 111 222 333 2 abc abc abc 右端 2 利用性质 5 展开 6 解 3 与上面 3 3 类似可得 7 设 111213 212223 313233 aaa Daaaa aaa 据此计算下列行列式 要求写出计算过程 3 11131212 21232222 31333232 235 235 235 aaaa aaaa aaaa 分析分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系 解解 3 方法一方法一 11131212 21232222 31333232 235 235 235 aaaa aaaa aaaa 23 5CC 111312 212322 313332 23 23 23 aaa aaa aaa 提取公因子 111312 212322 313332 6 aaa aaa aaa 23 C 111213 212223 313233 6 aaa aaa aaa 6a 12 方法二方法二 注意到该行列式的第二列均为 2 个数的和 可用行列式的性质 5 将该 行列式分成 2 个行求和 结果与方法一相同 8 计算 1 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 解解一一 1 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 2 1 3 2 1 100 00 0 20 00 00 3 00 000 0 123 1 1 1 1 2 注 这里 表示新的第 列 解法二解法二 把第2 3 列加到第 1 列得 1 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 0 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 1 1 1 1 1 10 00 2 2 00 0 3 00 00 1 1 1 2 9 已知数 18055 83283 61042 48576 57776 都能被 23 整除 证明 行列式 13 18055 83283 61042 48576 57776 也能被 23 整除 证明 证明 假设 18055 83283 61042 48576 57776 被 23 整除的商分别为 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5为整数 则 18055 83283 61042 48576 57776 5 10000 1 1000 2 100 3 10 4 180518055 832883283 610461042 485748576 577757776 23 1805 1 8328 2 6104 3 4857 4 5777 5 因为行列式的值是取自不同行不同列元素乘积的代数和 当行列式所有元素为整数时 行列式的值也为整数 所以 1805 1 8328 2 6104 3 4857 4 5777 5 是整数 因此行列式 14 18055 83283 61042 48576 57776 能被 23 整除 习题习题 1 4 P311 4 P31 1 计算下列行列式 要求写出计算过程 1 0 000 00 0000 xabc yd ezf ghkul v 2 1111 2341 3412 4123 3 01000 00200 00030 abcde edcba 4 1 2 3 1 0001 0000 0000 0000 1000 n n a a a a a 5 123 111 221232 222 123 222 331233 110001 000 111 000 xxx abc abxxxc xxx abxxxc 6 2 3 1111 122 144 188 x x x 8 222 abc abc bccaab 分析分析 第 1 至第 4 题可用降阶法解 第 5 至第 8 题可化为范德蒙行列式解 解 1 0 000 00 0000 xabc yd ezf ghkul v 5按第行展开 0 000 00 xab y v ez ghku 按第4列展开 00 0 xab vuy ez 按第1列展开 0y xuv ez xyzuv 15 2 1111 2341 3412 4123 1 4 3 2 ii RR i 1111 1230 1131 1311 1 2 3 4 i RR i 1111 0121 0040 0400 按第1列展开 121 040 400 1 27 4 习题第题 3 3 1 2 1 1 4 4 16 3 方法一方法一 01000 00200 00030 abcde edcba 按第1列展开 1000 0200 0030 a dcba 5 1 1000 1 0200 0030 bcde e 第2个行列式按第4列展开 24 1 100 1 020 003 aee 22 6 ae 方法二方法二 逐次均按第 2 行展开可得同样结果 具体解法可参见下例 4 逐次按第 2 行展开 1 2 3 1 0001 0000 0000 0000 1000 n n a a a a a 1 3 2 01 00 10 n a a a a 1 231 1 1 n n a a aa a 2311 1 nn a aaa a 5 123 111 221232 222 123 222 331233 110001 000 111 000 xxx abc abxxxc xxx abxxxc 36 C 123 111 222231 222 123 222 333231 111000 000 111 000 xxx abc abcxxx xxx abcxxx 35 R 16 123 222 123 222231 111 222 333231 111000 000 000 111 xxx xxx abcxxx abc abcxxx 45 R 123 222 123 111 222231 222 333231 111000 000 000 111 xxx xxx abc abcxxx abcxxx 2 123 D x xx 222 313221 xxxxxx 6 2 3 1111 122 144 188 x x x 1 2 2 Dx 2 2 1 22 2 1 2 1 xxx 2 12 1 4 xx 7 换行后可得到范德蒙行列式 8 222 abc abc bccaab 31 RR 222 abc abc abcabcabc 提取公因子 abc 222 111 abc abc 32 21 C C abc 222 111 abc abc abc D a b c abc ba cb ca 2 计算下列 1 n n 阶行列式 要求写出计算过程 1 000 000 0000 000 000 xy xy x xy yx 2 123 123 123 123 1 1 1 n n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 3 11121 21222 12 111 111 111 n n nnnn x yx yx y x yx yx y x yx yx y 17 解 1 000 000 0000 000 000 xy xy x xy yx 按第1列展开 1 1 00 00 1 000 xy xy x x 1 000 00 1 000 00 n y xy yx xy 1 1 nnn xy 2 123 123 123 123 1 1 1 n n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 1 2 3 i RR in 123 1 1100 1010 1001 n aaaa 1 2 n i i CC 1 1 n i i a 3 11121 21222 12 111 111 111 n n nnnn x yx yx y x yx yx y x yx yx y 1 2 3 i RR in 11121 21121221 11121 111 n n nnnn x yx yx y xx yxx yxx y xx yxx yxx y 11121 12 21311 12 111 n n n n n x yx yx y yyy xxxxxx y yyy 据此当2n 时 原式 2121 xxyy 当2n 时 原式 0 3 设 18 000 000 1 0000 000 n xyyyy zx zx Dn x zx 1 求出 n D的递推公式 2 利用递推公式求 n D 解 1 将 n D按第n列展开 1 11 1 00 000 0000 000 1 00 000 0000 000000 000 1 n n nn n xyyyy zxxyyy zx zxzx zx Dyxzx x x zx zx xDyz 2 根据上面的递推公式可得 11 1 1 n n nn DxDyz 2211 2 1 1 nnnn n x Dxyzyz 第 n 2 项 第 2 项 第 1 项 22 2 3 2 211 2 2432211 2 22432211 2322 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnnnnnnn nn nnnnnn nnnnnn nnnnn xDxyzxyzyz xDxyzxyzyz xxyzxyzxyzyz xxyzxyzxyz 11 1 21 1 1 1 1 1 1 1 nn n nin ii i n nin ii i yz xyxz xyxz 4 解 1 交换行 列后得到三角块行列式 然后利用例 1 4 6 的结果 或者直接利用 Laplace 定理 19 2 左端先做变换 3241 CCCC 再做变换 2314 RRRR 然后利用 P30 推论 5 计算下列行列式 要求写出计算过程 1 765432 978943 749700 536100 005600 006800 2 1221 0102 2011 0201 分析分析 利用行列式分块的性质 例 1 4 5 及思考题 2 求解 5 解 1 765432 978943 749700 536100 005600 006800 再分块 2 4 7497 5361 32 1 43 0056 0068 32 74 56 43 53 68 4 2 1221 0102 2011 0201 23 C 1221 0012 2101 0021 23 R 1221 2101 0012 0021 12 12 9 2121 3 利用初等变换 习题习题 1 5 P361 5 P36 1 试用克拉默法则解下列方程组 1 123 123 123 23 52722 2544 xxx xxx xxx 2 12 23 13 2 23 0 0 bxaxab cxbxbcabc cxax 其中 20 3 1234 1234 1234 1234 2326 33325 323 334 xxxx xxxx xxxx xxxx 4 134 1234 124 1234 369 258 225 7460 xxx xxxx xxx xxxx 6 2 22 1 1 xyz xyz xyz 3 其中为三次原根 即1且的复数 解解 1 因为系数行列式 112 527 254 D 21 31 5 2 RR RR 112 0717 078 32 RR 112 0717 009 630 根据克拉默法则知 有唯一解 再计算得 1 312 222763 454 D 2 132 5227126 244 D 3 113 5222189 254 D 所以方程组 1 的唯一解为 312 123 1 2 3 DDD xxx DDD 2 因为系数行列式 0 02350 0 ba Dcbabc ca 根据克拉默法则知 有唯一解 再计算得 2 1 20 235 00 aba Dbccba bc a 2 2 20 035 0 bab Dbcbab c ca 2 3 2 025 00 baab Dcbcabc c 所以方程组 2 的唯一解为 312 123 DDD xa xb xc DDD 3 因为系数行列式 2132 2332 3112 3131 D 1 4 3 2 ii RR i 2132 1200 0240 0043 21 2CC 21 2332 1000 0040 0043 第二行展开 332 1 240 043 21 CC 302 260 043 54 16 700 根据克拉默法则知 有唯一解 再计算得 1 6132 5332 70 3112 4131 D 2 2632 2532 70 3312 3431 D 3 2162 2352 70 3132 3141 D 4 2136 2335 70 3113 3134 D 所以方程组 3 的唯一解为 3124 1234 1 1 1 1 DDDD xxxx DDDD 注意D的第 2 3 4 列加到第 1 列可得 1 D D的第 1 3 4 列加到第 2 列可得 2 D D的 第 1 2 3 列加到第 4 列可得 4 D 从而 2 D 1 D 70 3 D 1 D 70 4 D 1 D 70 4 因为系数行列式 1036 2511 270 1222 1746 D 根据克拉默法则知 有唯一解 再计算得 1 9036 8511 81 5222 0746 D 2 1936 2811 27 1522 1046 D 3 1096 2581 108 1252 1706 D 4 1039 2518 27 1225 1740 D 所以方程组 4 的唯一解为 3124 1234 3 1 4 1 DDDD xxxx DDDD 6 因 23 1 1 10 且10 知 2 10 据此系数行列 式 22 123 2 222 2 22 111311 1033 0 10 CCC D 根据克 拉默法则知 有唯一解 再计算得 2 1 22 111 0 D 22 2 2 111 13 1 D 3 22 111 10 1 D 所以方程组 6 的唯一解为 312 0 1 0 DDD xyz DDD 2 当 取何值时 线性方程组 13 14 12 34 0 20 0 20 xx xx xx xx 一定只有零解 为什么 解 计算得 100 2001 100 0012 D 14 CC 100 0001 100 4012 2第行展开 10 1 10 401 41 根据克拉默法则 当D0 时 即 1 4 时 原方程组只有零解 习题习题 1 61 6 P43P43 1 试用多种方法证明 当0 i a 1 2 in 时 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n n a a Da a 12 1 1 1 n n i i a aa a 证明 方法一方法一 归化 23 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n n a a Da a 1 1 in RR in 1 2 3 00 00 00 1111 n n n n aa aa aa a 1 1 1 0 n ni i i i RR a a 注意 1 2 3 1 1 00 00 00 1 0001 n n n n nn i i aa aa aa aa a 12 1 1 1 n n i i a aa a 右端 方法二方法二 归纳法 当1n 时 1 D 11 1 1 1 1 aa a 结论成立 假设1n 时结论成立 即有 1n D 1 121 1 1 1 n n i i a aa a 则当n时 将 n D的第n列看成 1 0 1 0 1 n a 故 n D可表示为 2 个行列式之和 而第 2 个行列式按第n列展开可算出为 1nn a D 从而 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n n a a Da a 1 2 3 1111 1111 1111 1111 a a a 1nn a D 而 1 2 3 1111 1111 1111 1111 a a a 1 2 1 in RR in 1 2 3 000 000 000 1111 a a a 121n a aa 所以 n D 121n a aa 1nn a D 121n a aa n a 1 121 1 1 1 n n i i a aa a 12 1 1 1 n n i i a aa a 右端 24 方法三方法三 递推 由证明 二 可知 n D与 1n D 存在以下递推关系 n D 121n a aa 1nn a D 所以 n D 121n a aa 1nn a D 1 12 1 1 n n n i ni D a aa aa 12 1 1 1 n n i i a a